自动控制第四章频率响应法

第四章频率响应法系统的动态性能用时域性能指标来描述是最直观的，但是，一个控制系统，特别是高阶系统的时域性能是很难用解析法来确定的。尤其是系统设计方面，到目前为止还没有直接按时域性能指标进行设计的通用方法，而频域中的一些图解法则可以方便的用于控制系统的分析和设计。概述：本章主要讨论频率响应法的基本概念，典型环节及系统频率特性的求取，频率特性与时域响应的关系，闭环系统的频率特性，频率响应法在工程研究中的应用等。第六节频域指标与时域指标的关系第四章频率响应法第一节频率特性概述第二节极坐标图第三节对数坐标图第四节控制系统稳定性分析第五节闭环系统的频率特性第七节用实验法确定系统的传递函数第一节频率特性概述

考察一个系统的好坏，通常用阶跃信号输入下系统的阶跃响应来分析系统的暂态性能和稳态性能。有时也用正弦信号输入时系统的响应来分析，但这种响应并不是单看某一个频率的正弦信号输入时的暂态响应，而是考察频率由低到高无数个正弦信号输入下所对应的每个输出的稳态响应。因此，这种响应也叫频率响应。频率响应尽管不如阶跃响应那样直观，但同样能间接地表示系统的特性。频率响应法是分析和设计系统的一个既方便又有效的工具。第一节频率特性概述

(4)频率响应法的缺点是，三阶及以上系统的频率特性和时间响应之间只有间接的联系，而不能直接反应系统的瞬态响应。一、频率法的特点：

(1)不用求解系统的特征根，而用一些较为简单的图解方法就可研究系统的稳定性，进而对系统进行分析和设计；

(2)系统的频率特性可用实验方法测出；

(3)用频率法设计系统，可使噪声忽略或限制在规定的程度内；二、对正弦输入信号的响应：解：RC电路的微分方程为式中，T=RC。网络的传函为：RC

r(t)c(t)

例：

RC线性电路，当输入为正弦电压r(t)=Asint时，c(t)的稳态输出为多少？如果输入为正弦电压r(t)=Asint，c(t)的稳态输出：css(t)1T8tr(t)css(t)t

③稳态输出电压相角比输入电压相角迟后了arctanT，是频率的函数，称为RC网络的相频特性。④

上式完全地描述了网络在正弦输入电压作用下，稳态输出电压幅值和相角随正弦输入电压频率变化的规律，称为网络的频率特性。10⑤

即把传函中的s用j

代替就可得到频率特性。——幅频特性——相频特性css(t)=A

G(j)

sin[t+G(j)]G(s)c(t)r(t)

c(s)r(s)

解:系统的闭环频率特性为

系统的稳态输出为：

R(s)C(s)

+﹣解:系统的闭环传递函数为：

系统的幅频特性为：系统的相频特性为：

三、频率特性的定义：

1.频率响应－－在正弦输入函数的作用下，系统输出的稳态值称为频率响应。

2.频率特性－－频率响应c(t)与输入正弦函数r(t)的复数比称为频率特性。

a.幅频特性：稳态输出与输入振幅之比，用A()表示。

四、频率特性的表示法：（一）系统频率特性的解析式表示

1.幅频—相频形式:2.

指数形式:

3.

三角函数形式:4.

实频—虚频形式:

（二）系统频率特性常用的图形形式

当ω=0→∞变化时,A(ω)和φ(ω)随ω而变,以A(ω)作幅值,φ(ω)作相角的端点在s平面上形成的轨迹,称Nyquist曲线。

1.

极坐标图----Nyquist图G(jω)H(jω)=|G(jω)H(jω)|∠G(jω)H(jω)=A(ω)∠φ(ω)=1

=

=0ImRe0G(j)

可以证明：

0.5

2.

