自动控制理论

2023/2/3第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型自动控制理论普通高等教育“十一五”国家级规划教材2023/2/3第二章控制系统的数学模型2描述系统运动的数学模型状态变量描述状态方程是这种描述的最基本形式。建立系统数学模型的方法

实验法解析法

输入－输出描述微分方程是这种描述的最基本形式。传递函数、方框图等其它模型均由它而导出。自动控制理论2023/2/3第二章控制系统的数学模型3第一节列写系统微分方程的一般方法用解析法建立系统微分方程的一般步骤根据基本的物理、化学等定律，列写出系统中每一个元件的输入与输出的微分方程式确定系统的输入量与输出量，消去其余的中间变量，求得系统输出与输入的微分方程式对所求的微分方程进行标准化处理图2-1Ｒ-L-C电路消去中间变量，则有:自动控制理论由基尔霍夫定律得：电气网络系统1、无负载效应的电路2023/2/3第二章控制系统的数学模型4图2-2R-C滤波网络消去中间变量i1、i2得或写作自动控制理论2、有负载效应的电路对于图2-2所示的电路，在列写方程时必须考虑后级电路对前级电路的影响，由基尔霍夫定律列出下列方程组：2023/2/3第二章控制系统的数学模型5求图2-3所示弹簧-质量-阻尼器系统的数据模型由牛顿第二定律列出方程图2-3弹簧-质量-阻尼器系统即式中：ｆ——为阻尼系数——阻尼器阻力自动控制理论ky(t)——弹簧拉力ｋ——为弹簧的弹性系数机械位移系统2023/2/3第二章控制系统的数学模型6图2-7G-M直流调速系统的框图图2-6G-M直流调速系统原理图自动控制理论直流调速系统2023/2/3第二章控制系统的数学模型7自动控制理论拉普拉斯变换简称为拉氏变换，它是一种函数之间的积分变换。拉氏变换是研究控制系统的一个重要数学工具,它可以把时域中的微分方程变换成复域中的代数方程，从而使微分方程的求解大为简化。同时还引出了传递函数、频率特性等概念。第二节拉普拉斯变换用拉氏变换解微分方程示意图一、拉氏变换的定义1.定义设函数f(t)在t≥0时有定义，如果线性积分存在，则由此积分所确定的函数可写为二、几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数1(t)数学表达式为其拉氏变换为

2.单位斜坡函数数学表达式为

其拉氏变换为

3.等加速函数数学表达式为

其拉氏变换为

4.指数函数e-at数学表达式为

其拉氏变换为

5.正弦函数sint

正弦函数定义为其拉氏变换为

6.单位脉冲函数(函数)函数的表达式为其拉氏变换为

二.微分法则

设F=L[f

(t)]，则有式中：f(0),f(0),…,f(n-1)(0)为f(t)及其各阶导数在t=0处的值。三.积分法则设F(s)=L[f(t)]，f(0)=0，则有四、拉氏反变换

拉氏反变换的定义如下

一般由F(s)求f(t)，常用部分分式法。首先将F(s)分解成一些简单的有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数f(t)。

F(s)通常是s的有理分式函数，即分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，F(s)的一般式为式中a1、a2、…、an及b1、b2、…、bm为实数，m、n为正数，且m<n。如果F(s)可分解成下列分量并且F1(s)、F2(s)、…、Fn(s)的拉氏反变换可以很容易地求出，则例2.1求的拉氏反变换。解：进行反变换得五、用拉氏变换求解微分方程用拉普拉斯方法求在给定初始条件下微分方程的步骤如下：①对微分方程两端进行拉氏变换，将微分方程变为以S为变量的代数方程，方程中初始条件是t=0-时的值。②解代数方程，求出象函数的表达式。③用部分分式法进行反变换，求得微分方程的解。例

用拉氏变换求解微分方程。解：对微分方程两端进行拉氏变换代入初始条件，求出象函数X(s)的表达式将X(s)展成部分分式，利用拉氏变换对照表，求出x(t)。2023/2/3第二章控制系统的数学模型26第三节传递函数传递函数的定义传递函数的定义：在零初始条件下，系统（或元件）输出量的拉氏变换与其输入量的拉氏变换之比，即为系统（或元件）的传递函数。设线性定系统的微分方程式为自动控制理论2023/2/3第二章控制系统的数学模型27在零初始条件下，对上式进行拉式变换得自动控制理论于是得(2-31)2023/2/3第二章控制系统的数学模型28

传递函数是由系统的微分方程经拉氏变换后求得，而拉氏变换是一种线性变换，因而这必然同微分方程一样能象征系统的固有特性，即成为描述系统运动的又一形式的数学模型。由于传递函数包含了微分方程式的所有系数，因而根据微分方程就能直接写出对应的传递函数，即把微分算子用复变量s表示，把c(t)和r(t)换为相应的象函数C(s)和R(s)，则就把微分方程转换为相应的传递函数。反之亦然。小结自动控制理论2023/2/3第二章控制系统的数学模型29传递函数的性质

