西安科技大学自动控制原理教学同步教程-第五章课件

第五章线性系统的频域分析法主要内容：（1）介绍频率特性的基本概念和开环频率特性曲线的绘制方法。（2）研究频率域稳定判据、频率性能指标的估算、频率特性与稳态响应及暂态响应之间的关系。第一节频率特性一、频率特性的基本概念系统对正弦输入信号的稳态响应称为频率响应，频率响应与正弦输入信号复振幅之比称为频率特性。 设图5-1表示线性定常控制 系统，其传递函数一般是具 有实系数的有理真分式，可 以表达为式中，为s的多项式。当正弦输入信号 时，其拉氏变换为 （5-1）则输出的拉氏变换为 （5-2）若所有极点互异，即没有重根，上式展成部分分式为 （5-3）对式（5-3）取拉氏反变换，可得正弦信号的响应为 （5-4）中前两项是中的极点所决定的稳态分量；后面的项是中的极点所决定的暂态分量。对于稳定的系统，闭环极点具有负实部根，暂态分量在 时衰减为零，系统的稳态输出为 （5-5）式中代入式（5-5）得 （5-6）由于是的实系数有理函数，所以与 是共轭的，若将 表达为 （5-7）式中 ； ，则的极坐标形式一定为 （5-8）将式（5-7）和式（5-8）代入式（5-6）得 （5-9）式中 。 由（5-9）分析可得，对于稳定的线性定常系统，在正弦输入信号作用下，其稳态输出也是一个同频率的正弦信号。如果用复振幅 和 分别表示两个同频率的正弦 和 ，则有 （5-10） 即G(jω)

是线性定常系统在稳定条件下正弦输出信号的复振幅与正弦输入信号的复振幅之比，它描述了线性定常系统传递正弦信号的能力。 将传递函数 中的用取代求得，即 （5-11） 因为频率特性 是在 下的传递函数，所以用频率特性 描述系统的性能与传递函数具有同等效果，且有关传递函数的概念和运算法则对于频率特性均适用。 频率特性不仅能反映系统的稳态性能，而且可以用于研究系统的稳定性和暂态性能，这一点可以用富氏变换来说明。 在零初始条件下输出信号与输入信号富氏变换之比即为频率特性，即 （5-14） 显然，在已知频率特性 时，其输出信号可以通过富氏反变换获得。即 （5-15） 式（5-15）给出了频率特性 、输入信号 与暂态响应的关系，说明 中包含着的信息，这也是用频率特性描述线性系统时域暂态响应的数学基础。式（5-10）和（5-14）是两种频率特性的定义：式（5-10）是在零初始条件时线性系统在正弦信号作用下，其输出响应的稳态分量与输入信号复振幅之比；式（5-14）是在零初始条件时线性系统输出的富氏变换 与输入信号富氏变换之比。但频率特性的求取一般采用式（5-11），即用虚数“ ”代换环节或系统传递函数中的复数“”。二、频率特性的几何图示法频率特性 是复数，它既可以用实部、虚部表示，也可以用幅值（模）和相角来表示，即 （5-16） 式中 = ——幅频特性

——相频特性

——实频特性

——虚频特性 不难看出，和是的偶函数，和 是的奇函数，这些性质对频率特性作图有很大帮助。（一）幅相频率特性图或极坐标图 频率特性 的幅相频率特性图是当由零变化到无穷大时，在复平面上描绘出的的幅值 与相角 的关系图，也可以说是以为参变量的的轨迹图。（二）对数坐标图或伯德图 对数坐标图是将幅频特性和相频特性分别用两个图表示。对数幅频特性图的纵坐标为 ，单位为分贝（db），采用线性分度；横坐标采用对数分度表示角频率，单位为弧度/秒（rad/s）；对数相频特性图的纵坐标为 ，单位为度（），采用线性分度，横坐标同样采用对数分度表示角频率。（三）对数幅相图或尼柯尔斯图 对数幅相图的特点是纵坐标为 ，单位为分贝（dB），横坐标为，单位为度（），均采用线性分度，频率为参变量。例5-1

