自动控制-05b典型环节分解

5-3.1、开环系统的典型环节分解一、典型环节

由于开环传递函数的分子和分母多项式的系数都是实数，因此系统开环零极点或为实数或为复数。根据开环零极点可以将分子分母多项式进行因式分解，得典型环节。常见的典型环节有比例环节K，积分环节1/s，惯性环节1/(Ts+1)，比例微分环节1+τs，微分环节s，振荡环节，延迟环节

求环节的幅相频率特性时，可在极坐标系中用幅值和相角的表达式逐点计算描出，也可以在复平面上用实频和虚频逐点计算描出。

求幅相频率特性一般可参照下列步骤进行：

(1)求环节（系统）的传递函数；

(2)用取代传递函数中s，求出频率特性表达式

(3)将分成实部和虚部。若遇到的分母为复数或虚数的情况时，应将其作有理化处理。

(4)将所求得的实频特性和虚频特性代入幅频特性和相频特性的表达式，求得和,然后选取不同的值并计算和，在极坐标上描点并连成曲线。

1、比例环节

比例环节的传递函数为

其频率特性表达式为

→

对数幅频特性为一水平线，相频特性与横坐标重合。比例环节的极坐标图为一点。二、典型环节的频率特性

图5-9比例环节频率特性

2、惯性环节

惯性环节的传递函数为

其频率特性的表达式为

分母有理化：

式中

故

由于

所以有

化简后有

图5-10惯性环节的幅相频率特性所以，在复平面上，惯性环节的幅相频率特性是符合圆的方程，圆心在处，半径为1/2。

其中

故

3、积分环节

积分环节的传递函数为

其频率特性表达式为

图5-11积分环节的幅相频率特性4、振荡环节

振荡环节的传递函数为

其频率特性为

直接利用幅角运算方法求和

图5-12振荡环节的幅相频率特性

与时域响应中衡量系统性能采用时域性能指标类似，频率特性在数值上和曲线形状上的特点，常用频域性能指标来衡量，它们在很大程度上能够间接地表明系统动静态特性。系统的频率特性曲线如下图所示。1.谐振频率是幅频特性A(ω)出现最大值时所对应的频率；2.谐振峰值指幅频特性的最大值。值大，表明系统对频率的正弦信号反映强烈，即系统的平稳性差，阶跃响应的超调量越大；几个性能指标示意图频率特性曲线

3.频带指幅频特性A(ω)的幅值衰减到起始值的0.707倍所对应的频率。大，系统复现快速变化信号的能力强、失真小。即系统的快速性好，阶跃响应的上升时间短，调节时间短；4.A(0)指零频(ω=0)时的幅值。A(0)表示系统阶跃响应的终值，A(0)与1相差的大小，反映了系统的稳态精度，A(0)越接近于1，系统的精度越高。5、微分环节

（1）纯微分环节

纯微分环节的传递函数为

其频率特性表达式为

从而得

其中图5-13微分环节的幅相频率特性故(2)一阶微分环节

其传递函数为

其频率特性式

其中

图5-14一阶微分环节的幅相频率特性6、延迟环节

其传递函数为

其频率特性

其中

图5-15延迟环节的幅相频率特性三、典型环节的对数频率特性

对数频率特性由对数幅频特性和对数相频特性构成。对数幅频特性常采用分段直线来近似表示。

1、比例环节的Bode图

前面我们已求得

比例环节所以图5-16比例环节的Bode图2、惯性环节的Bode图

由于

所以

利用上式可计算并描出较精确的对数幅频特性。但实际一般采用渐近线近似法。思路如下：

在低频段，很小。当即时略去此时

在高频段，很大。当即时略去1。此时

高频渐近线与低频渐近线在处相交，这交点处的频率称为交接频率。用渐进特性近似表示存在误差。

在两旁附近的误差值如表5-2所示。

0.10.250.50.811.252410准确特性/dB-0.04-0.26-0.97-2.15-3.01-4.09-6.99-12.30-20.04近似特性/dB00000-1.94-6.02-12.04-20.00误差/dB-0.04-0.26-0.97-2.15-3.01-2.15-0.97-0.26-0.04表5-2近似误差值图5-17惯性环节的误差曲线惯性环节的相频特性根据据式可得表5-3的数据。

表5-3惯性环节相频特性数据

0.1/T0.25/T0.5/T1/T2/T4/T10/T-5.7-14-26.6-45-63.4-76-84.3伯德图如图5-18所示。

图5-18惯性环节的Bode图3、积分环节Bode图

已知

则

图5-19积分环节的Bode图4、微分环节的Bode图

（1）纯微分环节

已知

则

图5-20纯微分环节的Bode图（2）一阶微分环节

利用渐近线分段表示对数幅频特性

图5-20一阶微分环节的Bode图5、振荡环节Bode图振荡环节的对数幅频特性曲线也可采用分段直线近似法描绘，如图5-22。

低频段，当，即时，略去项，此时

高频段，当，即时，略去1和项，此时斜率为40dB，交接频率为，在此附近会导致较大的误差。当时按上面公式计算而按准确方程有，则，即误差的大小与阻尼比有关。若在之间，渐近线