对数坐标图----Bode伯德图

极坐标图是ω变化时相量G(jω)H(jω)在复平面上画出的轨迹。同样，也可以将复数相量G(jω)H(jω)的幅值和相角分别用横坐标（按对数分度）和纵坐标（线性分度）的半对数坐标画出。对数幅频特性：横坐标是ω的对数分度,纵坐标是L(ω)和φ(ω)的线性分度L(ω)=Lm|G(jω)H(jω)|=20lgG(ω)H(ω)(db)对数相频特性：φ(ω)=∠G(jω)H(jω)(rad)20Friday,February3,2023[结论]：当传递函数中的复变量s用jw代替时，传递函数就转变为频率特性。反之亦然。

到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性等。它们之间的关系如下：微分方程频率特性传递函数脉冲函数第二节极坐标图一、典型环节的极坐标图：1.比例环节其传递函数为：

G(s)=K;频率特性为：G(j

)=K幅相频率特性为：A()=K()=

0

ImRe0K实频特性：；虚频特性：；比例环节的极坐标图为实轴上的K点。ImRe02.积分环节=0频率特性：

积分环节的极坐标图为负虚轴。频率w从0+→∞特性曲线由虚轴的－∞趋向原点。3.惯性环节频率特性：极坐标图是一个圆，对称于实轴。证明如下：整理得：下半个圆对应于正频率部分，而上半个圆对应于负频率部分。25Friday,February3,2023实频、虚频、幅频和相频特性分别为：⒋振荡环节的频率特性：讨论时的情况。当K=1时，频率特性为：当时，，曲线在3，4象限；当 时，与之对称于实轴。实际曲线还与阻尼系数有关。由图可见无论是欠阻尼还是过阻尼系统，其图形的基本形状是相同的。当时，有谐振峰值。⒌微分环节的频率特性：

微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：频率特性分别为：①纯微分环节：ReIm微分环节的极坐标图为正虚轴。频率w从0→∞特性曲线由原点趋向虚轴的+∞。②一阶微分：ReIm一阶微分环节的极坐标图为平行于虚轴的直线。频率w从0→∞特性曲线相当于纯微分环节的特性曲线向右平移一个单位。③二阶微分环节：幅频和相频特性为：

由于(

)随频率的增长而线性滞后，将严重影响系统的稳定性ImRe0=0由于幅值总是1，相角随频率而变化，其极坐标图为一单位圆。6.滞后（延迟）环节频率特性为：G(j)=ejT幅值为：A()=ejT=1()=T

(rad)相角为：二、开环控制系统的极坐标图：(一)、用幅频特性和相频特性计算做图设开环频率特性为：式中

分别计算出各环节的幅值和相角后，按上式便可计算出开环幅值和相角，从而就可绘制出开环极坐标图。34

解:

RC超前网络的传函为()=90

arctanT

例5-1

如图所示RC超前网络,要求绘制它的幅相曲线。式中

T=RC。其频率特性为RC

r(t)c(t)355.0

0.98211.32.0

0.895301.0

0.70745幅相曲线如图ImRe0T=125

T=

T=01TA()()(°)0

0900.1

0.099584.30.3

0.28873.3∞

10()=90

arctanT(二)、开环极坐标图的近似绘制

(1)将开环系统传递函数按典型环节分解式中：

(2)根据幅相曲线确定起点(=0)：精确求出A(0)，(0)；确定终点(=)：求出A()，()；

由上式分析可得：

幅频特性为：相频特性为：起点的确定终点的确定

(3)确定曲线与坐标轴的交点及中频段的其他特征点：曲线与实轴交点的求取令Im[G(jω)H(jω)]=0或∠G(jω)H(jω)=(2k+1)π,k=0,±1,±2,…求得ω代入Re[G(jω)H(jω)]中即可令Re[G(jω)H(jω)]=0或∠G(jω)H(jω)=π,k=0,±1,±2,…再取几个ω点计算A(ω)和φ(ω),即可得Nyquist图的大致形状曲线与虚轴交点的求取中频段的其他特征点【例4-4】绘制系统极坐标图。

解：此系统m=0，n-m=3，ν=1，低频段:

ω→0+时，G(jω)H(jω)=∞∠-90°

高频段:ω→∞时，G(jω)H(jω)=0∠-90°×3；令Im[G(jω)H(jω)]=0，求得ω=±10，中频段：取ω=10并代入Re[G(jω)H(jω)]=-0.4,即曲线与实轴交于(-0.4,j0)点。

第三节对数坐标图一、对数坐标图(Bode图)及其特点：1.对数坐标图的构成包括对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线。横坐标表示频率，按对数分度，单位是rad/s。90°()/(°)0°L()/dB0201/T20dB/dec横坐标(称为频率轴)分度：它是以频率w