试绘制图5-2所示RC电路的幅相频率特性图、对数坐标图和对数幅相图。 解根据电路知识可知RC电路的传递函数为

式中，T=RC为时间常数。在G(s) 中，令s=jω得频率特性为w100®w¥®wjVUa)极坐标图T01.0T1T10020020-40-045-090-0b))rad/s(w对数坐标图20lgG(ω)(dB)Ф(ω)40040-0180-00180）（ωfc)20lgG(ω)(dB)对数幅相图从图中可以直观的看出该电路传递不同频率正弦信号的能力，这就是频率特性图的优越性。对于复杂系统，这一优越性尤其明显。在以上三种频率特性图中，幅相频率特性图和对数坐标图是应用最广泛的。第二节典型环节及控制系统的频率特性

一、典型环节的频率特性（一）比例环节比例环节又称放大环节，其传递函数为其频率特性为 （5-17）由于频率ω为任何值时， ， ，因此比例环节的幅相频率特性为点 。对 取分贝可得比例环节对数幅频特性 （dB）（5-18） 这是一条平行于横轴且纵轴为 的直线。由于 ，所以比例环节的对数相频特性是一条与横轴重合的直线。（二）积分环节积分环节的传递函数为其频率特性为 （5-19） ， ，频率ω增大，单调减，不变，因此积分环节的幅相频率特性是一条与负虚轴重合的直线。对 取分贝可得积分环节对数幅频特性 （5-20） 由上式可知ω=1， ，ω每增大10倍，下降20分贝，所以积分环节对数幅频特性是一条斜率为每十倍频程 -20分贝的直线（简称 ），且过零分贝的ω为1。由于 ，所以积分环节的对数相频特性是一条与横轴平行且纵轴为的直线。

（三）微分环节微分环节的传递函数为其频率特性为 （5-21） ， ，频率ω增大，单调增，不变，因此微分环节的幅相频率特性是一条与正虚轴重合的直线。对 取分贝可得微分环节对数幅频特性 （5-22） 由上式可知ω=1， ，ω每增大10倍，上升20分贝，所以微分环节对数幅频特性是一条斜率为每十倍频程 20分贝的直线（简称 ），且过零分贝的ω为1。由于 ，所以微分环节的对数相频特性是一条与横轴平行且纵轴为的直线。（四）惯性环节 惯性环节的传递函数为 其频率特性为 （5-23） 以ω为参变量，分别计算出ω从0到∞时相应的幅值 与相角 的数值，可以看出 时，, ； 时， ， 。同时可以看出随着ω的增大， 和 是单调减的，的曲线始终在幅相频率特性图的第Ⅳ象限。 对 取分贝而得惯性环节对数幅频特性 （5-24）在ω≤1/T，对数幅频特性的渐近线是一条与0dB重合的直线。在ω≥1/T，对数幅频特性渐近线是一条过ω=1/T斜率-20dB/dec的直线。惯性环节对数相频特性为 。用两条渐近线近似表示惯性环节的对数频率特性与精确曲线相比将产生误差，其最大误差为误差曲线如图5-8所示。（五）一阶微分环节一阶微分环节的传递函数为其频率特性为 （5-25）ω从0到∞变化时，实部为1，虚部从0到∞，其幅相频率特性图是复平面上起始于实轴1且平行于正虚轴的直线。对 取分贝可得一阶微分环节对数幅频特性 （5-26） 由于一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒数，所以它们的对数幅频特性曲线和相频特性曲线对称于横轴。（六）振荡环节振荡环节的传递函数为 （ ）其中其频率特性为 （5-27）即 ， 。 时， ， ； 时， ， ； 时， ，。下面就的单调性作讨论，求 的极值，即 （5-28）可得 （5-29）求解上式得极值时的频率及极值存在的条件 （ ） （5-30）此时的频率称作谐振频率，其存在的条件是 。将代入，得到谐振峰值 （5-31）当 ，且 时，单调增； 时，单调减。而当 时，单调减。对取分贝可得振荡环节对数幅频特性 （5-32）在 ，对数幅频特性的渐近线是一条与0dB重合的直线。在 ，对数幅频特性渐近线是一条过转角频率 点斜率 -40dB/dec的直线。振荡环节对数相频特性为 。当 ， ；时， ； 时， 。越小，在邻域的变化率越大，同时，对数相频特性关于 （，）点奇对称。

