建筑力学课件第十七章

第十七章结构位移计算第一节弹性杆件的变形与应变能密度计算第二节变形体的虚功原理第三节结构位移计算的一般公式第四节荷载作用下的位移计算第五节图乘法第六节温度作用时的位移计算第七节互等定理总结与讨论习题17.1弹性杆件的变形与应变能密度计算讨论弹性杆件的变形，首先要了解弹性的定义。关于弹性的含义，需要说明两点。第一，弹性体的应力应变关系应当是单值函数关系，应力值与应变值之间具有一一对应关系，某个应力效应作用下，杆件所对应的该应变值为唯一定值。如果物体在卸载时的变形特性与加载时的不同，则应力与应变之间已不是单值函数关系，这种非弹性情况本教材不予考虑。第二，弹性体的应力应变关系可以是线性的或非线性的，前者称为线弹性体，应力应变的比值是个常数，即前面已经学到的弹性模量E，剪切模量G等。而后者称为非线弹性体。返回17.2变形体的虚功原理前面已经讨论过质点系的虚位移原理（或称为虚功原理），它表述为：具有理想约束的质点系在某一位置处于平衡的充分必要条件是对于任何虚位移，作用于质点系的主动力所作的虚功总和为零。所谓虚位移是指为约束条件所允许的任意微小位移。理想约束是指其约束反力在虚位移上所作的功恒等于零的约束，例如光滑铰结、刚性链杆等。在刚体中，因任何两点间距离均保持不变，可以认为任何两点间有刚性链杆相连，该刚体是属于具有理想约束的质点系。由若干个刚体用理想约束联结起来的体系自然也是具有理想约束的质点系。此外，作用于体系的外力通常包括荷载（主动力）和约束反力，而对于任何约束，当去掉该约束而以相应的反力代替其对体系的作用时，其反力便可当作荷载（主动力）来看待。因此，虚功原理应用于刚体系时又可表述为：刚体系处于平衡的充分必要条件是，对于任何虚位移，所有外力所作虚功总和为零。下一页返回17.2变形体的虚功原理虚功原理应用于变形体系时，外力虚功总和则不等于零。对于杆系结构，变形体系的虚功原理可表述为，变形体系处于平衡的充分必要条件是，对于任何虚位移，外力所作虚功总和等于各微段上的内力在其变形上所作的虚功总和，或者简单地说，外力虚功等于变形虚功。为说明上述原理的正确性，这里着重从物理概念上来论证其必要性。图17-1（a）表示杆系结构在力系作用下处于平衡状态，图17-1（b）表示该结构由于别的原因而产生的虚位移状态，下面分别称这两个状态为结构的力状态和位移状态。这里，虚位移可以是与力状态无关的其他任何原因（例如另一组力系、温度变化、支座移动等）引起的，甚至是假想的。但虚位移必须是微小的，并为支撑约束条件和变形连续条件所允许，即应是所谓协调的位移。上一页下一页返回17.2变形体的虚功原理从图的力状态中取出一个微段来研究，作用在微段上的力除外力q外，还有两侧截面上的内力即轴力、弯矩和剪力（注意，这些力对整个结构而言是内力，对于所取微段而言则是外力，由于习惯，同时也为了与整个结构的外力即荷载和支座反力相区别，这里仍称这些力为内力）。在图的位移状态中此微段由ABCD移到了A′B′C′D′，于是上述作用在微段上的各力将在相应的位移上作虚功。把所有微段的虚功总加起来，便是整个结构的虚功。下面按两种不同的途径来计算虚功。（1）按外力虚功与内力虚功来计算。设作用于微段上所有各力所作虚功总和为dW总，它可以分为两部分：一部分是外力所作的功dW外，另一部分是截面上的内力所作的功dW内，即 dW总=dW外+dW内将其沿杆段积分并将各杆段积分总和起来，得整个结构的虚功为

