自动控制原理第二章

第二章自动控制系统的数学模型导言第一节自动控制元件运动方程的建立第二节小偏差线性化第三节线性常微分方程的解第四节传递函数第五节结构图及其等效变换第六节信号流图及梅森增益公式第七节开环传递函数及闭环传递函数校正与综合

导言模型精度vs系统复杂性数学模型精确，方程阶数高，对系统分析设计困难工程上，在满足精度要求的前提下，尽量使数学模型简单

(近似模型)

数学模型：是对实际物理系统的一种数学抽象，描述系统内部（或变量）之间关系的数学表达式.在自动控制理论中，数学模型有多种形式。时域中常用的有微分方程，差分方程和状态方程；复域中有传递函数，结构图；频域中有频率特性等。本章主要研究微分方程，传递函数和结构图等数学模型的建立和应用。

回首页为何要建立控制系统的数学模型？数学模型是分析和设计任何一个控制系统的依据；许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的任何系统，因此需建立控制系统的数学模型.

建立数学模型的方法：分析法----根据有关电学、机械、力学…有关定律，推导出输入输出量之间的数学关系;实验法----利用系统的输入输出信号来建立数学模型（对系统不知的情况下）第一节自动控制元件运动方程的建立一.例题：

例一线性元件微分方程下图是由电阻R，电感L，电容C组成的串联电路，其输入量为电压U1，输出量为电压U2，试列写其运动方程。解：设回路电流为i(t),根据基尔霍夫第二定律有

（1）

点击此处显示图沿任意回路环绕一周回到出发点，电动势的代数和等于回路各支路电阻（包括电源的内阻在内）和支路电流的乘积（即电压的代数和）。用公式表示为：

∑E=∑RI

又被称作基尔霍夫电压定律。而电容两端的电压为式（2）两端对t取导数式（3）两端对t取导数（2）（3）（4）把式（4）、（3）代入式（1），得或式中（5）（6）二阶线性微分方程例二下图为弹簧质量阻尼器机械系统位移。试列写质量m在外力F(t)作用下，位移x(t)的运动方程。解:设质量m相对于初始状态的位移，速度，加速度分别为x(t),dx(t)/dt,。由牛顿运动定律有

点击此处显示图点击此处显示受力分析

（1）

式中F1(t)=f·dx(t)/dt是阻尼器的阻尼力，其方向与运动方向相反，其大小与运动速度成比例，f是阻尼系数。

F2(t)=Kx(t)是弹簧弹性力，其方向亦与运动方向相反，其大小与位移成比例，K是弹性系数。将F1(t)与F2(t)代入式（1）中，经整理后即得该系统的微分方程:相似系统揭示了不同物理现象间的相似关系，便于我们使用一个简单模型去研究与其相似的复杂系统，也为控制系统的计算机数字仿真提供了基础。例三倒摆模型的建立倒摆稳定系统如图，系统的组成有小车和倒摆，M为小车的质量，m为摆球的质量，l为摆长。这个系统希望在小车的推力作用下，始终保持倒摆垂直于地面。在火箭发射过程中，要求依靠舵的控制维持它沿其推力方向飞行，因此研究倒摆稳定系统是有其实际意义的。为简化问题，只考虑摆在平面内的运动，并忽略空气阻力及摆杆质量。本系统的输入量是对小车的作用力f，输出量是倒摆与铅垂线的夹角θ，试列写其运动方程。点击此处显示倒立摆解:1）摆球m水平方向运动方程为m垂直方向运动方程为Fmmgθθm倒立摆受力分析（1）（2）小车M水平运动方程为由（3）式得f(t)FMθ

M小车受力分析（3）（4）由（4）式代入（1）式得:由（3）式得:由（5）及（3）式可得:整理得（5）（6）（7）将（7）式代入（2）式得:整理得:（8）（6）（8）倒立摆的联立方程

综上，列写元件微分方程的步骤可归纳如下:根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量。分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律，列写出相应的微分方程。消去中间变量，得到输入量和输出量之间的微分方程，便是元件时域的数学模型。一般情况下，应将微分方程写为标准形式，即与输入量有关的项写在方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方程两端变量的导数项均按降幂排列。

