自动控制系统教程5

第五章频率特性法

§5-1频率特性极其传递函数的关系§5-2幅相频率特性曲线§5-3对数频率特性§5-4最小相位系统和非最小相位系统§5-5控制系统稳定性的频率判据§5-6控制系统性能指标的估算

1一个典型例子：部队过桥时不能齐步走，这是因为桥有一个固有频率，当整齐的步伐所带来的频率与桥的固有频率一致变化产生谐振可能导致桥塌，一涉及到频率也就必须谈到其两个特征：幅值及相位。我们自动控制中所研究的系统或环节也有自己的频率特性。在设计分析它们时，首要问题是要考虑研究其稳态特性，这就不可避免的要研究它们的频率特性（这与固有频率不同，是加入正弦输入后的稳态输出响应）。㈠频率特性的基本概念1．频率是所有动态物体固有的特性§5-1频率特性及其传递函数的关系22．

频率特性问题的提出

在前几章我们看到利用微分方程式求解控制系统的暂态过程，可以看出输出量随时间的变化能够做到定量分析，也比较直观。但它只对低阶次（1，2阶）系统使用起来还算方便，当系统越复杂阶次越高、求解微分方程的计算量越大，也很难看出某个环节和参数对整个系统的暂态过程有怎样的影响，特别是当系统的暂态特性不能满足工作要求时很难确定应该采用什么样的措施才能改进系统的暂态特性，这样当改变参数或加入环节时就要重新计算，实在麻烦。人们在研究高阶系统时，从工程角度出发，从时域转向频域来研究系统的动态特性。3①同频率u1=U1sinωtu2=U2sin(ωt+ψ)②低通特性,表示随ω变化的关系③U1，U2关系图u1u2cR先举一个例子来说明频率特性的物理概念：43．频率特性频率特性：线性系统或环节在正弦输入作用下，稳态输出响应与输入信号频率的关系特性称为频率特性，记作G（jω），也称为频率响应。一言以蔽之：系统对正弦输入的稳态响应与输入频率关系特性。5就是以频率特性为基础对系统进行分析研究的方法，它在分析设计系统中的优点：⑴频率特性可通过实验方法获得，可以方便地研究难以建立微分方程的复杂系统或环节。⑵简化高阶系统的分析计算工作，可以用简单图解法去分析设计。⑶通过时域与频域性能指标之间的关系、用频率分析时域指标（δ，ts）等。缺点有：对高阶系统该方法是一种近似方法，但精度能保证工程需要。二阶频率的相似性注：⑴频率特性的实验确定：在系统输入端施加一个频率的4.频率特性法（频率法）：6

下面介绍上述中出现的两个概念：频率特性的两个基本特征——幅频特性、相频特性幅频特性：线性系统或环节在正弦输入作用下稳态输出幅值与输入幅值比值随信号频率的关系特性称为幅频特性，记作：M（ω）或│G（jω）│。相频特性：稳态输出与输入信号的相位差随输入信号频率变化的关系特性称为相频特性，记作：φ（ω）或∠G（jω）。二者结合在一起就表达了系统或环节的频率特性。正弦信号，便可在系统输出端得到一稳态正弦输出，测量输出信号的幅值和幅角，并与输入信号相比，便可确定出ω1下的幅频特性M（ω1）和相频特性φ（ω1），调整输入信号频率便可测得不同频率下的M（ω1），φ（ω1），从而给出系统的幅相频率特性G（jω）。7若将G（jω）写成：P（ω）+jQ（ω），则P（ω）称为实频特性，Q（ω）称为虚频特性，

而幅频特性：相频特性所以

称为幅相频率特性的极坐标表达式。8LiU例5-1-2请分析下一贯性环节（R-L串联电路）并写出幅相频率特性。

G（jω）有时又称为动态数学模型。动态系统不同G（jω）也不同，因此G（jω）表征了系统的动态特性。传函：9有一规律：电路的频率特性G（jω）和传函G（S）表达式形式相同只要用jω代替传函G（S）中的算子S就可得到频率特性G（jω）。证明：不失一般性设G（S）只含单重极点即(二)．频率特性与传递函数的关系线性系统的频率特性与传递函数存在以下关系①10②则系统输出为再设输入X（t）=Xsinωt，其拉氏变换X（S）=ωX/(S²+ω²)③其拉式反变换若系统是稳定的，则Pi(i=1,2,3┉n)都具有负实部，当系统稳定时，相应的瞬态分量将趋于零，所以稳态输出为11