W总=W外+W内上一页下一页返回17.2变形体的虚功原理或简写为W总=W外+W内这里，W外便是整个结构的所有外力（包括荷载和支座反力）在其相应的虚位移上所作虚功的总和，即上面简称的外力虚功；W内则是所有微段截面上的内力所作虚功的总和。由于任何两相邻微段的相邻截面上的内力互为作用力与反作用力，它们大小相等方向相反；由于虚位移是协调的，满足变形连续条件，两微段相邻的截面总是紧贴在一起而具有相同的位移，因此每一对相邻截面上的内力所作的功总是大小相等正负号相反而相互抵消。由此可见，所有微段截面上内力所作功的总和必然为零，即W内=0于是整个结构的总虚功便等于外力虚功。W总=W外上一页下一页返回17.2变形体的虚功原理（2）按刚体虚功与变形体虚功来计算。另一方面，又可以把微段的虚位移分解为两步，先只发生刚体位移（由ABCD移到A′B′C″D″），然后再发生变形位移（截面A′B′不动，C″D″现移到C′D′）。作用在微段上的所有各力在刚体位移上所作虚功为dW刚，在变形位移上所作虚功为dW变，于是微段总的虚功又可写成dW总=dW刚+dW变由于微段处于平衡状态，故由刚体的虚功原理可知dW刚=0于是dW总=dW变对于全结构有W总=W变即W总=W变上一页下一页返回17.2变形体的虚功原理dW变=Ndu+Mdφ+Qγds此外，假若此微段上还有集中荷载或力偶荷载作用时，可以认为它们作用在截面AB上，因而当微段变形时它们并不作功。总之，仅考虑微段的变形而不考虑其刚体位移时，外力不作功，只有截面上的内力作功。对于整个结构有W变=Ndu+Mdφ+Qγds可见，W变是所有微段两侧截面上的内力（对段而言是外力）在微段上所作虚功的总和，称它为变形虚功（或内力虚功、虚应变能）。比较两式可得 W外=W变 （17-1）这便是要证明的结论。为了书写更加简明，现将外力虚功W外改用字母T表示，将变形虚功W变用W表示，于是公式可写为T=W上式又称为变形体系的虚功方程。对于平面杆系结构，有

W=Ndu+Mdφ+Qγds

上一页下一页返回17.2变形体的虚功原理故虚功方程为T=Ndu+Mdφ+Qγds注意上面的讨论过程中，并没有涉及材料的物理性质，因此无论对于弹性、非弹性、线性、非线性的变形体系，虚功原理都适用。上述变形体系的虚功原理对刚体系自然也适用，由于刚体系发生虚位移时，各微段不产生任何变形，故变形虚功W=0，此时有T=0即外力虚功为零。可见刚体系的虚功原理只是变形体系虚功原理的一个特例。虚功原理在具体应用时有两种方式：一种是对于给定的力状态，另虚设一个位移状态，利用虚功方程来求解力状态中的未知力，这时的虚功原理可称作虚位移原理。在前面的内容中曾详细讨论过这种应用方式，在以后用机动法作影响线时也要用到这一方法。虚功原理的另一种应用方式是对于给定的位移状态，另虚设一个力状态，利用虚功方程来求解位移状态中的位移，这时的虚功原理又可称作虚力原理，下面就要用这种方法来求结构的

位移。上一页返回17.3结构位移计算的一般公式现以图17-2所示刚架为例来建立平面杆件结构位移计算的一般公式。设刚架由于荷载、支座移动和温度变化等因素而发生如图中虚线所示的变形，这是结构的实际位移状态。现要求该状态中结构上K点沿K-K方向的位移。应用虚力原理，虚拟一个与所求位移相对应的虚单位荷载，即在K点沿K-K方向施加一个虚单位力（在力的符号上面加一杠以表示虚拟），如图17-2（b）所示。在该虚单位荷载作用下，结构将产生虚反力和虚内力、和，它们构成了一个虚拟力系，这就是虚拟的力状态。图17-2（b）所示的虚拟力系在图17-2（a）所示的实际位移状态上所作的外力虚功为下一页返回17.3结构位移计算的一般公式内力虚功为根据式（17-1）有得