的对数值logw

进行线性分度的。但为了便于观察仍标以w

的值，因此对w

而言是非线性刻度。w

每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为十倍频程(或十倍频)，用dec表示。类似地，频率w

的数值变化一倍，横坐标就变化0.301单位长度，称为“倍频程”，用oct表示。如下图所示：10

lg

20.30130.47740.60250.69960.77870.84580.90390.954101=1=1023456789203040

对数幅频特性曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值，均匀分度，单位是dB(分贝)。

L()=20lgA()

相频曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，均匀分度，单位是度。

()=∠G(j)L()/dB2020(rad/s)

123456102030100()/(°)90°90°(rad/s)

1234561020301002.对数坐标图的优点（1）频率ω（横坐标）按对数分度，低频部分排列稀疏，分辨精细，而高频部分排列密集，分辨粗略。这正适合工程实际的需要。（2）幅频特性取对数[20lg∣G(s)H(s)∣]后，使各因子间的乘除运算转化成加减运算，在Bode图上则变成各因子曲线的叠加，大大简化了作图过程，使设计和分析变得容易。（3）采用由直线构成的渐近特性（或稍加修正）代替精确Bode图，使绘图十分简便，又能满足工程需要，因而被广泛应用。（4）在控制系统的设计和调试中，开环放大系数K是最常变化的参数。而K的变化不影响对数幅频特性的形状，只会使幅频特性曲线作上下平移。二、典型环节的对数坐标图：1.比例环节（K）L(

)=20lgK()=

0-90°()/(°)0°20lgKL()/dB0()=

0

对数幅相频率特性分别是：

90°()/(°)0°20dB/decL()/dB020110-20dB/dec（每10倍频程幅值下降20dB）的一条直线-90度定值水平线

对数幅相频率特性分别是：斜率为20dB/dec（每10倍频程幅值上升20dB）的一条直线90度定值水平线

90°()/(°)0°L()/dB02010120dB/dec

对数幅频率特性分别是：

〔1〕当

1/T时，L()

10lg1=0〔2〕当

1/T时，L()

20lgT惯性环节的对数幅频特性曲线可用两条渐近线近似表示。频率1/T

称为惯性环节的交接频率或转折频率。1/TL()20dB/dec斜率为-20dB/dec的一条直线51如图可见，交接频率的地方误差最大，约3dB。0.1/T1/T2/T4/T8/T10/T0dB1dB2dB3dB4dB用渐近线近似表示L()，必然存在误差ΔL()，ΔL()可按以下公式计算：

ΔL()=L()La()式中，L()表示准确值，La()表示近似值，有相频特性为：()=arctanT

T=0()=0°T=0.3()=16.7°T=0.8()=38.7°

L()/dB0201/T20dB/dec90()/(°)0T=1()=45°T

()=90°

对数幅相频率特性分别是：

90°()/(°)0°L()/dB0201/T20dB/dec

对数幅相频率特性分别是：

根据上式可以作出两条渐近线。当T

<<1时，L()0；当T

>>1时，L()20lg2

/n2

=40lg

/n

。L()n

=1/T40dB/dec55误差计算公式是：

这是一条斜率为40dB/dec直线，和零分贝线交于

=n的地方。故振荡环节的交接频率为n。下图为L(,)

的曲线0.1

0.20.41246810/n201612840-4-8

=0.05=10.10.20.30.40.50.60.857相频特性

=0(0)=0

=n(n)=90

()=180

由于系统阻尼比取值不同，(

)在

=n邻域的角度变化率也不同，阻尼比越小，变化率越大。580.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,2

对数幅频率特性分别是：

由于二阶微分环节与振荡环节的传递函数互为倒数，因此，其伯德图可以参照振荡环节的伯德图翻转画出。

对数幅频率特性分别是：

()/(°)0°L()/dB0

延迟环节的幅值恒为1，对数幅频特性曲线为0dB的水平线

三、开环系统Bode图的绘制方法：1.环节曲线叠加法【例4-5】系统开环传递函数为：

试绘制其开环对数频率特性图解（1）系统开环频率特性可写成：

即开环频率特性可看作由比例环节①﹑积分环节②﹑惯性环节③﹑一阶微分环节④及二阶振荡环节⑤组成。其环节转角频率如上所示。（2）分别将各环节的对数幅频特性和相频特性曲线画于对数纸上：