传递函数只取决于系统(或元件)的结构和参数，与外施信号的大小和形式无关传递函数只适用于线性定常系统传递函数为复变量s的有理分式，它的分母多项式s的最高阶次n总是大于或等于其分子多项式D的最高阶次m，即n≥m

传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动过程一个传递函数是由相应的零、极点组成一个传递函数只能表示一个输入与一个输出的关系，它不能反映系统内部的特性

对于多输入—多输出的系统，要用传递函数矩阵去表征系统的输入与输出的关系，例如对于图2-14所示的系统。自动控制理论2023/2/3第二章控制系统的数学模型30图2-14多输入多输出系统

由图2-14得自动控制理论2023/2/3第二章控制系统的数学模型31典型环节的传递函数特点：输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化比例环节惯性环节特点：输出量延缓地反映输入量的变化规律微分方程自动控制理论2023/2/3第二章控制系统的数学模型32积分环节特点：环节的输出量与输入量对时间的积分成正比，即有图2-15积分调节器例如图2-15所示的积分器，其传递函数为自动控制理论对应的传递函数：T---环节的时间常数2023/2/3第二章控制系统的数学模型33微分环节理想的微分环节的输出与输入信号对时间的微分成正比，即图2-16R-C网络1）实用微分环节，如图2-16所示，它的传递函数为：2）直流测速发电机。如图2-17所示，图2-17直流测速发电机自动控制理论2023/2/3第二章控制系统的数学模型34振荡环节特点：如输入为一阶跃信号，则环节的输出却呈周期振荡形式微分方程具有式（2-37）形式的传递函数在控制工程中经常会碰到，例如自动控制理论2023/2/3第二章控制系统的数学模型351）R-L-C电路的传递函数2）弹簧-质量-阻尼器系统的传递函数3）直流他励电动机在变化时的传递函数上述三个传递函数在化成式（2-37）所示的形式时，虽然它们的阻尼比ζ和1/T所含的具体内容各不相同，但只要满足0＜ζ＜1，则它们都是振荡环节。自动控制理论2023/2/3第二章控制系统的数学模型36纯滞后环节图2-18具有传递滞后的装置则如果自动控制理论电气网络传递函数的求取无源网络电路图2-19无源网络图2-19中z1和z2为复数阻抗，由图得2023/2/3第二章控制系统的数学模型37自动控制理论即（2-41）图2-20R-C电路例2-1

求图2-20所示电路的传递函数解：由式（2-41）得2023/2/3第二章控制系统的数学模型38自动控制理论有源网络电路图2-21有源网络1图2-22有源网络2设Z1、Z2、Z3、Z4为复数阻抗，，并略去运放的输入电流，则由图2-21得基于上述同样的假设，由图2-22得即消去上述式中的中间变量I1、I2、I3、I4和UB，求得：2023/2/3第二章控制系统的数学模型39例2-2

求图2-23、图2-24所示两个有源网络的传递函数。1）在图2-23中，于是得2）在图2-24中，则由式（2-43）得图2-23PI调节器图2-24PD调节器2023/2/3第二章控制系统的数学模型40第四节系统框图及其等效交换绘制系统框图的一般步骤1、写出系统中每一个部件的运动方程式2、根据部件的运动方程式写出相应的传递函数，一个部件用一个方框表示，在框中填入相应的传递函数3、根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，并把系统的输入量置于系统方框图的最左端，输出量置于最右端例2-3绘制图2-26所示R-C网络的系统框图1）列写该网络的运动方程自动控制理论图2-26R-C网络2023/2/3第二章控制系统的数学模型412）画出上述两式对应的方框图3）将两方框图按信号的流向依次连接，求得2-27c的系统方框图例2-4绘制图2-2所示R-C网络方框图1）列写运动方程自动控制理论图2-27图2-26所示电路的系统框图2023/2/3第二章控制系统的数学模型422）画出上述四式对应的方框图，如图2-28a所示3）根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，就得到图2-28b所示的方框图自动控制理论图2-28图2-2所示电路的系统框图2023/2/3第二章控制系统的数学模型43框图的等效变换1、串联连接图2-31环节的串联连接通式：2、并联连接图2-32环节的并联连接自动控制理论2023/2/3第二章控制系统的数学模型44由图2-32得通式：3、反馈连接图2-33环节的反馈连接自动控制理论2023/2/3第二章控制系统的数学模型451）负反馈连接2）正反馈连接例如4、引出点移动1）引出点后移图2-34图2-27所示框图的化简自动控制理论2023/2/3第二章控制系统的数学模型462）引出点前移5、综合点移动1）综合点后移2）综合点前移自动控制理论2023/2/3第二章控制系统的数学模型47例2-5求图2-35所示系统的传递函数C(s)/R(s)解：将图中引出点A后移,然后从内回路到外回路逐步化简,其过程为图2-28所示图2-35多回路系统的框图自动控制理论2023/2/3第二章控制系统的数学模型48图2-36图2-35框图的等效变换自动控制理论2023/2/3第二章控制系统的数学模型49第五节控制系统的传递函数