④待定系数求法：12

与输入X(t)=Xsinωt相比∣G（jω）∣与φ(ω)恰为G（jω）的幅值和相角⑤13结论：当已知系统传函G（S）时，只有将Ｓ换成jω即得到系统的频率特性;当已知系统的频率特性（或实验测出），只要将jω换成Ｓ就可得到系统的传函。小结：两个问题

①频率特性及其方法②频率特性与传函的关系（因为传函是我们很熟悉的，与之建立联系便于从频域到时域的分析）。其频率特性如上例电路的惯性环节传函14稳态时作业：P2195—1(3)5—25—4

例5-1-3

G（S）=K(τs+1)/(Ts+1)15§5-2幅相频率特性曲线

16一．基本概念即可在极坐标中以一个矢量表示，矢量长度为:

,矢量角为

（1）

代数形式.（2）

极坐标形式1．

幅相频率特性的两种表示形式:17

通常将极坐表与直角坐表重合在一起，取极点为直角坐标原点，取极轴为直角坐标实轴 |G(jω)| 极点φ

Q(ω1) P(ω1) Re 逆时针方向为正

182、幅相频率特性曲线

（极坐标图奈氏图(vyquist)）

它是在极坐标上表示G(jω)的幅值|G(jω)|和相角Ф(ω)随频率改变而变化的图。具体的讲就是在上述定义的复平面上（幅值，幅角，起始方向以及旋转正方向）当频率ω从零变化到无穷大时，矢量G(jω)端点轨迹（走过的一条曲线）就称为系统的幅频率特性曲线。其在实虚轴上的投影为其实虚部。19ImReK（一）

比例环节传函幅相频率特性该环节特性是在实轴上与坐标原点距离为K的一点.

（二）

积分环节传函 幅相频率特性幅频特性相率特性二．典型环节的幅相频率特性20ω01M(ω)k0Ф（ω）Π/2KReImω=0ω=1可见积分环节具有恒定相位滞后且具有高频滤波特性（三）非周期（惯性）环节传函幅相频率特性：幅频特性相频特性2101/TM()KK/0.7070()0-/4-/2Im

K/2K Re= =0 =1/T

可以证明该环节幅相频率特性是实轴下的一个半圆，圆心为（K/2，j0），半径为K/2。证：由曲线端点坐标，实频特性整理后为:得证.恰为原方程.验证是否在原轨迹上虚频特性22结论:非周期环节幅频特性随ω增大而减小；相频率特性随ω增大其滞后也增大，最大滞后相角-Π/2,具有低通滤波特性.(四)

微分环节:(1)

理想传函G(s)=Ts.幅相频率特性相位恒超前,高通滤波特性. T ω=0ω=∝ω=123ω01/T∝ω0K/0.707KφΠ/2Π/40(2)

实际传函相频特性幅频特性幅相频率特性可与惯性环节比较,它也是一个圆.具有相位超前,高通滤波特性.K/2kReIm24（五）

振荡环节:

幅相频率特性幅频特性相频特性传函25ω01/T∝MKK/20φ0-/2∏-∏Im

0 KRe

ω=0振荡环节幅值相等，频率特性曲线与虚轴交点的频率即为角频率（无阻尼自然振荡）考查M（ω）的极值：随着ω的变化，M（ω）可能出现最大值，也即M（ω）的分母出现极小值，令26上面分析说明：振荡环节对不同频率的输入信号具有不同的放大倍数，当频率等于某一值时，放大倍数最大，这种现象称为“谐振”，发生谐振现象的频率为谐振频率,记作:当时，ω为实数有极值且唯一，因此它是M（ω），随ω为最大值的解。27当ξ〉1时，幅相特性近似为一个半圆，与一个非周期环节相似。，没有极值。结论：振荡环节也是一个相位滞后环节随ω增大而加大，最大滞后角为180度。

Im

k

ω=∞ω=0Rek/2ξ

ω=ωnω=ωr

281，

三种近似表达式：（六）延迟环节：幅相频率特性：相频特性：幅频特性：传函：292.

ω=0ω=1/τ

结论：（1）当ωt〈〈1时，准确度比较大，随ωt增大误差较大。（2）第三种近似值更准确些。ω=1/τ1-113.