二.线性系统的特性1.定义：用线性微分方程描述的元件或系统。2.特性：可运用叠加原理，即具有可叠加性和均匀性（或齐次性）。设元件输入为r（t）、r1（t）、r2（t），对应的输出为c（t）、c1（t）、c2（t）;当r（t）=r1（t）+r2（t）时，c（t）=c1（t）+c2（t）满足叠加性当r（t）=a·r1（t）时，c（t）=a·c1（t）满足齐次性

满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件。不具有叠加性和齐次性的元件称为非线性元件.对线性系统可以应用叠加性和齐次性，对研究带来了极大的方便。叠加性的应用：欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后加起来就是总响应。线性系统的叠加原理是对线性系统进行分析和设计时有多个外作用的情况下的重要方法。齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析

——简化了问题。

回首页第二节小偏差线性化线性化处理:

将非线性微分方程转化为线性微分方程，然后用线性理论进行分析。常用的线性化方法:1、忽略弱非线性环节（元件的非线性因素较弱或不在系统线性工作范围内）2、偏微法/小偏差法/切线法/增量线性化法（研究变量在工作点附近各增量之间的运动规律）3、平均斜率法（某些输入输出关系不能用偏微法表示时）小偏差线性化的基本假设:

（1）系统中的变量在某一工作点附近作微小变化。（2）非线性特性在该工作点可导。在此条件下，非线性的特性曲线可用该工作点的切线所代替，变量的增量之间称为线性函数关系。小偏差线性化特别适合于具有连续变化的非线性函数，其实质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替。概念：基于一种假设，就是在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化。这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡点附近。因此，对于不太严重的非线性系统，可以在一定的工作范围内线性化处理。工程上常用的方法是将非线性函数在平衡点附近展开成泰勒级数，去掉高次项以得到线性函数。线性化方法（1）小偏差线性化法在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在A附近变化，则可对A处的输出—输入关系函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线性化。平衡位置附近的小偏差线性化

单变量线性化的方法:

把非线性函数在工作点x0附近展成泰勒级数，略去高次项，便可以得到一个以增量为变量的线性函数，即

由于(x-x0)很小，其二次方及二次方以上各项可略去，略去之后得同理可得，多变量非线性函数在工作点(x10,x20,…xn0)附近的线性增量函数为把上述线性增量函数代入微分方程，便得系统线性化的增量方程。（2）平均斜率法如果一非线性元件输入输出关系如图所示此时不能用偏微分法，可用平均斜率法得线性化方程为其中（死区）电机上述方法只适用于一些非线性程度较低的系统对于某些严重的非线性，如

不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。

例倒摆稳定系统运动方程线性化解由上节例中可得该系统的非线性方程组为由于系统工作在θ=00附近，所以有将（3）,（4）式代入（1）,（2）式，得方程（5）,（6）联立，消去中间变量，得回首页建立模型目的之一：用数学方法定量研究控制系统的工作特性.列写出微分方程，给定输入量和初始条件----对方程求解，得到系统输出量随时间变化的特性.第三节线性常微分方程的解系统分析的步骤：线性常微分方程拉普拉斯变换传递函数应用拉氏变换值得注意的两点1、拉氏变换是求解微分方程的简洁方法。可以将微分方程化为代数方程求解。2、更重要的是：将微分方程---------复数s域的数学模型---------传递函数。由此发展了用传递函数的零极点分布、频率特性等设计系统的方法。下面补充有关拉氏变换的内容

了解拉普拉斯变换有关内容1复数有关概念

（1）复数、复变函数复数复变函数例1（2）模、相角模相角（3）复数的共轭

（4）解析

若F(s)在s点的各阶导数都存在，则F(s)在s点解析。j2拉氏变换的定义

象函数原函数＝L-1[F(s)]3拉氏反变换的定义

设f(t)为时间t的函数，并且当t<0时，f(t)=0，以下无穷积分存在4.常用函数的拉氏变换(1)求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为。

(2)求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。δ(t)的筛选性质：（3）求指数函数的拉氏变换(4)正弦函数sinωt1（t）和余弦函数cosωt1（t）的拉氏变换

几个重要的拉氏变换f(t)F(s)f(t)F(s)δ(t)1sinwt1(t)1/scoswtt1/(s+a)拉氏变换的性质:

线性性质若则2.微分定理由此，还可得出两个重要的推论（1）（2）则，f(0)是函数f(t)在t=0时的值3.积分定理由此，也可得出两个重要的推论:式中，符号式中，符号(1)(2)若则表示f(t)的各重积分在t=0时的值.4.衰减定理（位移性质）5.延时定理（原函数f(t)在时间上延迟a）6.初值定理

(原函数f(t)在自变量趋于0时的极限值，取决于其象函数F(s)在自变量趋于无穷大时的极限值)7.终值定理（若原函数在t->时有极限存在，则此极限称为其终值）这里应当注意，运用终值定理的前提是存在。8.时间比例尺的改变9.时间t乘函数后的拉氏变换10.卷积分的拉氏变换其中，[f(t)*g(t)]为卷积分的数学表示，定义为令则式中，Ak----常值，即s=-pk极点处的留数，Ak可由下式求得将上式拉氏反变换，可得部分分式展开法:1.