上一页下一页返回17.3结构位移计算的一般公式式（17-2）即为平面杆系结构位移计算的一般公式。它既适用于静定结构，也适用于超静定结构；既适用于弹性材料，也适用于非弹性材料；既适用于荷载作用下的位移计算，也适用于由支座移动、温度改变等因素影响下的位移计算。这种计算结构位移的方法通常称为单位荷载法。式（17-2）不仅可用于计算结构的线位移，也可以用来计算结构任何性质的位移（例如角位移和相对位移等），只是要求所设虚单位荷载必须与所求的位移相对应，具体说明如下，见表17-1。（1）若欲求的位移是结构上某一点沿某一方向的线位移，则虚单位荷载应该是作用于该点沿该方向的单位集中力。（2）若欲求的位移是结构上某两点沿指定方向的相对位移，则虚单位荷载应该是作用于该两点沿指定方向的一对反向共线的单位集中力。上一页下一页返回17.3结构位移计算的一般公式（3）若欲求的位移是结构上某一截面的角位移，则虚单位荷载应该是作用于此截面上的单位集中力偶。（4）若欲求的位移是结构上某两个截面的相对角位移，则虚单位荷载应该是作用于这两个截面上的一对反向单位集中力偶。（5）若欲求的位移是结构（如桁架）中某一杆件的角位移，则应在该杆件的两端沿垂直于杆件方向施加一个由大小相等、方向相反的集中力所构成的虚单位力偶，每一集中力的大小等于杆件长度的倒数。总之，虚拟的单位荷载必须是与所求广义位移相应的广义虚单位荷载，如表17-1所示。应该指出，虚单位荷载的指向可任意假设，若按式计算出来的结果是正的，则表示实际位移的方向与虚单位荷载的方向相同，否则相反。上一页返回17.4荷载作用下得位移计算如果结构仅受荷载作用，则计算位移的一般公式可写为 （17-3）式中、、代表虚拟状态中由于单位力所产生的虚拟内力；、、是由实际状态相应内力引起的微段变形。对线弹性结构，结合图17-3（a），由上册公式可知微段弯曲变形 （17-4）微段轴向变形 （17-5）微段剪切变形 （17-6）下一页返回17.4荷载作用下得位移计算式（17-4）～（17-6）中E为材料的弹性模量，G为材料的剪切弹性模量，I和A分别为杆件截面的惯性矩和面积，k为剪应力不均匀分布系数，对矩形截面k=1.2，圆形截面k=1.1等。将微段变形代入式（17-3），可得 （17-7）式（17-7）即是平面杆系结构在荷载作用下位移计算的一般表达式。式等号右方三项分别表示结构的弯曲变形、轴向变形和剪切变形对位移的影响。在实际计算中，根据结构的不同类型，位移计算的一般表达式尚可进一步简化。上一页下一页返回17.4荷载作用下得位移计算17.4.1桁架的位移计算理想桁架在结点荷载作用下，桁架的每一根杆件只有轴力作用，没有弯矩和剪力。同一根杆件的轴力，NP及轴向刚度EA和杆长l均为常数，故桁架的位移公式可由式改写成 （17-8）例17-1试求图17-3（a）所示对称桁架结点D的竖向线位移DDV。图中括号内数值表示杆件的截面积，设E=21000kN/cm2。解：欲求D点的竖向线位移，在D点加一竖向单位力如图17-3（b）所示，用结点法分别求出实际状态下和单位力状态下各杆轴力NP，根据桁架位移计算公式，列成表格计算，详见表17-2。上一页下一页返回17.4荷载作用下得位移计算17.4.2梁及刚架的位移计算在一般情况下，梁和刚架的位移主要是由弯矩引起的，轴力和剪力的影响较小，可以略去不计，因此，计算位移的一般公式可简化为 （17-9）例17-2试求图17-4（a）所示悬臂梁端点C的竖向线位移ΔAV。解：（1）首先列出实际状态和虚设状态的内力方程，设坐标原点为C点，x以向左为正，分段列出内力方程如下。