30在应用频率法分析如研究控制系统时，通常是根据系统的开环频率特性来（1）判断系统的稳定性，（2）计算闭环频率特性（3）估计系统的时域指标。所以掌握开环系统的幅相频率特性的绘制方法和规律是很重要的。三开环系统的幅相频率特性为什么研究如何研究开环系统是由多个环节串联而成的，因此31则系统的开环频率特性设式中即所谓“幅值相乘，幅角相加”其幅相频率特性有如下规律1、λ=0（0型系统）起始点（ω=0）为（K，J0）在ω=0处，具有垂直于实轴的切线，ω=∞处，曲线终点位于原点，相角为-n=π/2。32随n的不同如射角不同可略。证明：ω=0处，零型系统幅相频率特性具有垂直于实轴的切线。证：ω→0，ω→0Im

Re则ω趋于零时，系统开环幅相频率特性无限趋近于一个惯性环节，即：33

它是起始于k,终止于原点，圆心在（k/2,0），半径为k/2的下半圆，因此在起始点处具有垂直于实轴的切线。由于ω→0时，无限趋近于所以原系统的开环幅相特性在ω=0处也具有垂直于实轴的切线。随n不同λ角不同ω→0n=1ImReω=∞n=22.λ=1（1型系统）ω=0时幅值为无穷大，相角为，具有平行于负虚轴的渐近线ω=∞时，幅值时，大体形状如图34Im

n=4

ω→0ω=∞Ren=2

ω0∞M∞0ψ－π－nπ/2类似的可给出λ=3,4,…幅相频率特性曲线.例5-2-1绘制其开环幅相特性曲线. 解:3.λ=2(2型系统)35

Im

-Tω=∞0Re

低频部分:高频部分:36当n=m时Im

n-m=3Re

n-m=2n-m=1起于实轴上某一有限点终于实轴上某一有限点O型系统:更一般情况,若则 37Ⅰ型以上系统

若系统中开环传函中具有零点,会对总相角具有正的”贡献”,曲线可能出现弯曲,但总趋势是顺时针方向趋于原点.例:5-2-2会不会与实轴有交点

Im

ω-0τ<Tω=∞

ω->0τ>T

解：38例:5-2-3可见是由一个比例环节与一个惯性环节并联而得,曲线为一个半圆:解：390∞k00-∞KReω=0当ω从0—>∞时M由k->0Im沿顺时针单增形成一条螺旋线.例：5—2—4解：40§

5-3对数频率特性一.对数频率特性1.问题解出上一节介绍的系统开环特性是先分别求出各串联环节的频率特性。再按“幅值相乘，相角相加”得到的，这对于环节较少的系统使用还可以，图解清楚方便，一旦环节过多，这种幅值相乘将给幅频特性的计算与绘制带来极大的不便。为了便于计算和绘图，可将幅相频率特性分成幅频特性和相频特性两部分。幅频特性采用对数表示形式，而相频特性仍采用线性刻度。则原来的幅值相乘（除）运算便转化为相加（减）运算。从而给计算和作图带来极大的方便。

412．表示方法设系统开环频率特性：式中对幅频特性取对数得：42记作自动控制系统分析中常将上式放大20倍，即单位为分贝（dB）decibel它与幅值的对应关系可如下求：

若M(ω)＝２则坐标选取如下：采用半对数坐标纸，横坐标w用对数刻度，纵坐标幅值和相角用线性刻度。幅值和相角分画在两个坐标平面上。幅频特性和相频特性曲线合成的图为频率特性的对数坐标图或波特图（Bode）。433．对数频率特性的优点（1）简化了频率特性的绘制工作i.

i.乘除运算化为加减运算可用分段渐近线代替精确曲线绘制对数幅频特性和相频特性，稍加修正就可达到足够的精度。(2)

缩小了频率比例尺，便于研究频率较宽范围的系统频率特性。(3)

最小相位系统的频率特性与传函之间存在一一对应的关系，便于用实验方法确定系统的传函。(4)

可以迅速直观的判断出环节或参数对系统瞬态性能指标和稳态特性的影响。（时域法不能）因此频率特性法是工程上最常用的系统分析和设计方法。44二．典型环节的对数频率特性（一）比例环节0.1110ω

ω

Ψ(ω)

是一条等高度等于的直线，Ｋ＞１时；Ｋ＜１时，；Ｋ＝１时是一条０°直线。45（二）非周期环节

k只使幅频特性上下平移，对幅频特性的形状及相频特性没有影响。故只需研究k=1时的情况（亦不失一般性）。(1)令Ｋ＝１则时即时时即时（2）

令当ω＝ω2＝10ω1时即ω2与ω1相差10倍频程有为一斜率为-20dB/del的直线。46这样其对数幅频特性可用两条渐近线近似表示，一条是低频渐近线，零分贝线，一条是高频渐近线，斜率为-20dB/del两条渐近线交点（交点频率是交接频率）

（3）渐近线表示的最大误差：发生在处，此时最大误差为3dB，所以用渐近线表示已基本合乎要求，除非精度有特殊要求时，才需要在附近加以修正，修正意见P183表5-2两头误差很小。