设控制系统的方框图如图2-38所示，图中R（S）为参考输入，D（S）为扰动信号。参照该图，给出控制系统中几种常用传递函数的命名和求法。图2-38控制系统的方框图开环传递函数与前向通道的传递函数系统反馈量B(s)与误差信号E(s)的比值称为开环传递函数。即自动控制理论2023/2/3第二章控制系统的数学模型50

令D(s)=0，把图2-38变为图2-39。图中CR(s)和ER(s)分别为R(S)作用下的输出与误差。自动控制理论闭环系统的传递函数

系统的输出量C(s)与误差信号E(S)的比值称为系统的前向通路传递函数它用下式表示：参数输入作用下的闭环传递函数1.闭环传递函数CR(s)/R(s)根据式（2-46）求得系统相应的输出为：2023/2/3第二章控制系统的数学模型51图2-39输入作用下的系统框图如果H(s)=1，则图2-39所示的系统为单位反馈系统，它的闭环传递函数为自动控制理论2023/2/3第二章控制系统的数学模型52扰动作用下的闭环传递函数

令r(t)=0，于是图2-38所示的方框图就可改画为图2-40。图中CD(s)表示由扰动作用引起系统的输出。自动控制理论2.闭环传递函数ER(s)/R(s)于是求得在参考输入作用下误差的闭环传递函数。1.闭环传递函数CD(s)/D(s)CD(s)与D(s)的比值称为扰动作用下的闭环传递函数。根据式（2-46）得2023/2/3第二章控制系统的数学模型53图2-40扰动作用下系统的框图自动控制理论2.闭环传递函数ED(s)/D(s)

由扰动作用产生的误差ED(s)与D(s)之比，称为扰动误差传递函数。即把扰动D(s)作为系统的输入，由扰动引起的误差ED(s)为系统的输出。这样，图2-38所示系统的方框图就可改画为图2-41。根据式（2-46），求得扰动误差的传递函数为：2023/2/3第二章控制系统的数学模型54

当系统同时受到R(s)和D(s)作用时，由叠加原理可知，系统总的输出为它们单独作用于系统引起的输出之和。即自动控制理论图2-41扰动作用下系统的框图同理，可求得在R(s)和D(s)共同作用下系统总的误差：（5-56）（5-57）当满足|G1(s)H(s)|>>1和|G1(s)G2(s)H(s)|>>1时，可得出如下的结论：2023/2/3第二章控制系统的数学模型551）当|G1(s)H(s)|>>1时，由式（2-49）得自动控制理论

这表示，闭环传递函数CR(s)/R(s)基本上与G1(s)、G2(s)无关，它只与H(s)成反比关系：即G1(s)、G2(s)的变化不会对闭环传递函数产生明显的影响，这是闭环系统的优点之一。2）由式（2-53）可知：

由于|G1(s)H(s)|>>1，故CD(s)/R(s)很小，这表示由扰动对系统产生的影响基本被抑制，这是闭环系统的又一优点。3）当H(s)=1，|G1(s)G2(s)|>>1时:2023/2/3第二章控制系统的数学模型56第六节信号流图和梅逊公式的应用

信号流图也是一种图示法，把它应用于线性系统时必须先将系统的微分方程组变成以s为变量的代数方程组，且把每个方程改写为下列的因果形式。信号流图的基本组成单元有两个：节点和支路。

节点在图中用“O”表示，它表示系统中的变量；两变量间的因果关系用一被称为支路的有向线段来表示。箭头表示信号的传输方向，两变量间的因果关系叫做增益，标明在相应的支路旁。自动控制理论例如一个线性方程为2023/2/3第二章控制系统的数学模型57下面举例说明信号流图绘制的步骤：绘制的步骤如图2-43所示。图2-43方程组的信号流程自动控制理论设一系统的线性方程组为：2023/2/3第二章控制系统的数学模型58信号流图的术语和性质1、术语

节点—代表系统中的变量,并等于所有流入该节点的信号之和支路—信号在支路上按箭头的指向由一个节点流向另一个节点输入节点或源点—相当于自变量，它只有输出支路输出节点或阱点—只有输入支路的节点，对应于因变量通路—沿着支路的箭头方向穿过各相连支路的途径，称为通路开通路—通路与任一节点相交不多于一次闭通路—通路的终点也是通路的起点，并且与任何其它节点相交不多于一次前向通路—从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节点不多于一次，则称该通路为前向通路回路—就是闭通路不接触回路—一些回路间没有任何公共节点前向通路增益—在前向通路中，各支路增益的乘积回路增益—回路中各支路增益的乘积自动控制理论2023/2/3第二章控制系统的数学模型592、性质