1）L1(ω)=20㏒4≈12(dB)是幅值为12dB的水平线。

2）L2(ω)是过ω=1﹑斜率为-20dB/dec的直线。

3）L3(ω)是转角频率为ω=0.5的惯性环节对数幅频特性曲线。

4）L4(ω)是转角频率为ω=2的一阶微分环节对数幅频特性曲线。

5）L5(ω)是转角频率为ω=8的二阶振荡环节对数幅频特性曲线。

6）绘制各环节相频特性曲线1（）～5（）（3）将L1(ω)～L5(ω)叠加(在各转角频率处各环节幅值数相加)，求得开环对数幅频特性曲线（4）将1（）～5（）叠加(选取数个值，将各环节在各处的相角数值叠加)，得到开环对数相频特性曲线图4-18

0.5822.顺序斜率叠加法【例4-6】系统开环传递函数的对数频率特性：

解（1）先将传递函数化成Bode图的标准式（即Ts+1形式），则原系统传递函数为：

10-1100101-40-30-20-10010203040

1.423（3）

绘低频渐近线，先找出基准点：ω=1及20㏒K=20㏒7.5(dB)。

以此为基准点绘制系统低频部分渐近线。本节有一个积分环节（=1），过此点作-20dB/dec直线。（4）由低频到高频顺序画出对数幅频特性渐近线，在低频渐近线的基础上，每遇到一个转角频率，便将其渐近线斜率与原渐近线进行叠加。具体地说，遇到环节的转角频率，斜率增加-20dB/dec;遇到TS+1环节似的转角频率，斜率增加+20dB/dec;遇到环节的转角频率，斜率增加-40dB/dec等。（5）对渐近线进行修正，画出精确的对数幅频特性。通常在各转角频率左右一倍频程内加以修正即可。其修正值可按环节的误差曲线求得。（6）相频特性，画出各环节的相频特性，在选定的数个频率ω处将各环节相应的相角值相叠加，求出系统在该点的相角值，然后连点描线即得到系统的相频特性。（三）计算法

根据系统传递函数G(s)H(s),写出相应的对数幅频和相频特性表达式L(ω)和（），依次代入数个选定的ω值，计算出不同ω处的L（ω）和（）值，连点描线绘制出系统的对数频率特性曲线。

图4-19四、最小相位系统和非最小相位系统：（1）定义:开环零点与开环极点全部位于s左半平面的系统为最小相位系统，否则称为非最小相位系统。

（3）具有相同幅值的两个系统，最小相位系统的相角最小。0j10.5j

00.51其对应的零—极点分布图如下:L()/dB1-20dB/dec0.5L()/dB1-20dB/dec0.5-90()/(°)0-180-90()/(°)01()=arctanarctan22()=arctanarctan272(4).最小相位系统,当ω→∞时,相角为(n-m)(-900)。

(5).非最小相位一般由两种情况产生：一是系统内包含有非最小相位元件（如延迟因子），另外是不稳定的小回环。

(6).最小相位系统的幅值特性和相角特性有一一对应关系,所以系统的稳定性由幅值特性来确定即可。五、系统开环对数频率特性和闭环系统稳态误差的关系：1--0型系统0型系统的开环频率特性式为：

其对数幅频特性式为：

L()/dB-20dB/dec

2--I型系统I型系统的开环频率特性式为：

其对数幅频特性式为：

L()/dB-20dB/dec

-40dB/decL()/dB-20dB/dec

-40dB/dec

113--II型系统II型系统的开环频率特性式为：

其对数幅频特性式为：

L()/dB-40dB/dec

-60dB/decL()/dB-40dB/dec

-60dB/dec

11【例4-7】有I型系统如图所示。试证明：

L()/dB-20dB/dec-40dB/dec

证明：

两边取对数，

(2)与0dB线交点处:

幅值为1，即

(3)设系统传递函数为:

频率特性：

转角频率的求取：

时，转角频率为

因为：

用对数表示：

【例4-8】有II型系统如图所示。试证明：L()/dB-40dB/dec

-60dB/dec-20dB/dec0

证明：(1)在II型系统低频段

(2)与0dB线交点处，幅值为1

第四节控制系统稳定性分析

主要内容映射原理理奈魁斯特稳定判据控制系统的相对稳定性分析Bode（伯德）图的稳定性分析

奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的暂态性能，指出改善系统性能的途径。一、Nyquist稳定判据的基本原理（一）映射原理构建辅助函数F(s)G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)开环传递函数为