47Lm

-20dB/del

0066°/del

-45°

-90°

48（4）频率特性可用列表线性计算的方法（）逐点绘制见表5-3，在交频率处

曲线关斜对称。证明：曲线关于斜对称。证：设在lgω轴上点左右各任取一点和，且

即两边取

49（5）相频特性也可用渐近线来画低频高频中频用的切线近似，该切线斜率为证：则

于是相频特性可用三条渐近线表示，但一般揭点法（6）注：〈1〉k≠1上下移,不变〈2〉，T变化和形状不变，只是左右移动可制成该环节特性曲线模板50（三）积分环节

（1）

LmM(ω)

4020-20dB/del

ω=k

ω

ω

k/100k/10

-90°

0Ψ(ω)

与0dB线交于ω=K或ω＝1时，积分环节在整个频率范围内是一条斜率为-20dB/del的直线，其相频特性是一条-90°的水平线。51Lm

20n

ω

ω

0-90°n

(2)若n个积分环节串联则

与0dB线交于。是斜率为-20dB/dec的直线。是的水平直线。52（四）微分环节（1）理想微分

幅频是一斜率为20dB/dec的直线，与0dB线交于

相频特性是90度的水平线。Lm

lgω

1/10T1/T10/T

90°

ω

531/10T1/T10/T90°

45°

Ψ

1/Tω

ω

2比例微分环节

*与非周期环节幅频关于odB线相频关于0度线镜向对称。低频渐近线odB高频渐近线过斜率为20dB/dec.

(五)振荡环节54低频段时，高频段时，（2）两条渐近线交点

（自然振荡角频率）（3）我们知道ξ〈0.707时，M（ω）将出现一个峰值，ξ越小峰值越大，因此当ξ较小时采用渐近线法会出现较大误差，必要时要修正。（1）

k=1时55Lm0.1

0.3

0.50.7ξ=1-90°

-180°

<4>相频特性

时，渐近于0度时，渐近于-180度。

整个相频特性斜对称于-90度。（六）延迟环节56三．开环系统的对数频率特性1．

绘制开环对数频率特性的步骤（1）将开环传函写成各基本环节的乘积，确定交接频率ω1，ω2，…，ωn，标在频率轴上。（2）

i.对0型系统，低频渐近线为，画出高度为直线。ii.对λ型系统（λ≥1），低频渐近线为-20λdB/dec它与0dB交点为可先确定出再过该点低频渐近线。（3）

在⑴⑵基础上之后每遇到一个交换频率斜率改变一次，57（4）相频特性绘制可先分别给出各环节的相频特性再叠加。但通常都用解析法描点绘制。

当遇到环节时，斜率增加当遇到环节时，斜率增加当遇到振荡环节时，斜率增加当遇到一重基本环节时，斜率增加k倍（k为重数）582.举例如下：

例：5-3-1绘制对数幅相频率特性。解：①各交接频率为0.2，0.5，1②属一型系统，画出直线。③在处，转折频率为，到再次转折频率为，在处第三次转折频率为④相频特性：59200.900.10.20.52510

0-90°

-180°

-270°

Ψ(m)L（w）

ω00.10.20.512510》104378140187223.7250.7260.32700（度）

60§5-4最小相位系统和非最小相位系统1．

概念：前面（第四章中）提过这两个概念，即在复平面s右半面上没有极零点的传函称为最小相位传函，具有此类传函的系统为最小相位系统，反之，成为非最小相位系统2．

最小相位系统及其物理意义具有相同幅频特性的系统中，最小相位系统相角范围最小。1/T1/ττ/Tω2Ψ3Ψ1Ψ2-90°

-180°

例：下面三个系统传函分别为：0<τ<T最小0<τ<T非最小0<τ<T非最小613．特性：最小相位系统幅频与相频特性--------对应（单值）4．判断方法（1）概念。（2）可以通过检验高频段渐近线斜率和ω∞时的相角来判断系统是否为最小相位系统。（ω∞，渐近线斜率-20dB/del，相角-90°(n—m)，是最小相位系统）

62非最小相位系统是由于系统中含有延迟环节或局部闭和回路不稳定而引起的,一般会使系统性能变差,多数情况应尽量避免过大的相位滞后.63§5-5控制系统稳定性的频率判据

(开环判断闭环)

代数判据是以系统的闭环特征方程为依据来判断系统的稳定性.而实际中容易得到的是系统的开环传递函数和频率特性。系统的开环频率特性可用分析法给出：在不确知系统数学模型时还可以由实验测得。根据频率特性和传函的关系以及开环传函Go(s)与闭环特性方程1+Go(s)=0的关系就可以由开环频率特性来判断闭环系统的稳定性。称这种方法为频率判据。1.

