2019-2020年高中数学 第二章 平面向量 第二节 平面向量的线性运算(第一课时)示范教案 新人教A版必修4

2019-2020年高中数学第二章平面向量第二节平面向量的线性运算（第一课时）示范教案新人教A版必修4教学分析《向量》这一章是前一轮教材中新增的内容．高考考纲有明确说明，同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用．另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具．教材的第2.1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的模、相等的向量、单位向量、零向量以及平行向量等基本概念．而本节课是继向量基本概念的第一节课．向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础．它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用．正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限．学生学习情况分析学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景．设计理念教学矛盾的主要方面是学生的学．学是中心，会学是目的．因此，在教学中要不断指导学生学会学习．在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段，调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展．教学目标根据新课标的要求：培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识．集本节教材的特点和高一学生对矢量的认知特点，我把本节课的教学目标确定为：1．理解向量加法的意义，掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的运算律．2．理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识．3．培养类比、迁移、分类、归纳等能力．4．进行辩证唯物主义思想教育、数学审美教育，提高学生学习数学的积极性．教学重点与难点1．教学重点：两个向量的和的概念及其几何意义．(两个向量的和的概念是向量加法的基础，而向量加法是向量运算的基础．向量的线性运算的另一个特点是它有深刻的物理背景和几何意义，因此在引入一种向量运算后，总是要考查一下它的几何意义，正因为向量的几何意义，使得向量在解决几何问题时可以发挥很好的作用．)2．教学难点：向量加法的运算律．(设计让学生先猜想后验证来学习运算律，需要利用类比的思想进行猜测，还要在猜测的基础上加以验证，有一定难度．)导入新课(约5分钟)引例：有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3000牛，F2＝2000牛，牵绳之间的夹角θ＝60°.如果只用一条拖轮来牵引，而产生的效果跟原来的相同，试求出这条拖轮的牵引力的大小和方向．图1在物理中，我们已知道，两个不在一条直线的共点力与的合力是以、为邻边的平行四边形OACB的对角线所表示的力．这就是说，是与相加所得到的和．设计说明引导学生利用物理中合力的概念，来解决这个实际问题，以现有的知识为出发点培养学生的知识类比、迁移能力．学情预设把实际问题抽象为数学概念是学生的认知难点．(约5分钟)一般地，把以、为邻边的平行四边形OACB的对角线，叫做与两个向量的和，记作＋.求两个不平行向量的和可按平行四边形法则进行．问题1：如何求两个平行向量的和向量？问题2：任意一个向量与一个零向量的和是什么？求两个向量的和的运算叫做向量的加法．设计说明补充说明两个向量和的概念，同时让学生体验分类的思想．(约15分钟)练习：根据图2中所给向量a，b，c画出向量：(1)a＋b；(2)a＋b＋c.图2解法一：将两个向量起点重合，应用平行四边形法则画出两个向量的和向量．解法二：将一个向量的起点与另一向量的终点重合，也可以画出两个向量的和向量．设计说明1．学生通过练习题(1)可加深对向量加法概念的理解．另外，可由此引出向量加法的三角形法则．图32．通过对比的方式让学生了解向量的加法既可以按照平行四边形法则进行，也可以按照三角形法则进行．在向量加法运算中，通过向量的平移使两个向量首尾相接，可使用三角形法则．引申：求n(n>3)个向量的和向量．设计说明求n(n>3)个向量的和向量时，让学生进一步体会应用首尾相接的三角形法则的优越性．学情预设学生对从特殊到一般的理解较抽象．结论：求n个向量的和向量可应用多边形法则．运算律的归纳问题：向量的加法既然是一种运算，它应该具有哪些运算律？如何进行验证呢？设计说明引导学生类比实数加法的运算律，得出向量加法的运算律，培养学生的类比、迁移归纳能力．(约10分钟)(1)已知平面内有三个非零向量、、，它们的模都相等，并且两两的夹角都是120°，求证：＋＋＝0；(2)在平面内能否构造三个非零向量a、b、c，使a＋b＋c＝0；(3)能否说出(2)的实际模型？设计说明题(1)是基本的例题；题(2)是题(1)的拓展；题(3)能体现数学来源于实际又应用于实际的思想．(约5分钟)已知a、b是非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|有什么关系？设计说明设置这一研讨题可以将本节课与上节课的知识联系起来，并进一步渗透分类的思想．(约4分钟)让学生自主回顾和归纳本节的内容．设计说明1．向量加法的意义；2.理解实际问题数学化的思想，增强数学的应用意识；3.理解分类讨论等数学思想，培养类比、迁移等能力．学情预设要求学生不仅对知识体系进行归纳，还要对本节课中所体现的数学思想方法及数学能力进行总结，有一定的难度．(约1分钟)课本本节练习1,2,3,4.设计说明1．巩固所学的内容.2.对所学内容的检测、反馈与及时补充不足．本节课采用“探究——讨论”教学法．“探究——研讨”教学法是美国哈佛大学教育专家兰本达所倡导的．“探究——研讨”教学法把教学过程分为两个步骤：第一步骤是“探究”．我所设计的问题引入、概念形成及概念深化都是采用探究的方法，将有关材料有层次地提供给学生，让学生独立地支配它，进而探索、研究它．学生通过对这些“有结构”的材料进行探究，获得对向量加法的感性认识和形成各自对向量加法概念的了解．第二步骤是“研讨”，即在探究的基础上，组织学生研讨自己在探究中的发现，通过互相交流、启发、补充、争论，使学生对向量加法的认识从感性的认识上升到理性认识，获得一定水平层次的科学概念．这节课主要是教给学生“动手做，动脑想；多训练，勤钻研．”的研讨式学习方法．这样做，增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径和思考问题的方法．使学生真正成为教学的主体．也只有这样做，才能使学生“学”有新“思”，“思”有所“得”，“练”有所“获”．学生才会逐步感到数学的美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要．2019-2020年高中数学第二章平面向量第二节平面向量的线性运算（第三课时）示范教案新人教A版必修4教学分析向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算．教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系．实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向．特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理．共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错．尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系．三维目标1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律．2．理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行．3．通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神．通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用．重点难点教学重点：1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条件及其运用．教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用．课时安排1课时导入新课思路1.前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广．在代数运算中，a＋a＋a＝3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算．思路2.一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a，那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课．推进新课①已知非零向量a，试一试作出a＋a＋a和－a＋－a＋－a.②你能对你的探究结果作出解释，并说明它们的几何意义吗？③引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？活动：引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进行．通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要引导学生特别注意0·a＝0，而不是0·a＝0.