只含不同单极点的情况2.含共轭复数极点的情况A1和A2可又由以下步骤求得：将上式两边乘以(s+σ+jβ)(s+σ-jβ),同时令s=-σ–jβ(或同时令s=-σ+jβ),得分别令上式两端实虚相等，即可求得A1和A2。3.含多重极点的情况其中Ak可由以下公式求得:据此，可求出含多重极点情况的拉氏反变换式。例试求的拉氏反变换。

解：

例试求的拉氏反变换。

解：

将该式两边同乘，并令含共轭复根的情况，也可用第一种情况的方法。值得注意的是，此时共轭复根相应两个分式的分子和是共轭复数，只要求出其中一个值，另一个即可得到。

例求的拉氏反变换。

解：例求的拉氏反变换。解：

解线性定常微分方程1.步骤:考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换（应用微分定理），将微分方程转换为变量s的代数方程；由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；(3)对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。例题若描述系统输入输出特性的微分方程为式中y(t)为输出量，x(t)为输入量，并且x(t)=1(t),其初始条件为y(0‾)=-1,[y(0‾)]’=4,试求其时间解。解:对方程两端取拉氏变换有整理得上式代入初始条件把上式分解成部分分式把上面系数代回原式，得式中式中前三项称为零状态响应，它表示在初始条件为零情况下，输入信号加入后系统的运动规律。这个规律和输入信号的形式有关，也和描述系统的微分方程有关，即和系统的结构参数有关。后两项称为零输入响应，它表示在输入信号加入以前，系统储存的能量在信号加入以后的释放规律，这个规律取决于系统的结构和参数，其大小取决于初始条件。另一方面，上式的第一项称为受迫分量或稳态分量，它表示在输入信号作用下，系统达到平衡状态以后的运动规律。这个规律取决于输入信号的形式，其大小和系统的结构参数有关。受迫分量对应经典解法非齐次方程的特解。同时上式第二，三项与第四，五项中的相同的函数可以合并，合并之后称为自由分量或暂态分量，其变化规律取决于系统的结构和参数，其大小和输入信号和初始条件有关。自由分量对应经典解法齐次方程的通解。回首页第四节传递函数

传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型。经典控制理论的主要研究方法—频率法和根轨迹法都是建立在传递函数的基础之上的。在以后的分析中我们可以看到，利用传递函数不必求解微分方程就可以研究初始条件为零的系统在输入信号作用下的动态过程，利用传递函数还可以研究系统参数变化或结构变化对动态过程的影响，因而使分析系统的问题大为简化，另一方面，还可以把对系统性能的要求转化为对系统传递函数的要求，使综合设计的问题易于实现，由于传递函数的重要性，我们将深入进行研究。重点定义

线性定常系统的传递函数，定义为在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述:式中，c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，ai(i=1,2,···,n)和bj(j=1,2,···,m)是与系统结构与参数有关的常系数。设r(t)和c(t)及其各阶导数在t=0时的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)=￡[c(t)],R(s)=￡[r(t)],可得s的代数方程为于是，由定义得系统传递函数:（m≤n且所有系数均为实数）注:

传递函数是在零初始状态下定义的。控制系统的零初始条件有两方面的含义:

一、是指输入量是在t≥0时才作用于系统，因此，在t=0‾时，输入量及各阶导数均为零；二、是指输入量加入系统之前，系统处于稳定的工作状态，即输出量及其各阶导数在t=0‾时的值也为零，现实的工程控制系统多属于此类情况。为何要规定零初始条件？分析系统性能时，需要在统一条件下考查系统： 输入：都用阶跃输入.初条件：都规定为零——为确定一个系统的起跑线而定.则系统的性能只取决于系统本身的特性(结构参数)为何可以规定为零初始条件？我们研究系统的响应，都是从研究它的瞬时才把信号加上去的；绝大多数系统，当输入为0时，都处于相对静止状态；因此，传递函数可表征控制系统的动态性能，并用以求出在给定输入量时系统的零初始条件响应二.传递函数的性质传递函数是复变量s的有理真分式函数(m≤n)