频率判据Nyquist稳定判据（奈氏判据）64２．频率判据的特点（１）

应用开环频率特性曲线判断闭环系统的稳定性。（２）

便于研究系统的参数和结构改变对系统稳定性的影响。（３）

便于分析系统的瞬息性能并指出改进方向。（４）

很容易研究包含延迟环节的系统的稳定性。65①奈氏曲线（开环）②系统稳定其特征方程根分布虚轴左侧：实部为负一阶系统二阶系统n阶系统一、频率判据概述66结论：相角变化系统稳定③令闭环特征式开环特征式若开环稳定所以轨迹不包围原点

开环稳定，闭环稳定若开环不稳定P个根在右半S平面67闭环2个根在右半S平面则N---逆时针绕原点圈数，若要Z=0，即P=N，此时闭环系统才能稳定。一般只绘P个开环极点在右，奈氏曲线逆绕（-1，j0）P/2圈。开环传函含有个积分环节（1型以上）增补辅助曲线，起始于正实轴68Ngquit稳定判据是频率分析法的重点。二.

奈魁斯特稳定判据（NyquistCritorioN）１９３２年Nyquist提出了依据系统的开环频率特性曲线判断系统的稳定判据，它是一种图解法。称为奈氏判据。1.奈氏判据的内容：如果系统的开环传函Go(s)在s右半平面上有p个极点，当频率ω从－∞变化到＋∞时，若系统的开环频率特性Go(jω)曲线逆时针包围（－１，j0）点的次数N恰好等于Go(s)中位于s右半平面的极点数p，则闭环系统是稳定的，否则就是不稳定的。69数学表达式：Z=P-N；Z=闭环系统在s右半平面上的极点数；P=开环系统在s右半平面上的极点数；N=开环频率特性Go(jω)包围（-1，j0）点次数，逆时针N取正；顺时针包围，N则取负。显然有Z＝０，系统才稳定。即N＝＋p逆时针包围（－１，j０）点p圈。例５－５－１零型系统因为N=0P=0所以Z=0稳定(-1,j0)ω=0-1ReReω=0ImReIm因为N=-2，P=0，则Z=2，所以不稳定70例5-5-2ω=0ω∞因为N=+1P=1所以z=0稳定-1K3-1K4

因为

N=0P=1Z=1不稳定

ω=0ω∞

1.奈氏判据实用形式由于Go(jω)在ω为正值和负值时关于实轴镜象对称，因此，只须研究Go(jω)以０变化到＋∞时包围（-1，j0）点的情况判断系统的稳定性。71判断方法：设Go(jω)在s右半平面有p个极点，当频率ω以０变化到＋∞时，若Go(jω)曲线逆时针包围（－１，j０）点的次数N的两倍恰好等于p，则系统稳定；否则系统不稳定。其数学表达式为Z=-2N+P.N:开环频率特性曲线ω以从０变化到＋∞时，包围（－１，j０）点的次数，逆时针包围取负，顺时针包围取正。一般工业上开环大部分稳定。结论：（１）开环系统稳定时（p＝０）根据奈氏判据，闭环系统稳定的充要条件是Go(jω)曲线包围（－１，j０）点。（２）开环系统不稳定时（）根据奈氏判据，闭环系统稳定的充要条件是Z=2N+P,N=+P/2,即顺时针包围（－１，j０）点p／２圈。例５－５－３设最小相位系统开环频率特性如下72K1-1a稳定

-1-1

b不稳

K2ImRec临界稳定

K3物理解释：看反馈信号与干扰信号相位360度幅值（<稳定；>不稳定；＝临界）（３）开环传函中含有积分环节，增补辅助曲线。若G0(s)中包含N个积分环节，则须增补一段半径为无穷大圆周，它起始于正实轴，顺时针转过角度后与Go(jω)的低频段连接起来。73Im1型系统

ω=∞ω=0

ω∞Re-12型系统

3型系统

4）计算G(jω)曲线包围（－１，j０）点次数的一种实用方法。由（－１，j０）点到Go(jω)曲线作一矢量（笔杆）使矢端沿曲线从ω＝０→＋∞移动，计算相角净变化量，再除。例５－５－４二．奈氏判据的数学证明（一）数学基础知识741．复变函数的基本概念

(1)解析：如果函数F（s）在s0及其邻域内处处可导那么F（s）在s０解析。如果F（s）在区域D内每一点解析，则称F（s）在区域D内解析。定理：解析函数的和，差，积，商（除分母为零点外）都是解析函数，解析函数的复合函数仍为解析函数。所有多项式在复平面上是处处解析的，有理公式函数都是多项式函数］在不含分母为零的点的区域是解析函数。(2)奇点：如果F（s）在s０不解析，则称s０为F（s）的奇点.