实际状态如图17-4（a）所示CB段 BA段NP=0 NP=0MP=0 MP=QP=0 QP=上一页下一页返回17.4荷载作用下得位移计算虚设状态CB段 BA段N=0N=0M=0 M=-xQ=0 Q=1（2）将两个状态内力方程代入式（17-9），进行分段积分。假设截面形状为矩形，k=1.2上一页下一页返回17.4荷载作用下得位移计算（3）讨论。现在计算剪切变形和弯曲变形的比值。由上述计算可知 ，设 ，矩形截面A=bh，I= ，代入上式后得由此可见，剪切变形引起的位移与弯曲变形引起的位移比值将随的平方而变化。如当时，上例中，当，。一般说来当杆为细长杆时，可以忽略剪切变形对位移的影响。轴向变形对结构位移的影响也较小，或以忽略不计。上一页下一页返回17.4荷载作用下得位移计算例17-3试求图17-5（a）所示刚架C点的竖向位移DCV。各杆材料相同，截面I、A均为常数。解：（1）在C点加一竖向单位荷载作为单位力状态，如图17-5（b）所示，分别设各杆的坐标如图所示，写出各杆的弯矩方程为CB段 BA段 （2）代入式（17-9）上一页下一页返回17.4荷载作用下得位移计算以上讨论了梁和刚架位移计算实用公式，这种直接由公式求解的方程称为积分法，积分法的计算步骤如下。（1）分别列出实际状态和虚设状态下有关的内力方程。注意坐标原点的选取应使内力方程简单，便于积分。此外，两个状态中的内力正负号规定应一致（一般情况下可只列弯矩方程）。（2）将两个状态下的弯矩方程，代入位移计算实用公式中进行积分。（3）计算结果若为正值，则实际位移方向与单位荷载的假设方向一致；若得负值，则实际位移的方向与单位荷载的假设方向相反。上一页返回17.5图乘法根据前面的知识，计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，先要写出和MP的方程式，然后代入式（17-9）。 （17-10）进行积分运算，这仍是比较麻烦的。但是，结构的各杆段符合①杆轴为直线；②EI等于常数；③两个弯矩图中至少有一个是直线图形，这三个条件则可用下述图乘法来代替积分运算，从而简化计算工作。如图17-6所示，设等截面直杆AB段上的两个弯矩图中，图为一段直线，而MP图为任意形状。以杆轴为x轴，以图的延长线与x轴的交点为原点并设置y轴，则积分式中的ds可用dx代替，EI可提到积分号外面，且因为直线变化，故有=tanα，且为常数，故上面的积分式（17-10）成为 （17-11）下一页返回17.5图乘法式中dω=MPdx，为MP图中有阴影线的微分面积，故xdω为微分面积对y轴的静矩。即为整个MP图的面积对y轴的静矩，根据合力矩定理，它应等于MP图的面积ω乘以其形心C到y轴的距离xC，即代入式（17-10）有 （17-12）这里是MP图的形心C处所对应的图的竖标。可见，上述积分式（17-11）等于一个弯矩图的面积ω乘以其形心处所对应的另一个直线弯矩图上的竖标，再除以EI，这就称为图乘法。如果结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算公式可写为 （17-13）上一页下一页返回17.5图乘法根据上面的推证过程，可知在应用图乘法时应注意下列各点。（1）必须符合上述前提条件；（2）竖标只能取处直线图形；（3）ω与若在杆件的同侧则乘积取正号，异侧则取负号。现将常用的几种简单图形的面积及形心列入图17-7中。在各抛物线图形中，顶点是指其切线平行于底边的点，而顶点在中点或端点者称为标准抛物线图形。当图形的面积或形心位置不便确定时，可以将它分解为几个简单的图形，将它们分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。