，具有复变函数的所有性质。？实际系统都存在惯性，从微分方程上反映出来，即C(s)的阶次比R(s)阶次高.反映到G(s)上即有分母阶次n≥分子阶次m.(2)传递函数只取决于系统的结构和参数，与输入量无关，也不反映系统内部的任何信息。(3)传递函数与微分方程有相通性，即传递函数中的s与微分方程中的d/dt有相通性。(4)传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t),传递函数只适用于线性定常系统。R(s)=L[(t)]=1,g(t)=L-1[C(s)]=L-1[G(s)R(s)]=L-1[G(s)](5)传递函数G(s)与系统相应的零极点分布图对应.G(s)系统零极点分布图系统性能传函的优点：若掌握了零极点分布与系统性能之间的规律性，当某个元部件的参数改变时，零极点位置变化，系统性能的变化规律就能掌握了，可以有目的地改变某些参数，改善系统的性能，且无需解微分方程。传递函数的局限：只适用于单输入，单输出系统。只适用于线性定常系统——由于拉氏变换是一种线性变换。三.例题例1.试求如图所示无源网络的传递函数，该电路的输入量是u1，输出量是u2。

解:应用回路电流法对电路列写下面回路电压方程:消去中间变量可得式中对以上三式两端取拉氏变换，并令初始条件为零，得例2试求如图机械系统的传函。mKBxf(t)四、传递函数的极点与零点对于线性常微分方程所描述的系统，其传递函数可写成为了进一步对复杂系统的研究，把上式的分子与分母分解成因子相乘积的形式，即式中z1,z2,∙∙∙∙∙∙zm称为G(s)的零点；p1,p2,∙∙∙∙∙∙pn称为G(s)的极点。零点zi-----使G(s)=0的s值；极点pj-----使G(s)=的s值由于(1)式中的系数a0,a1,∙∙∙,an和b0,b1,∙∙∙,bm是实数，所以G(s)的零点和极点为实数或共轭复数。以上n+m+1个常数完全确定了传递函数G(s)，所以传递函数紧凑地包含了一个动态对象的全部动态性质。传递函数的分子与分母不含可以相消的因子，则传函的极点由对象的极点（分母）多项式决定。自由运动的形态(模态)取决于传函的分母多项式。传函的极点（微分方程的特征根）自由运动的模态设某对象的传递函数为两个极点为：-1，-2，一个零点为：-3；自由运动的模态为e-t和e-2t。当输入量为：可求得系统的零初始条件响应为即传递函数极点对输出的影响由此求得输出量为式中，前两项具有与输入函数相同的模态，是由输入量直接产生的“强迫运动”（或理解为受输入量直接“控制”的运动）后两项函数则在输入量r(t)中并不存在，它们包含了与对象的传递函数G(s)的极点-1和-2相对应的自由运动模态。这是系统的固有成分，但是其系数却与输入函数有关(含有c1和c2)，可认为这两项是受输入函数激发而形成的。传函极点：可以受输入函数的激发在输出响应中形成自由运动的模态。传递函数零点对输出的影响设具有相同极点而零点不同的两个传递函数为在零初始条件下，它们的单位阶跃响应是这表明，输出量c1(t)和c2(t)所含的函数类型是一样的，但各函数的幅度不同。即传递函数的零点：是调节对象的各个自由运动模态在输出量中的“比重”。工程上：不能认为一个对象的动态性质唯一地/主要地决定于传递函数的极点，必须注意到零点的作用。传递函数零点还能“阻断”输入量中某一成分的传递。设某对象传递函数为上式右端第1项是对象的自由运动，第2项是由输入量造成的强迫运动（或说第2项是由输入量“传递”过来的运动）其中a是极点，b是零点，且设输入为即其中则零初始条件下的输出量为现设传函的零点与输入量象函数R(s)的极点相重合，即b=c，则有输入量中的成分被传函的零点阻断而不能传递到输出端综上：传递函数极点生成输出量中的某些成分；传递函数零点阻断输入量中的某些成分。五.典型环节的传递函数环节：将具有某种确定信息传递的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。具有相同传递函数的元件的分类。一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。（1）比例环节（放大环节）特点：输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现象。传递函数：例1:

如图所示的运算放大器,其中

ui(t)—

输入电压

u0(t)—

输出电压

R1,R2—

电阻R1R2ui(t)u0(t)能把输入讯号的电压或功率放大的装置，由电子管或晶体管、电源变压器和其他电器元件组成，用于通讯、广播、雷达、自控等装置。

例2：齿轮系

输入：n1(t)——转速Z1——主动轮的齿数

输出：n2(t)——转速Z2——从动轮的齿数运动方程：传递函数：传动比的定义实例：用杠杆传递的位移或力；两个啮合齿轮的转速比；电阻上的电压与电流；阀门的开度与流量；阀门前后的压差与流量；电子放大器输入与输出电信号。（2）一阶惯性环节

G(s)=1/(Ts+1)

在时间域里，如果输入、输出函数可表达为如下一阶微分方程特点：此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。实例：RC网络、汽车的刹车制动（踩刹车后汽车的速度只能逐渐下降）、流出侧装设阀门的水箱。T称为惯性环节的时间常数。

例3:如下图所示无源滤波电路，其中

ui(t)—输入电压；u0(t)—输出电压；

R—电阻；C—电容。u0(t)ui(t)CRi(t)无源滤波网络例4:如下图所示弹簧—阻尼系统，其中

xi(t)—输入位移；x0(t)

—输出位移；

k—弹簧刚度；f—阻尼系数。xi(t)x0(t)fk弹簧阻尼系统例5:

右图所示永磁式直流发电机其中θi(t)—输入转角；u0(t)—输出电压。Θi(t)u0(t)永磁式直流电动机特点：动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度，能预示输入信号的变化趋势。也等于给系统以有关输入变化趋势的预告。因而，微分环节常用来改善控制系统的动态性能。

实例：测速发电机

。K是微分时间常数微分环节的输出是输入的微分，当输入为单位阶跃函数时，输出就是脉冲函数，这在实际中是不可能的。因此，理想的微分环节难以实现，它总是与其它环节同时出现，常遇到的是下述的近似微分环节。

例6:

如下图无源微分网络，其中

R—

电阻；C—

电容；

ui(t)—

输入电压；

u0(t)—

输出电压。Ui(t)U0(t)CRi(t)无源微分网络单位脉冲函数是单位阶跃函数对时间的导数特点：受到阶跃扰动，输出先产生起始跳变，随时间逐渐恢复到原状态。

实例：

RC网络，速度热电偶。由于电路元器件都具有一定的惯性，实际的微分环节是带有惯性环节的微分环节。（4）积分环节

G(s)=K/s(其中k为常数)特点：输出量的变化速度和输入量成正比，受到扰动自身无法达到稳定，没有静态过程，调节难度最大。阶跃响应式为：

例7:

如下图所示机械积分器，A盘作恒速转动并带动B盘转动，B盘和I轴间用滑键连接，同轴转动，B盘(或 I轴)与A盘的转速关系取决于距离ei，其关系为:n(t)=Kei(t)式中ei(t)—

距离，输入量；θ0(t)—I轴转角，输出量；

n(t)—I轴转速。eiAIBn图

气体贮罐

例8

分析流入贮罐的气体流量与贮罐内气体压力的关系。

解：

设气体流量为Q，贮罐内气体压力为P，气罐容积为V,R为气体常数，T为气体的绝对温度，则有其传递函数为式中

。运动方程

:零初始条件下，拉氏变换为

传递函数为

（5）延迟环节特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔

。实例：在热工过程、化工过程和能源动力设备中，工质、燃料、物料从传输管道进口到出口之间，就可以用延时环节表示。给粉机通过输粉管道向锅炉炉膛输送煤粉、给水通过省煤器进入汽包等。（6）二阶振荡环节特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。多用于调节系统的分析。

例9:

如下图所示无源R—C—L网络，其中

ui(t)—

输入电压；

u0(t)—

输出电压；

L—

电感；

R—

电阻；

C—

电容。LCRi(t)无源R—L—C网络例10:

如下图所示质量—弹簧—阻尼系统，其中

Fi(t)—

输入外力；

y0(t)—

输出外力；

M—

质量；

k—

弹簧刚度；

f—

粘性阻尼系数。Fi(t)y0(t)kf质量—弹簧—阻尼系统应注意，具有相同数学模型的不同物理系统为相似系统。外力引起的系统运动与外电压引起的系统运动这一相似系统又可称为力—电压相似系统。在相似系统中占据相似位置的物理量称为相似量。控制系统的大多数环节，都可以用这6种典型环节表示。实际上的控制系统，就是典型环节按一定的方法组合而成的。

回首页第五节结构图及其等效变换结构图的基本组成1.信号线:由带箭头的直线表示，箭头方向表示信号的传递方向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。2.方框:表示对信号进行的数学变换。方框中写入元部件或系统的传递函数，如图所示。方框的输出变量等于方框的输入变量与传递函数的乘积。X(s),x(t)

G(s)X1(s)X2(s)X2(s)=G(s)X1(s)3.比较点(综合点):

表示对两个以上的信号进行加减运算，“+”号表示相加，“-”号表示相减，“+”号可省略不写，如图所示，其信号关系为4.引出点(分支点):

表示信号引出或测量的位置。从同一点引出的信号在数值和性质方面完全相同，符号如图所示。X1(s)X3(s)X2(s)±X3(s)=X1(s)±X2(s)X(s)X(s)二.结构图的绘制例1:试画出所示π型滤波器的结构图，其中u1为输入量，u2为输出量。R1R2C1C2U1U3U2i1i2i3解:根据欧姆定律及克希荷夫定律，可得如下方程:对上述方程两端进行拉氏变换，并令初始条件为零，得根据(1)—(5)式画出每个方程的结构图如下:I1(s)U1(s)U2(s)-1/R1U2(s)U3(s)I3(s)-1/R21/C1sI2(s)U2(s)1/C2sI3(s)U3(s)I1(s)I3(s)-I2(s)按照信号传递顺序把上页图中各部分连接起来，得π型滤波器的结构图如下:1/C2sU1I1I2U2I3U3---1/R11/C1s1/R2结构图绘制说明:

绘制系统结构图时，首先考虑负载效应分别列写各元件的微分方程或传递函数，并将它们用方框图表示；然后，根据各元件的信号流向，用信号线依次将各方框连接便得到系统的结构图。

因此，系统结构图实质上是系统原理图与数学方程两者的结合，即补充了原理图所缺少的定量描述，又避免了纯数学的抽象运算，从结构图上可以用方框图进行数学运算，也可以直观了解各元件的相互关系及其在系统中所起的作用，更重要的是从系统结构图可以方便地求得系统的传递函数。所以，系统结构图也是控制系统的一种数学模型。目的：简化系统传递函数的计算。思路：在保证总体动态关系不变的条件下，设法将原结构逐步地进行归并和简化，最终变换为输入量对输出量的一个方框。简化原理：因为传递函数是以复数s为变量的代数方程，所以这些变换和计算是简单的代数运算。等效变换原则：变换前后各变量之间的传递函数保持不变。三.结构图等效变换G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1.串联结构图的等效变换:G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)G1(s)•G2(s)R(s)C(s)结论：多个环节串联后总的传递函数等于每个环节传递函数的乘积。G(s)=G1(s)G2(s)Gn(s)G1(s)G2(s)X0X1X2Gn(s)Xn·············G1(s)G2(s)·········Gn(s)X0Xn2.并联结构图的等效变换:G(s)=G1(s)+G2(s)+······+Gn(s)两个方框并联连接的等效方框，等于各个方框传递函数之代数和，这个结论可以推广到n个并联方框的情况。X1G1(s)G2(s)Gn(s)·

·

·

·

·

·X0X2XnXn+1X1(s)=G1(s)·X0(s)X2(s)=G2(s)·X0(s)·

·

·

·

·

Xn(s)=Gn(s)·X0(s)G1(s)+G2(s)+······+Gn(s)3.消去反馈法则:R(s)B(s)H(s)Y(s)E1(s)G(s)±R(s)Y(s)式中“+”号对应负反馈情况，“-”号对应正反馈情况。结论：具有负反馈结构环节传递函数等于前向通道的传递函数除以1加（若正反馈为减）前向通道与反馈通道传递函数的乘积。原则:换位前后的输入/输出信号间关系不变?移动前：移动后：相加点移动示意图4.比较点（加减点）移动法则:?移动前：移动后：G(s)G(s)X1X2X3X1X3X2G(s)X2X1X3G(s)G(s)X1X2X3G(s)1/G(s)比较点的移动：5.引出点移动法则:G(s)X1X2X3X1X2X3G(s)X1X2X3G(s)G(s)X1X2X3G(s)1/G(s)?问题：要保持原来的信号传递关系不变，