(3)S平面上任意一条光滑曲线，只要f（s）在这条曲线上的各点都是解析和单值的，则该曲线必可映射成f（s）平面的一条光滑曲线。

75jω

*б

б→∞*0*б

Imω=0б∞Re

0线的对应**线的对应

4)保角映射如果F（s）在s０解析且则映射F（s）在s０具有保角性，即在s平面上的两条连续曲线相交形成一个角度θ，变换成F（s）平面上的两条相交连续曲线夹角保持不变.（如上例）2.幅角定理（映射定理）设F（s）为两个s多项式之比，并设F（s）有p个极点，Z个零点位于s平面某一封闭曲线内，该封闭曲线不通过F（s）任何极点或零点，则s平面上这一封闭曲线映射到f（s）平面上也是一封闭曲线。例76当变点s顺时针经过整个封闭曲线时，在F（s）平面上对应映射点的轨迹,F（s）顺时针包围原点的总次数等于（Z－p）次。该定理可以利用对数留数概念得到严格的证明，这里仅作一些说明。设s平面上的闭曲线Гs不通过F（s）的任何零点和极点，则在F（s）平面上也有一个闭曲线ГF与之对应。

77当Гs上的动点si沿Гs顺时针方向绕引一周时：(1)

位于封闭曲线ps外的零点极点指向si的向量转过的角度净变化为零。(2)

位于封闭曲线ps内的零点极点指向si的向量转过的角度净变化为-2π（逆时针为正）(3)如果Γs只包围f（s）的一个零点－Zi，则向量∠s＋Zi的变化量为，其他向量变化量为０。，即гF顺时针绕原点转一周。гs

гs

78

(4)

如果Γs只包围Ｆ（s）的一个极点－pi，则向量∠(s＋pi)的变化量为－２π，其他向量变化量为０。于是∠Ｆ（s）＝－∠(s＋pi)＝２π。即∠Ｆ逆时针绕原点一周гFsi(5)如果Γs包围Ｆ（s）的Z个零点和p个极点，则有∠Ｆ（s）＝－２πZ＋２πp＝－２π（Z－p）。即∠Ｆ顺时针绕原点（Z－p）次。79（二）用幅角定理证明奈氏判据闭环系统特征方程f（s）＝１＋Go(s)=0

所以F(s)的极点是开环极点，F(s)零点是闭环极点闭环系统稳定的条件是F(s)的根均在s平面的左侧。1．奈氏围线取Γs由整个虚轴和右半平面上的半径为无穷大的半圆构成封闭曲线，称为奈氏曲线。奈氏围线包围了F(s)=1+Go(s)在右半平面上的全部零点和极点，且不通过任何F(s)的零极点。80jω∞τs--jω6Γs的虚轴部分经F(s)变换后便是1+Go(jω)曲线，由于实际系统Go(jω)曲线，由于实际系统Go(s)的分母阶次N总是大于等于分子阶次m，即N≥m，所以半径为∞的半圆径。F(s)映射变成

特别当N>m时Const=1.这样奈氏围线在F(s)平面的映射曲线就是S平面虚轴在F(s)平面的映射。2.闭环系统在s右半平面的极点数的确定。81设F(s)在s右半平面的极点（即Go(s)在Ｓ右半平面的极点）数为Ｐ，当变点Ｓi在Ｓ平面虚轴（ω从-∞到+∞）上运时，其映射曲线F(jω)=(1+Go(jω))顺时针包围圆点的次数为Ｎ，根据幅角定理F(s)=(1+Go(s))在Ｓ右半平面的零点（即闭环极点）数为Z=N+P。欲使系统稳定，必须Z=0，于是N=－P即F（jω)=1+Go(jω).逆时针包围原点的次数应等于开环传函Go(s)在S右半平面的极点数。

将F(s)左移一个单位便到Go（s）即Go（s）=F（s）-1F(s)平面的原点变成Go（jω）平面的（-1，j0）点，82

1+Go（jω）包围F（s)平面原点方向和次数，就等价于G0（jω）包围Go（s）平面的（-1，j0）点的方向和次数，于是得奈氏判据：如果系统开环传函Go（s）在右s右半平面上有p个极点，为使闭环系统稳定，当ω从-∞变到+∞时，Go（jω）曲线必须逆时针包围（-1，j0）点p次。ImIm[1+Go(s)]Go(s)1ReRe1+Go(jω)Go(jω)(三)Go（s）含有位于jω轴上的极点（或零点）时的修正83虚轴上有开环零点极点时围线修正则在原点处