如图17-8～图17-12所示。上一页下一页返回17.5图乘法对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。因为这段直杆的弯矩图，与图17-10所示相应的简支梁在两端弯矩MA、MB和均布荷载q作用下的弯矩图是相同的。这里还需注意，所谓弯矩图的叠加，是指其竖标的叠加，而不是原图形状的简单拼合。因此，叠加后的抛物线图形的所有竖标仍就为竖向的，而不是垂直于MA、MB连线的。这样，叠加后的抛物线图形与原标准抛物线在形状上并不相同，但两者任一处对应的竖标y和微段长度dx仍相等，因而对应的每一窄条微分面积仍相等。由此可知，两图形总的面积大小和形心位置仍然是相同的。理解了这个道理，对于复杂的弯矩图形是有利的。此外，在应用图乘法中，当yc所属图形不是一段直线而是由若干段直线组成时，或当各杆段的截面不相等时，均应分段图乘，再进行叠加。例如对于图17-11应为上一页下一页返回17.5图乘法对于图17-12应为例17-4试求图17-13所示刚架C、D两点的距离改变。设EI=常数。解：实际状态的MP图如图所示。虚拟状态应是在C、D两点沿其连线方向加一对指向相反的单位力，图如图17-14所示。图乘时需分AC、AB、BD三段计算，但其中AC、BD两段的MP=0，故图乘结果为零，可不必计算。AB段的MP图为一标准抛物线，图为一水平直线，故应以MP图作面积ω而在图上取竖标yC，可得所得正号表示相对位移与所设一对单位力的指向相同，即C、D两点是相互靠拢的。上一页下一页返回17.5图乘法例17-5试求如图17-14所示刚架A点的竖向位移ΔAy，并勾绘刚架的变形曲线。解：MP图和图分别如图17-14（b）和17-14（c）所示。由于各杆的图都是直线，故可任取哪个图形作为面积。现以图作面积ω而在MP图上取竖标yC，则有勾绘变形曲线时，根据实际状态的弯矩图MP，如17-14（b）所示，可判定杆件弯曲后的凹凸方向。例如DK段应向右凸，KC段遇向左凸，而在弯矩为零的K点处有一反弯点；CB和AB段遇分别向上和向右凸。再根据支座处的位移边界条件和结点处的位移连续条件，便可确定变形曲线的位置。例如K为固定端，其线位移与转角均为零。C、B为刚结点，在该处各杆端的夹角应保持为直角。再根据已求出的ΔAy系向下，以及忽略各杆的轴向变形，便可绘出变形曲线的大致轮廓如图17-14（d）所示。上一页下一页返回17.5图乘法例17-6试求如图17-15所示外伸梁C点的竖向位移ΔCy。梁的EI=常数。解：MP、图分别如图b、c所示。BC段的MP图是标准二次抛物线；AB段的MP图较复杂，但可将其分解为一个三角形和一个标准二次抛物线图形。于是由图乘法得上一页下一页返回17.5图乘法例17-7如图17-16所示为一组合结构，链杆CD、BD的抗拉（压）刚度为E1A1，受弯杆件AC的抗弯刚度为E2I2，在结点D有集中荷载P作用，试求D点竖向位移ΔDy。解：计算组合结构在荷载作用下的位移时，对链杆只有轴力影响，对受弯杆只计算弯矩影响。现分别求出NP、MP及、如图17-16所示，根据式（17-12）有上一页返回17.6温度作用时的位移计算对于静定结构而言，除荷载外，其他外因温度变化、支座移动、制造误差、材料收缩等，都不引起内力。温度变化时，静定结构虽然不产生内力，但由于材料的热胀冷缩，却使结构产生变形的位移。如图17-17（a）所示的结构，研究其因温度改变时的变形和位移情况。设结构外缘温度升高t1℃，内缘温度升高t2℃，且t2＞t1，由此引起结构的变形如图17-17（a）中虚线所示。