这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ＋a，λ－a都无法进行．向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．判断两个向量是否平行(共线)，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．对问题①，学生通过作图1可发现，＝＋＋＝a＋a＋a.类似数的乘法，可把a＋a＋a记作3a，即＝3a.显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即|3a|＝3|a|.同样，由图1可知，图1＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)，即(－a)＋(－a)＋(－a)＝3(－a)．显然3(－a)的方向与a的方向相反，3(－a)的长度是a的长度的3倍，这样，3(－a)＝－3a.对问题②，上述过程推广后即为实数与向量的积．我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．由(1)可知，λ＝0时，λa＝0.根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律．实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么1λμa＝λμa；2λ＋μa＝λa＋μa；3λa＋b＝λa＋λb.特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.对问题③，向量共线的等价条件是：如果a(a≠0)与b共线，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.推证过程教师可引导学生自己完成，推证过程如下：对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么由向量数乘的定义，知a与b共线．反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|＝μ|a|，那么当a与b同方向时，有b＝μa；当a与b反方向时，有b＝－μa.关于向量共线的条件，教师要点拨学生作进一步深层探究，让学生思考，若去掉a≠0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：(1)有一个为零向量；(2)两个都为零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等．讨论结果：①数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ|·|a|确定．②它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小．③向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形．思路1例1计算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．活动：本例是数乘运算的简单应用，可让学生自己完成，要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律．教学中，点拨学生不能将本题看作字母的代数运算，可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义，使学生明确向量数乘运算的特点．同时向学生点出，向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.解：(1)原式＝(－3×4)a＝－12a；(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.点评：运用向量运算的运算律，解决向量的数乘．其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同类项”.变式训练若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.解：∵3m＋2n＝a，①m－3n＝b.②3×②得3m－9n＝3b.③①－③得11n＝a－3b.∴n＝a－b.④将④代入②，有m＝b＋3n＝a＋b.点评：此题可把已知条件看作向量m、n的方程，通过方程组的求解获得m、n.在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.例2如图2，已知任意两个非零向量a、b，试作＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？图2活动：本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法，这是判断三点共线常用的方法．教学中可以先引导学生作图，通过观察图形得到A，B，C三点共线的猜想，再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线．本题只要引导学生理清思路，具体过程可由学生自己完成．另外，本题是一个很好的与信息技术整合的题材，教学中可以通过计算机作图，进行动态演示，揭示向量a、b变化过程中，A、B、C三点始终在同一条直线上的规律．解：如图3，分别作向量、、，过点A、C作直线AC.观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线．图3事实上，因为＝－＝a＋2b－(a＋b)＝b，而＝－＝a＋3b－(a＋b)＝2b，于是＝2.所以A、B、C三点共线．点评：关于三点共线问题，学生接触较多，这里是用向量证明三点共线，方法是必须先证明两个向量共线，并且有公共点．教师引导学生解完后进行反思，体会向量证法的新颖独特．例3如图4，ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，你能用a、b表示、、和吗？图4活动：本例的解答要用到平行四边形的性质．另外，用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤，教学中可以给学生明确指出这一点．解：在ABCD中，∵＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，又∵平行四边形的两条对角线互相平分，∴＝－＝－(a＋b)＝－a－b，＝＝(a－b)＝a－b，＝＝a＋b，＝－＝－＝－a＋b.点评：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键．思路2例1凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证：＝(＋)．活动：教师引导学生探究，能否构造三角形，使EF作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决，或创造相同起点，以建立向量间关系．鼓励学生多角度观察思考问题．证法一：过点C在平面内作＝，则四边形ABGC是平行四边形，故F为AG中点．(如图5)图5∴EF是△ADG的中位线．∴EF綊DG.∴＝.而＝＋＝＋，∴＝(＋)．证法二：如图6，连接EB、EC，则有＝＋，＝＋，图6又∵E是AD的中点，∴＋＝0，即有＋＝＋.以与为邻边作▱EBGC，则由F是BC的中点，可得F也是EG的中点．∴＝＝(＋)＝(＋)．点评：向量的运算主要从以下几个方面加强练习：(1)加强数形结合思想的训练，画出草图帮助解决问题；(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习，做到准确熟练运用．例2已知和是不共线向量，＝t(t∈R)，试用、表示.活动：教师引导学生思考，由＝t(t∈R)知A、B、P三点共线，而＝＋，然后以表示，进而建立，的联系．本题可让学生自己解决，教师适时点拨．解：＝＋＝＋t·＝＋t·(－)＝(1－t)·＋t·.点评：灵活运用向量共线的条件．若令1－t＝m，t＝n，则＝m·＋n·，m＋n＝1.变式训练1．设两个不共线的向量e1、e2，若向量a＝2e1－3e2，向量b＝2e1＋3e2，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与向量c共线？解：d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，要使d与c共线，则存在实数k使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2＝2ke1－9ke2.由2λ＋2μ＝2k及3μ－3λ＝－9k得λ＝－2μ.故存在这样的实数λ和μ，只要λ＝－2μ就能使d与c共线．2．若非零向量a、b满足|a＋b|＝|b|，则()A．|2a|>|2a＋b|B．|2a|<|2a＋b|C．|2b|>|a＋2b|D．|2b|<|a＋2b|答案：C3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于()A.B.C．－D．－答案：A本节练习解答：1．图略．2.＝，＝－.点评：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案．值得注意的是与反向．3．(1)b＝2a；(2)b＝－a；(3)b＝－a；(4)b＝a.4．(1)共线；(2)共线．5．(1)3a－2b；(2)－a＋b；(3)2ya.6．图略．1．让学生回顾本节学习的数学知识：向量的数乘运算法则，向量的数乘运算律，向量共线的条件，体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般，归纳、猜想、类比，分类讨论，等价转化．2．向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比是我们提高思想性的有效手段，在今后的学习中应予以充分的重视，它是我们学习中伟大的引路人．课本习题2.2