如图示的控制系统，G(s)和H(s)是两个多项式之比闭环传递函数为

把闭环特征多项式和开环特征多项式之比称之为辅助函数，记作F(s)，

F(s)仍是复变量s的函数。=1+Gk(s)

显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为n阶，且分子分母同阶。则辅助方程可写成以下形式：

F(s)具有如下特征：

1）其零点和极点分别是闭环和开环特征根；

2）零点和极点个数相同；

3）F(s)和G(s)H(s)只相差常数1。

F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点都可以在F(s)平面上找到一个相应的点，称为在F(s)平面上的映射。

s平面

F(s)平面

F(s)的零点原点

F(s)的极点无限远点

s平面上的其他点原点外的有限点

同样，对于s平面上任意一条封闭曲线，也可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线（为的映射）。[例]辅助方程为：，则s平面上点（-1，j1），映射到F(s)平面上的点为（0，-j1）,见下图：j0sziAF(s)ImRe0fB在s平面上任选一点A

通过映射F(s)平面上F(A)。设s只包围zi

，不包围也不通过任何极点和其他零点。

从A点出发顺时针转一周回到A

再进一步试探，发现：若顺时针包围F(s)的一个极点和一个零点，则不包围原点顺时针运动；若顺时针只包围F(s)的一个极点，则包围原点且逆时针运动。映射原理（柯西幅角定理）

s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线移动一周时，在F(s)平面上相对应的封闭曲线将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，z，p的关系为若N为正，表示逆时针运动，包围原点；若N为负，表示顺时针运动，包围原点。若N为0，表示顺时针运动，不包围原点；

或者（二）特征函数F(s)与G(s)H(s)的关系

由前面分析可知：

对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。

我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是已知的，辅助方程也已知。设想：

如果s平面有一个封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角原理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为：当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数（三）Nyquist轨线

N=F(s)的右半极点数－F(s)的右半零点数

=开环系统右半极点数－闭环系统右半极点数0js+1932年，Nyquist将映射原理用于自控理论的研究，成功解决了经典设计中稳定性分析的问题。

稳定性闭环系统特征根F(s)绕原点的圈数(Nyquist轨线)G(s)H(s)绕(-1,j0)点的圈数Nyquist包围了F(s)=1+G(s)H(s)的全部正的零、极点二、Nyquist稳定判据1.第一种情况(开环传递函数在s平面的原点及虚轴没有极点时)90

奈氏判据：已知开环系统特征方程式在s右半平面根的个数为P，开环奈氏曲线（:0）包围(1，j0)点的圈数为N，则闭环系统特征方程式在s右半平面根的个数为Z，且有

Z

=PN

若Z=0，闭环系统是稳定的。若Z0，闭环系统是不稳定的。

或当开环系统稳定时，开环奈氏曲线不包围(1，j0)点时，则闭环系统是稳定的。当开环系统不稳定时，开环奈氏曲线包围(1，j0)点P圈时，闭环系统是稳定的。91例5-10