信号流图只适用于线性系统支路表示一个信号对另一个信号的函数关系；信号只能沿着支路上的箭头指向传递在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号传送到所有的输出支路具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路，可以把它作为输出节点来处理对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的。图2-44列出了部分常见控制系统的方框图和相应的信号流图。自动控制理论2023/2/3第二章控制系统的数学模型60图2-44框图与相应的信号流图自动控制理论2023/2/3第二章控制系统的数学模型61梅逊增益公式梅逊公式用于计算输入节点与输出节点间的总增益，它用下式表示自动控制理论2023/2/3第二章控制系统的数学模型62图2-45例2-7图例2-7试用梅逊公式求系统的闭环传递函数自动控制理论a)多回路控制系统的框图b)系统的信号流图2023/2/3第二章控制系统的数学模型63解：自动控制理论2023/2/3第二章控制系统的数学模型64第七节控制系统的反馈特性自动控制理论

闭环控制系统又名反馈控制系统。这类系统之所以被人们广泛应用，其原理是它有着下列开环系统所没有的特性。反馈能减小参数变化对系统的影响图2-46开环与闭环系统的框图图2-46(a)和(b)分别为开环和闭环系统的方框图。开环系统的输出假设由于参数的变化，使G(s)变为，其中，则开环系统的输出变为2023/2/3第二章控制系统的数学模型65自动控制理论其输出的变化量对于图2-46(b)所示的闭环系统，其输出由变为基于于是得（2-62）（2-63）

对于式（2-62）和（2-63）可知，由于G(s)的变化，闭环系统输出的变化量仅是开环系统输出变化量的1/(1+GH)倍。

如令G(s)=K，H(s)=1，当K变为K+ΔK时，其中ΔK<<K，则开环系统输出的变化量为2023/2/3第二章控制系统的数学模型66自动控制理论而闭环系统输出的变化量显然，。反馈能加快系统的瞬态响应图2-47为一阶系统的方框图，其中k>0，α>0，开环传递函数相应的闭环传递函数

它们的极点分别为-α和-(K+α)。若令r(t)=δ(t),R(s)=1,则开环与闭环系统的脉冲响应函数分别为图2-47一阶系统2023/2/3第二章控制系统的数学模型67自动控制理论若令α=1，K=4，则得

由此可知，闭环系统脉冲响应的时间常数仅为开环系统的1/5(1/k+α)倍，这表明具有反馈作用的闭环系统，其瞬态响应要比开环系统快5(1+α)倍。反馈能减小或消除干扰对系统的影响图2-48直流调速系统的框图图2-48为一直流调速系统的框图（忽略电感L的影响）。图中2023/2/3第二章控制系统的数学模型68自动控制理论——被控制量（电动机的角速度）——干扰信号（负载转矩）——电势系数——转矩系数——给定电压——反馈电压——测速反馈系数由梅逊公式求得在扰动信号Td作用下的开环与闭环系统的输出分别为开环系统：闭环系统：若令TD(s)=1/s，则开环系统稳态输出的变化量为2023/2/3第二章控制系统的数学模型69而闭环系统稳态输出的变化量自动控制理论（2-66）显然，。若把图2-48中的K换作，则有仍令Td(s)=1/s，于是得这表示由于闭环系统的反馈作用，扰动对系统稳态输出的影响完全被消除。2023/2/3第二章控制系统的数学模型70第八节用MATLAB处理控制系统的数学模型自动控制理论传递函数模型控制系统常用的数学模型有以下4种形式。传递函数模型(tf对象)零、极点增益模型ZPK对象状态空间模型(SS对象)动态框图本节主要介绍传递函数模型和建立零、极点形式的传递函数。令系统的传递函数为

在MATLAB建立传递函数时，需将其分子与分母多项式的系数写成两个矢量，并用tf()函数给出，即Sys=tf(num，den)2023/2/3第二章控制系统的数学模型71自动控制理论式中，num=[b0b1b2···bm]表示G(s)分子多项式的系数；

den=[a0a1a2···am]表示分母多项式的系数；Num和den都是按s的除幂次序给出。例2-8

试用MATLAB表示下列的传递函数解在MATLAB的命令窗口中键入num=[12]；%分子多项式Den=[121]；%分母多项式Sys=tf(num,den)%求传递函数表达式在程序中由%引导的部分是注释语句。建立零、极点形式的传递函数如把传递函数写成以零、极点表示的形式，即2023/2/3第二章控制系统的数学模型72自动控制理论

在MATLAB中采用ZPK(Z，P，K)函数