A组题11、12.1．本教案的设计流程符合新课程理念，充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动，引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题．先由学生探究向量数乘的结果还是向量(特别地0·a＝0)，它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小，当λ>0时，λa与a方向相同，当λ<0时，λa与a方向相反；向量共线定理用来判断两个向量是否共线．然后对所探究的结果进行运用拓展．2．向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的重要地位，也成为近几年各地高考命题的重点和热点，教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理．一、向量的数乘运算律的证明设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有(1)λ(μa)＝(λμ)a；

①(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；

②(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.

③证明：(1)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则①式显然成立．如果λ≠0，μ≠0，且a≠0，则根据向量数乘的定义，有|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|.所以|λ(μa)|＝|(λμ)a|.如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a反向．因此，向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以这两个向量相等．(2)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则②显然成立．如果λ≠0，μ≠0且a≠0，可分如下两种情况：当λ、μ同号时，则λa和μa同向，所以|(λ＋μ)a|＝|λ＋μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，|λa＋μa|＝|λa|＋|μa|＝|λ||a|＋|μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，即有|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.由λ、μ同号，知②式两边向量的方向或都与a同向，或都与a反向，即②式两边向量的方向相同．综上所述，②式成立．如果λ、μ异号，当λ>μ时，②式两边向量的方向都与λa的方向相同；当λ<μ时，②式两边向量的方向都与μa的方向相同．还可证|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.因此②式也成立．(3)当a＝0，b＝0中至少有一个成立，或λ＝0，λ＝1时，③式显然成立.当a≠0，b≠0且λ≠0，λ≠1时，可分如下两种情况：当λ>0且λ≠1时如图7，在平面内任取一点O作＝a，＝b，＝λa，＝λb，则＝a＋b，＝λa＋λb.图7由作法知∥，有∠OAB＝∠OA1B1，||＝λ||.所以＝＝λ.所以△AOB∽△A1OB1.所以＝λ，∠AOB＝∠A1OB1.因此O、B、B1在同一条直线上，||＝|λ|，与λ的方向也相同．所以λ(a＋b)＝λa＋λb.当λ<0时，由图8可类似证明λ(a＋b)＝λa＋λb.图8所以③式也成立．二、备用习题1.[(2a＋