判断系统稳定性（2）

p=0，N

2

z

pN

20

闭环系统不稳定的。Rep=0

Im0

=0

解：由图知（1）p=0

且N=0

闭环系统是稳定的。ReIm01p=0

=0

（3）p=0，N0

闭环系统是稳定的。ReIm01

=0

p=093试用奈氏判据判断系统的稳定性。

例5-11

一单位反馈系统，其开环传函当

=0，Gk(j0)=k180

当

，Gk(j)=090

ReIm0

=0k

解：已知p=1频率特性94

当k<1时，k>1，N=1

z=pN

=0∴闭环系统是稳定的。当k>1，k<1，N=0，z=pN

=1

闭环系统是不稳定的。ReIm0

=0k12.第二种情况(开环传递函数在s平面的原点及虚轴有极点时)95

相应地，在GH平面上开环极坐标图在

=0时，小半圆映射到GH平面上是一个半径为无穷大，从=0到=0+顺时针旋转v•180°的大圆弧。如此处理之后，就可以根据奈氏判据来判断系统的稳定性了。0+

由于开环极点因子1/s

，既不在的s左半平面，也不在的s右半平面，开环系统临界稳定。在这种情况下，不能直接应用奈氏判据。j0

如果要应用奈氏判据，可把零根视为稳定根。因此，在数学上作如下处理：在平面上的s=0邻域作一半径无穷小的半圆，绕过原点。0

960js+ImRe0=0+增补线=0-97用奈氏判据判断稳定性。解：（1）从开环传递函数，知p=0

（2）作开环极坐标图起点：Gk(j0)=90

终点：Gk(j)=0270

与坐标轴交点：例

已知系统的开环传函为令虚部=0，得，系统的开环极坐标图如图示：N=2

z=pN

=2∴闭环系统是不稳定的。当N=0

z=pN=0∴闭环系统是稳定的。当所作的增补线如虚线所示。>198ImRe0=0+增补线1=0-用奈氏判据判断系统稳定性时，一般只须绘制从0时的开环幅相曲线，然后按其包围(-1，j0)点的圈数R（逆时针为正，顺时针为负）和开环传递函数在s右半平面根的个数P，根据公式

Z

=P

2R来确定闭环特征方程正实部根的个数，如果Z=0，闭环系统是稳定的。否则，闭环系统是不稳定的。如果开环传递函数包含积分环节，且假定个数为v，则绘制开环极坐标图后，应从

=0+对应的点开始，补作一个半径为，逆时针方向旋转v90的大圆弧增补线，把它视为奈氏曲线的一部分。然后再利用奈氏判据来判断系统的稳定性。3.由奈氏判据判稳的实际方100

例

已知系统的开环传函为起点：Gk(j0)=270

终点：Gk(j)=090

与坐标轴交点：x=101/2

Re(x)=0.1k

用奈氏判据判断稳定性。（2）作开环极坐标图解：（1）从开环传递函数知

p=10j-101(3)稳定性判别:因为是1型系统，需作增补线如图

当0.1k<

1，k>10时，

R=1/2，z=p2R

=0

闭环系统是稳定的。ImRe0=0增补线10.1k三、控制系统的相对稳定性分析在工程控制系统中，首先要求系统必须是稳定的（绝对稳定性），并且还要求有一定的稳定安全系数，即稳定裕度。系统稳定裕度表明系统相对稳定的程度。(一)系统相对稳定性的表述

系统的Nyquist曲线越接近(-1,j0)点，其振荡性越大。

ReIm0-1A(g)c

或

(三)系统的Nyquist图和Bode图的对应关系

180()/(°)0L()/dBcg

四、伯德图上的稳定性判据

由图可知，幅相曲线不包围(1，j0)点。此结果也可以根据增加时幅相曲线自下向上(幅角减小)和自上向下(幅角增加)穿越实轴区间(，1)的次数决定。

R=N

N

自实轴区间（，1）开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴区间（，1）开始向上的穿越为半次负穿越。ReIm01(+)()对数频率稳定判据：一个反馈控制系统，其闭环特征方程正实部根个数Z，可以根据开环传递函数s右半平面极点数P和开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，对数相频特性曲线与1802k

线的正负穿越次数之差R=N

N确定

Z=P2RZ为零，闭环系统稳定；否则，不稳定。-180()/(°)0L()/dB()(+)例

一反馈控制系统其开环传递函数

解：由开环传递函数知P=0，作系统的开环对数频率特性曲线用对数稳定判据判断系统稳定性。

180()/(°)0L()/dB1/T40dB/dec60dB/dec270辅助线显见N

=0，N

=1R=N

N

=

1Z=P

2R=2故系统不稳定。G(s)H(s)有两个积分环节

=2，故补画了0到180的辅助线。例

一反馈控制系统其开环传递函数

解：①由开环传递函数知P=1。②作系统的开环对数频率特性曲线。()=90+arctanT2(180arctanT1)

（T1>T2）当()=180时，g

=(1/T1T2)1/2，A(g)=kT2③稳定性判别。G(s)H(s)有一个积分环节

=1，故补画了180到270的辅助线。用对数稳定判据判断系统稳定性。（T1>T2）L()/dB1/T140dB/dec

180()/(°)02701/T220dB/dec20dB/dec90gc(ⅰ)当g<c时，即A(g)>1，N

=1，N

=1/2R=N

N

=

1/2Z=P

2R=0故系统稳定。(ⅱ)当g>c时，即A(g