？等于什么。？G(s)1/G分支点移动示意图复杂结构图的简化：1、通过比较点和引出点的移动，消除交叉反馈，把结构图变为可直接应用3种基本连接方法的简单结构图；2、若简单结构图含有内部反馈回路，则由内向外逐步简化反馈回路；3、最后求出闭环传递函数。注：动态结构图的化简方法不是唯一的，人们应充分地利用各种变换技巧，选择最简捷的路径。

复习：结构图等效变换的基本规则：串联等效并联等效反馈等效交换或合并比较点闭环传递函数开环传递函数相邻比较点可以随意变换位置。比较点和引出点的移动交换引出点若干个相邻引出点，表明同一个信号输出到不同的地方去。引出点之间相互交换位置，不会改变引出信号的性质。注：交换比较点和引出点，结构图变得更复杂。一般不采用。简化结构图的步骤：（1）确定输入量与输出量，（输入量有多个，对每一个输入量，求各自的传递函数）；（2）若结构图有交叉连接，利用移动规则，首先将交叉消除，简化成无交叉的结构图；（3）对多回路结构图，由里向外进行交换直至变换成一个单回路结构图或一个方框图；（4）最后写出系统闭环传递函数。例1：无交错的多回路系统系统传递函数本题特点：具有引出点、综合交叉点的多回路结构。解题思路：消除交叉连接，由内向外逐步化简。例2:系统动态结构图如下图所示，试求系统传递函数C(s)/R(s)。步骤1：将比较点2后移，然后与比较点3交换。步骤2:步骤3步骤4：内反馈环节等效变换步骤5步骤6：串联环节等效变换步骤7：内反馈环节等效变换等效变换化简结果G1G2G3G4方法2：将比较点③前移，然后与比较点②交换。方法3：引出点A后移方法4：引出点B前移G1G2G3G4可否不经过任何结构变换，一步写出系统的传递函数？例3

试利用结构图等效变换法则求图中u3对u1的传递函数。解分别应用结构图等效变换法3、4、5对图进行等效变换，其过程如下1/C2sU1I1I2U2I3U3---1/R11/C1s1/R21/C2sU1I1I2U2I3U3---1/R11/C1s1/R2U11/C2sI2U2I3U3--1/R11/C1s1/R2C2sR1-U1U2U3---U1U3-U1U3-U1U3最后得π型滤波器的传递函数为回首页第六节信号流图及梅森增益公式

一.信号流图的基本概念

导入:信号流图与结构图很相似，它是以图形的形式表示一组代数方程所描述的系统变量之间的关系。若代数方程组为xi和xj用小圆圈“○”表示，称为节点。在节点xi和xj之间用曲线连接起来，这条曲线称为支路。在支路上画上箭头，表示信号的传递方向；在支路的一侧注上系数aij,表示变量xj和xi的影响，aij称为支路系数或增益。这样，就可以把方程组(1)用信号流图表示出来。图中是有两个节点和一条支路的信号流图，其中两个节点分别代表电流I和电压U，支路增益是R。该图表明，电流I沿支路传递并增大R倍而得到电压U，即U=IR，这正是众所周知的欧姆定律。IURUIR

(1)、信号流图的组成单元

A、节点：即变量，用小圆圈表示，为流向该节点的信号的代数和，从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示。

B、支路：定向线段，标支路增益，相当于乘法器，表因果关系。

(2)、信号流图的性质

A、节点标志系统的变量；

B、支路相当于乘法器；

C、信号沿箭头单向传递；

D、系统的信号流图不是惟一的。例如代数方程组为其信号流图如图所示。x1x3x2x4x5abcdefgh

信号流图常用术语的定义:1.输出节点（阱节点）:只有输出支路的节点，代表系统的输入变量，如图中x1。2.

输入节点（源节点）:只有输入支路的节点，代表系统的输出变量，如图中x5。3.

混合节点:

既有输入支路也有输出支路的节点，如图中的x2，x3，x4。4.前向通路:从输出节点开始终于输入节点，且与任何节点相交不多于一次的通路，如图中的eg,ecdh,adh,adfg。x1x3x2x4x5abcdefgh5.通路增益:通路通过所有支路的支路系数的乘积。

6.