现在要求计算该结构上任一点沿任何方向的位移，例如求点i的竖向位移Δit。这仍然用虚功原理来求解，实际变形状态和虚设力状态分别如图17-17（a）、（b）所示。先研究实际变形状态的温度引起的变形情况。从结构中截取长度为ds的微段，其上、下边缘分别伸长at1ds、at2ds。a表示材料的线膨胀系数（即温度升高1℃时的线应变值）。为简化计算，假定温度沿杆件截面高度是按直线规律变化，这样截面在温度变化过程中仍保持为平面。下一页返回17.6温度作用时的位移计算当杆件截面对称于形心轴时，即h1=h2=，则形心轴处的温度为式中，t0为平均温度。当杆件截面不对称于形心轴时，即h1≠h2，则由几何关系求得微段ds在轴线处的温度为从图17-17（a）可求得温度变化时微段的变形，它可以看作是一个均匀的伸长dut和截面的转动，转角为dφt的叠加，其中微段的均匀伸长可由杆轴处的温度计算得到dut=αt0ds微段两侧截面的相对转角为dφt=上式中，Δt=t2-t1，为杆件上下边缘温度变化之差。另外，在温度变化时并不引起微段的剪切变形，即dVt=0。上一页下一页返回17.6温度作用时的位移计算下面计算结构i点处的竖向位移，取虚设力状态如图（b）所示，截取微段ds两侧有内力，它们在实际状态的相应微段上作内力虚功，根据虚功原理得到即

（17-14）式中，为图的面积，为图的面积。式（17-14）就是温度变化引起结构位移的计算公式。应用时等式中的正负号（±）的确定，可按下述办法来确定，即比较杆件由温度产生的实际变形与所加的虚设单位荷载引起的变形，若两者变形方向相同，则取正号，反之取负号。上一页下一页返回17.6温度作用时的位移计算对于梁和刚架，在计算温度变化所引起的位移时，一般不能略去轴向变形的影响。对于桁架，在温度变化时，其位移计算公式可简化为桁架因制造误差所引起的位移计算与温度变化时的计算相似。设桁架中某些杆件长度有制造误差，则其位移计算公式为例17-8如图17-18（a）所示刚架外侧温度升高10℃，内侧升高20℃，试求C点的竖向位移ΔCVt各杆均为20a，工字钢l=2m，α=1×10-5。上一页下一页返回17.6温度作用时的位移计算解：在刚架C点加一竖向单位荷载（如图17-18（b）所示），分别绘出虚设力状态的图和图如图17-18（c）、17-18（d）所示。图中的虚线分别为实际状态和虚设力状态的变形。℃，℃将上述数据代入式（17-14）。其中，关于正负号选取方法如下，如对AB标明而言，t0因为正值，使杆件伸长，而引起杆件为压力，使杆件缩短，故两者的变形相反，则式中取负号；从弯曲变形来讲，因t2＞t1，温度引起杆件弯曲向内侧凸，而引起的弯矩，使杆件外侧受拉，变形凸向外侧，两者也不一致，故式中也应取负号。 （17-15）已知，α=1×10-5，l=200cm，h=20cm，将其代入式（17-14）。计算结构为负值，表明C点的竖向位移与虚设单位荷载方向相反，即位移向上。上一页下一页返回17.6温度作用时的位移计算例17-9如图17-19（a）所示桁架的AB杆制造时比设计长度短了0.5cm，试求由此引起C点的竖向位移ΔCV。解：在实际状态中只有AB杆做短Δl=-0.5cm，其余各杆件Δl=0（如图17-19（a）所示）。虚设力状态在C点加一竖向单位荷载作用下各杆的内力如图17-19（a）所示。因此内力虚功只有AB杆一项。于是由式（17-13）得计算结构为负值，表明C点的竖向位移与虚设单位荷载方向相反，即位移向上。上一页返回17.7互等定理本节介绍线弹性结构常用的三个普遍定理——功的互等定理、位移互等定理和反力互等定理。