在虚轴上开环极点或零点处做一个半径为无穷小的右半圆，使奈氏围线不通过Go（s）的零点极点，如下图特别地，当Go（s）在原点有极点时，如Ⅰ型。原点处奈氏围线如图

一型围线修正84对于二型系统映射成映射成映射成映射成映射成映射成85三奈氏判据的应用

例5-5-3设控制系统如下图5-34试应用奈氏判据分析该系统的稳定性与开环总增益的关系。Go(s)在右半平面无极点,即P=0。解：KCR(s)Y(s)奈氏判据除了可以用来分析闭环系统稳定性外，还可用来Ⅰ确定使系统稳定的临界参数；Ⅱ分析延迟系统的稳定性。8687③继续增大k，k>Kl时Go（jω）包围（-1，j0）点，N=1Z=P+2N=2系统不稳定，有两个特征根在s右半平面。可见，系统随着开环增益增加，稳定性下降。当Go（jω）通过（-1，j0）点时，有Go（jω）=-1M（ω）=1，=-180度解上述方程组可得Kρ,。这里介绍另一种算法：令①Im=Go(jω)=0②Re=Go(jω)=-1来计算123Y(s)

分析

①k较小时不包围（-1，j0）点，N=0，Z=P+2N=0系统稳定②k增大时,不变,但增大，G(jw)向外扩张，当k=Kl时Go（jω）通过（-1，j0）点,临界稳定。88由

得

将ωl代入(2)得

得

89当时系统稳定时系统不稳定例5-5-5使用奈氏判据分析调节器积分时间常数τi对系统稳定性的影响解:开环调解器GC对象GPR(s)Y(s)90分析(1)比例调节器Im

-1Re

ω=0

无论KpK取多大，Go(jw)都不包含（-1，j0）,系统稳定。(2)T<Ti<∞91-1ω=0*

系统总是稳定，但稳定性不如（1）(3)τi=T

Go(jω)穿过（-1，j0）系统在KPK>0时系统处于临界稳定ω=0-1

92④0<τi<TGo(jω)包围(-1,j0)点系统不稳定

ω=0*-1ω=∞可见:Go(s)中增加积分环节使Go(jω)相位滞后增加,降低了系统的稳定性。调节的积分时间常数对系统稳定性有很大影响，增大对系统稳定性有利。试确定使系统临界稳定的临界延迟时间解：例5-5-6k>1(k<1系统显然是稳定的)当系统临界稳定时有93解：p=1故为非最小相位系统，

例：5-5-7试用奈氏判据分析系统稳定性欲使系统稳定必须使z=0即2N=Z-P=-1,G(jω)逆时针方向包围（-1，j0）点一次。94-1Reω=0

因为p=1N=-1/2Z=0所以稳定P=1N=0Z=1所以不稳定

-1解：这是一个条件稳定系统，k值变化，只影响Go(jω)的幅值，相角不变。1．求临界k值（１）减小k值，使a点与（-1，j0）点重合则有k/500=1/50，k=10（2）减小k使b点与（-1，j0）点重合则有k/500=1/20，k=25ω=0*

-1例5-5-8已知：k=500时系统的Go(jω)曲线如图所示，试确定使系统稳定的k值范围。95（3）增大k使c点与（-1，j0）点重合则有k/500=1/0.05，k=1000。

2.分析系统的稳定性①

0<k<10G0(jω)不包围(-1,j0)所以系统稳定②

10<k<25Go(jω)包围(-1,j0)点一次且Z=0+2*1=2右面有两个特征根,不稳定.③

25<k<10000Go(jω)不包围(-1,j0)点,系统稳定.④

K>10000Go(jω)包围(-1,j0)点一次,系统不稳定.96四利用对数频率特性分析系统的稳定性

1.幅相频率特性与BODE图之间的对应关系.由于幅相频率特性与对数频率特性之间存在着一一对应的关系,因此,很容易将奈氏推广到对数频率特性曲线(Bode图)上.*如幅相频率特性的(-1,j0)或M(ω)=1φ（ω）=-180对应于Bode图中的odb线和-180线。三种简单情况（系统开环稳定p=0）Im