反馈回路(简称回路):

从一个节点开始，又终于同一节点，且信号通过每一个节点不多于一次的闭合通路，如图中的b,dfc。

7.回路增益:形成反馈回路各支路系数的乘积。

8.不接触回路:互相没有公共节点的回路。x1x3x2x4x5abcdefgh

二.信号流图的简化:1.串联支路的总增益等于各支路增益之积，图a。

2.并联支路的总增益等于各支路增益之和，图b。

3.消去混合点，图c。

4.消去反馈，图d,e。x1x2x4x3abcx1x4abcx1x2abx1x2a+bx1x2x3x4abcx1x2x4acbc[a][b][c]x1x211abx1x2a/(1-ab)[d]x1x2bx1x2a/(1-b)[e]ax3x4信号流图的绘制:

信号流图可以根据微分方程绘制，也可以从系统结构图按照对应关系得到。(1)由系统微分方程绘制信号流图通过拉氏变换，将微分方程变换为s的代数方程；对系统的每个变量指定一个节点，并按照系统中变量的因果关系，从左到右顺序排列；用标明支路增益的支路，按照数学方程式将各节点变量正确连接。(2)由系统结构图绘制信号流图结构图的信号线变成小圆圈标志变量，得到节点；用标有增益的线段代替结构图中的方框，便得到支路；例1.试绘制如图无源网络的信号流图，该电路的输入量是ui，输出量是u0。解:应用回路电流法对电路列写下面回路电压方程:对以上三式两端取拉氏变换，并令初始条件为零，得uiu0对变量Ui(s)，Ui(s)-U0(s)，I1(s)，I2(s)，I(s)，U0(s)分别设置6个节点；用相应增益的支路将个节点连接起来，得到信号流图。例2试绘制系统结构图对应的信号流图。解:首先，在系统结构图的信号线上，用小圆圈标注各变量对于对应的节点，如图（a）所示。其次，将各节点按原来顺序自左向右排列，连接个节点的支路与结构图中的方框相对应，便得系统的信号流图，如图（b）所示.

(1)梅森增益公式的来源A、克莱姆规则求解线性方程组B、传递函数分子分母多项式分析三.梅森(S.J.Mason)增益公式应用梅森公式，可以不用简化信号流图，而直接写出系统传递函数。经整理后得由克莱姆规则，方程式组的系数行列式为

=

因此，，即有

对上述传递函数的分母多项式和分子多项式进行分析表示信号流图中所有单独回路的回路增益之和项表示信号流图中每两个互不接触的回路增益之乘积的和项

是第条前向通路的总增益为与第条前向通路不接触回路的回路增益令，则是与第条前向通路对应的余因子式，它等于系数行列式中，去掉与第条前向通路接触的所有回路的回路增益项后的余项式。

（2）梅森增益公式梅森增益公式前向通路（有几条，各自的增益是什么）回路（有几条，各自的增益是什么）找准互不相交的回路带入到公式中=系统的传递函数例1:

试求图中所示各信号流图中的输入节点到输出节点的增益G。解:1)对于图(a),运用梅森公式，有所以x1x2abcd(a)2)对于图(b)，运用梅森增益公式，有所以x1x2abcdefg(b)对于图(c)，运用梅森增益公式，有所以，x1x3abcdefghij(c)

例2:试画出图示T型网络的信号流图，并用梅森公式求输出电压u1对输入电压u2的传递函数。解:1)根据欧姆定律和克希荷夫第一定律列写象函数如下:U1U2U3i1i2i3C2C1RR2)根据(2)式画出信号流图如图示。U1U3I1I2I3U21/R111/(C1s)1/R1/(C2s)-1-1/R-1/R3)求传递函数:

根据信号流图，应用梅森公式有U1U3I1I2I3U21/R111/(C1s)1/R1/(C2s)-1-1/R-1/R例3试求信号流图中的传递函数解单独回路有四个，即两个互不接触的回路有四组，即三个互不接触的回路有一组，即信号流图特征式

从源节点R到阱节点C的前向通路共有四条

因此，由梅森公式求得系统传递函数为

=第七节开环传递函数与闭环传递函数经过等效变换后，典型的反馈控制系统的结构图常如下所示:图中，R(s)和N(s)都是施加于系统的外作用，R(s)是有用输入作用，简称输入信号，N(s