其中最基本的是功的互等定理，位移互等定理和反力互等定理都可以由功的互等定理导出。在以后超静定结构的计算中，要引用这些互等定理。17-7-1功的互等定理如图17-20（a）、（b）所示为同一结构的两种状态，分别作用两组外力F1和F2。在状态Ⅰ中，设由F1引起的内力为FN1、FS1、M1，由F1引起的F2作用点沿F2方向的位移为Δ21；在状态Ⅱ中，设由F2引起的内力为FN2、FS2、M2，由F2引起的F1作用点沿F1方向的位移为Δ12。若以表示状态Ⅰ的外力在状态Ⅱ的相应位移上所作的虚功，则根据虚功原理可写出虚功方程同理，若以若表示状态Ⅱ的外力在状态Ⅰ的相应位移上所作的虚功，可写出虚功方程下一页返回17.7互等定理以上两式的右边完全相同，故有 = 或写为这就是功的互等定理，即第一状态的外力在第二状态的相应位移上所作的虚功总和，等于第二状态的外力在第一状态的相应位移上所作的虚功总和。这里，表示全部外力所作的虚功；位移Δij有两个下标，第一个下标表示产生位移的地点，第二个下标表示产生位移的原因。上一页下一页返回17.7互等定理7.7.2位移互等定理位移互等定理是功的互等定理的一个特殊情形，即在两种状态中分别作用单位力时，在单位力的作用点沿单位力方向的位移之间的互等关系。在图所示的两种状态中，结构都只受一个单位力F1=F2=1的作用。设用δ12表示F2=1引起的F1作用点沿F1方向的位移；用δ21表示由F1=1引起的F2作用点沿F2方向的位移，由功的互等定理可得F1δ12=F2δ21因F1=F2=1，故有 δ12=δ21这就量位移互等定理，即在第一状态中由第一个单位力引起的第二个单位力作用点沿第二个单位力方向的位移δ12，等于第二状态中由第二个单位力引起的第一个单位力作用点沿第一个单位力方向的位移δ21。这里，单位力可以是广义力，而位移则是相应的广义位移。上一页下一页返回17.7互等定理7.7.3反力互等定理反力互等定理是功的互等定理的另一个特殊情形，它表示超静定结构在两个支座分别产生单位位移时，在两种状态中反力之间的互等关系。如图17-24所示为同一超静定结构的两个支座分别发生单位位移的两种状态。如图17-24（a）所示表示支座1发生单位位移Δ1=1，在支座2处引起的反力r21；如图17-24（b）所示表示支座2发生单位位移Δ2=1，在支座1处引起的反力为r12。其他支座反力未在图中绘出，因为它们所对应的另一状态的位移为零，不作虚功。根据功的互等定理可得R12=r21这就是反力互等定理，即对超静定结构，在第一状态中由支座1的单位位移引起的支座2处的反力r21，等于第二状态中由支座2的单位位移引起的支座1处的反力r21。这里，反力rij有两个下标，第一个下标表示产生反力的地点，第二个下标表示产生反力的原因。上一页下一页返回17.7互等定理同样，这里的支座可以换成别的约束，支座位移可以换成该约束相应的广义位移，支座反力可以换成该约束相应的广义力。如图17-25所示为反力互等的例子。这里，反力r12和反力矩r21在数值上是相等的。上一页返回总结与讨论结构位移计算方法归纳起来有两类，一是几何物理方法，它是以杆件变形关系为基础，例如计算简支梁挠度、转角的积分法；另一类是以功能原理为基础，例如以虚功原理为基础导出的单位荷载法。本章学习的是后者，前者在上册中已作了详细的介绍。结构在荷载作用下，或者是支座移动、温度变化、材料收缩和制造安装误差等其他因素下，要产生应力和应变，从而导致杆件尺寸和形状的改变，也就是发生了变形。变形能使结构各点的位置发生相应的改变，这种由于在外荷载作用下所引起的结构各点位置的改变就是结构的位移。