Im

Im

-1Re-1Re-1

97LmM

ω

-180°

Ψ(ω)=-180°LmM<odB稳定Ψ(ω)=-180°LmM=0临界稳定或LmM=odBΨ(ω)>-180°

Ψ（ω）=-180°LmM>0LmM=odBΨ(ω)<-180不稳定982．Bode图上的奈氏判据若系统开环传函Go(s)在s右平面上有p个极点，则闭环系统稳定的充要条件是：在L（ω）〉0的所有频率范围内，相频特性曲线与-180线正穿越和负穿越次数之差为p/2；Z=p+i(N--N+)若系统开环传函Go(s)在s右平面无极点（开环稳定）则闭环稳定的充要条件是：与-180线正负穿越次数之差为零。Z=P-2(N+-N-)=P+2(N--N+)正穿越：由Go(s)平面（-1，j0）点左侧的上半部穿越负实轴至下半部相应于Bode图上在L(ω)>odb的频率范围内相频特性由下向上穿越-180线，称为正穿越。负穿越：和正穿越正好相反。993．判断GO(jω)是否包围（-1，j0）点的一种实用方法计算Go(jω)平面（-1，j0）点左侧正负穿越次数则G0(jw)包围(-1,j0)点的次数N可用如下式子表示：N=N+-N-(N>0时顺时针包围N次;N<0时逆时针包围N次;N=0时不包围（-1，j0）点。五多网络系统的稳定性分析①

先分析内网络的稳定性，判断分内回路的右半平面的闭环极点数它们就是整个系统的部分位于s右半平面的开环极点100②

将内回路s右半平面的闭环极点于外回路的其他环节的s右半平面的开环极点数相加，便是位于s右半平面的开环极点数即，外回路s右半平面的开环极点数=位于s右半平面的开环极点数+其他环节s右半平面的开环极点数③

判断外回路稳定性六稳定裕量1．

意义一个实际系统，不仅要绝对稳定，而且还要有一定的稳定裕量，即相对稳定性，以便Gp2

R(s)G1(s)GC2(s)Gp1101①系统有一定抵抗干扰的性能指标，且可防止由于系统特性或参数改变可能导致系统不稳定。②还可保证系统不致因建模时和分析时的近似处理而导致的系统的不稳定。2．

稳定裕量：就是指一个稳定的系统距临界稳定状态的安全距离，在频率域里，常有增益裕量及相位裕量来表示。①增益裕量：ⅰ是指相角φ（ω）=-180频率为ωg时，频率特性幅值的倒数Kg=1/(Go(jωg))ⅱ相角为-180时幅频特性低于零分贝线的分贝线Kg=-20lg|Go(jωg)|Kg的含义：表示系统开环增益还可增大Kg倍，系统检到临界稳定

102|G0|

-1ωg

(ωc)

Im

Ωckg

γ(ωc)ωg

②相角裕量：是指开环系统幅值为一（odb）时其相角大于-180的数值。γ（ωc）由负实轴作为计算起点，逆时针为正，顺时针为负，γ(ωc)=180+φ(ωc)γ(ωc)的含义：表示开环中幅值为odbω=ωc时，系统还可增加ν相角滞后，系统才达到临界稳定状态。1033．

增益裕量为Kg和相角裕量ν（ωc）是频率法计算的两个重要的指标说明：①上述两个稳态裕量的定义都是对最小相位系统而言的。它们只适用于最小相位系统。②一般来说，增益裕量和相角裕量是相互补充的，而不是相互替代。必须同时给出这两个量才能确定出系统相对稳定性的好坏。如图：两系统虽具有相同增益裕量，但是系统①比②稳定性更好一般要求γ在22~31之间νg在5~10dB之间104§5-6控制系统性能指标的估算

１.二阶系统的频域特征量传函

频率特性

一.二阶系统频率特性与其时间相应过程的关系1050〈ξ〈0.707时发生谐振现象

峰值

（2）ξ〉0。707时不存在谐振现象M(ω)max=M(o)=Kωr和Mr称为二阶系统的频域特征量

结论：（1）二阶系统谐振比Mr是ξ的单值函数如果频率特性上获得Mr，那么就可以计算出ξ进而得到时域指标。谐振频率谐振比定义为106（2）二阶系统是ξ和ωn的函数.由Mr确定出ξ后，可由ωr确定出ωn进而确定出快速性指标ωdtrtpts

当ξ=0.15∽0.4时ωd=(1.01∽1.10)ωr可近似认为ωd=ωr所以ωr表征了系统的响应速度,ωr越大相应越快（ts↓）.

例题：P212图5-53给出SMrψξMt(δp)的关系曲线如若给出Mp=2.5则可查出ξ=0.2,δ=52℅ψ=75℅（3）二阶系统单位阶跃响应的稳态值就等于频率特性上ω=0时的幅值M（0）107对于高阶系统难于用数学方法确定频域与时域指标的关系，通常可用其存在的一对主导共轭极点时的闭环频率特性和二阶系统的频率特性具有的相似性直接估算阶跃响应过程的性能指标。二闭环系统的频率特性和尼科尔斯（Nichols）图由上面的讨论可知，控制系统的时域指标与系统的闭环频率特性之间有着密切的关系。可以直接根据闭