结构的位移包括线位移和角位移两种情形。下一页返回总结与讨论结构位移计算具有重要的意义，它的主要体现在以下作用有几个方面，掌握结构位移的计算原理和计算方法，是本课程学习的重点之一。结构位移计算的结论可以用来校核结构的刚度。为保证结构在使用过程中不致发生过大的变形而影响结构的正常使用。例如建筑结构中楼面主梁的最大挠度一般不可超过其跨度的1/400；工业厂房中的吊车梁的最大挠度不可超过跨度的1/600～1/500。又如，当火车通过桥梁时，假如桥梁挠度太大，将会导致铁路轨道不平顺，引起较大的冲击和振动，甚至影响列车运行。按规定，在静荷载作用下桥梁的最大挠度不可超过其跨度的1/900～1/700。上一页下一页返回总结与讨论结构位移计算的作用之一是指导结构的制作和施工安装架设。某些结构在制作、施工安装架设等过程中需要预先知道结构可能发生的位移，以便采用必要的防范和加固措施，在模板工程和钢筋工程、混凝土工程中预先设好预拱度。例如图17-26（a）所示桁架，在屋盖自重作用下，其下弦各结点将产生虚线所示的竖向位移，结点C的竖向位移最大。为了减少桁架在使用时下弦各结点的竖向位移，在制作时要将下弦部分按“建筑起拱”的做法下料制作，（如图17-26（b）所示），当拼装后结点C′恰好落在C点的水平位置上。确定“建筑起拱”必须计算桁架下弦结点C的竖向位移，以便确定起拱的高度。因为超静定结构的内力计算单凭静力平衡条件是不能完全确定的，还必须考虑变形协调条件才能求解，建立变形协调条件方程就需要进行结构位移的计算，在下一章的学习中就会用到这一点。另外，在结构动力计算和稳定性计算均要用到结构位移的计算。所以，结构位移计算在结构分析和实践上都具有重要的意义。上一页返回习题17-1试用积分法求如习题17-1图所示刚架B点的水平位移。EI=常数。17-2如习题17-2图所示曲梁为圆弧形，EI=常数。试求B点的水平位移。17-3如习题17-3图所示曲梁为圆弧形，EI=常数。试求B点的水平位移。17-4如习题17-4图所示桁架各杆截面均为A=2×10-3m2，E=210GPa，F=40kN，d=2m。试求：（1）C点的竖向位移；（2）角ADC的改变量。17-5下列各图如习题17-5图所示图乘法是否正确？如不正确应如何改正？17-6试用图乘法求指定位移（求最大挠度）。17-7试用图乘法求指定位移（求ΔCY）。17-8试用图乘法求指定位移（求ΔB）。下一页返回习题17-9试用图乘法求指定位移（求ΔCy）。17-10试用图乘法求指定位移（求C、D两点的距离改变）。17-11试用图乘法求指定位移（求、、DD，并勾绘变形曲线）。17-12试用图乘法求指定位移（求铰C左右两截面相对转角及CD两点距离改变，并勾绘变形曲线）。17-13试用图乘法求指定位移（求AB两点相对水平位移，并勾绘变形曲线）。17-14如习题17-14图所示梁EI=常数，在荷载F作用下，已测得截面A的角位移为0.001rad（逆时针）。试求C点的竖向线位移。17-15如习题17-15图所示组合结构横梁AD为20b工字钢，I=2500cm4，拉杆BC为直径20mm的圆钢，材料的弹性模量E=210GPa，q=5kN/m，a=2m。试求D点竖向的位移。上一页下一页返回习题17-16结构的温度改变如习题17-16图所示，试求C点的竖向位移。各杆截面相同且对称于形心轴，其厚度为h=l/10，材料的线膨胀系数为α。17-17如习题17-17图所示等截面简支梁上边温度降低t，下边温度升高t，同时两端有一对力偶M作用。若欲使梁端转角为零，M应为多少？17-18在如习题17-1