振荡环节的频率特性不仅与有关，而且与有关，但或T的变化只引起对数频率特性曲线的左右移动，不影响曲线的形状；而较小时，在对数幅频特性曲线上出现一个峰值，这一峰值与该环节时间响应的超调量相关。（七）二阶微分环节二阶微分环节的传递函数为

（ ）其频率特性为 （5-33）即 ，

。 时，， ； 时，， ； 时，， 。对 取分贝可得二阶微分环节对数幅频特性 （5-34）由于二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数，所以它们的对数坐标图也对称于横轴。（八）滞后环节 滞后环节的传递函数为

式中，T为滞后时间。其频率特性为 （5-35） 即 ， ，可以看出其幅相频率特性曲线是复平面上一个以坐标原点为圆心的单位圆，如图5-13（a）所示。图中同时绘出惯性环节的曲线。容易看出，当

的低频范围内，两者十分相似，即在低频范围内可以用惯性环节近似代替滞后环节。对 取分贝可得滞后环节对数幅频特性 （5-36）这是一条与0分贝线重合的直线，而 与-ω成正比。二、系统开环频率特性用频率法研究控制系统最主要的特点是根据开环频率特性判断闭环系统的稳定性及时域性能指标。系统开环频率特性通常是若干典型环节频率特性的乘积，即 （5-37）

写成极坐标形式为

（5-38）即求系统开环频率特性应先求出组成系统各个环节频率特性的幅值与相角，然后绘制对数坐标图和极坐标图。（一）开环频率特性的对数坐标图（伯德图）设系统开环频率特性如式（5-37）所示，对其幅频特性取分贝得

（5-39）

（5-40）当给定一系列的ω值，可以计算每一个环节的

和

，再利用式（5-39）和（5-40）计算开环系统的 和

，椐此绘制系统的对数坐标图。例5-2

已知系统试开环传递函数为

试绘制下列的对数坐标图。

解将此传递函数改写成用时间常数表示的形式，其频率特性为

1.各环节的转角频率；放大环节和积分无转角频率，惯性环节转角频率为1，一阶微分环节转角频率为2，振荡环节转角频率为4。如图5-14所示。2.有一个积分环节，所以是1型系统，低频段为斜率-20dB/dec的斜线，且延长线与横轴交于10，即为该系统低频渐近线。3.沿低频渐近线开始，从左往右，在开始系统渐近线斜率叠加-20dB/dec，变为-40dB/dec；同理在，系统渐近线斜率叠加20dB/dec，变为-20dB/dec，再在，系统渐近线斜率叠加-40dB/dec，变为-60dB/dec。该系统的渐近对数幅频特性曲线如图5-14所示。4.给出不同的ω值，计算对应的，利用式（5-40）进行代数相加，算出系统的相频特性的曲线，如图5-14所示。°0°-90°-180°-270°-3601.001.01101002图

5-14例5-2系统开环频率特性对数坐标图4020020-40-60-604rad/s)(wФ(w)20lgG(w)(dB)（二）开环频率特性的极坐标图 设开环系统频率特性的一般表达式为

（5-41）

为了方便讨论现将频率特性分成低频、中频、高频三个区段进行分析。1.低频段 在频率特性中，ω较小、趋于0的部分称为低频段。低频段可以近似表示为

（5-42）0型系统（K＞0）频率特性曲线起始于实轴上的点（K，j0），如图5-15（a）中所示。1型系统（K＞0）频率特性曲线起始于与负虚轴平行以直线为渐近线的无穷远点，如图5-15（a）中所示。2型系统（K＞0）频率特性曲线起始于负实轴的无穷远处，但起始的渐近线不是负实轴，如图5-15（a）中所示。2.高频段在频率特性中，ω很大、趋于∞部分称为高频段。在高频段，式（5-41）可近似为

（5-43）当 时，频率特性曲线的高频段最终趋于坐标原点。趋于原点的方向由 决定.当 时，频率特性曲线的高频段最终趋于实轴上的（ ）点。当 时（工程实际一般不会出现），频率特性曲线的高频段最终趋于∞。3.中频段 在频率特性中，介于低频和高频之间的广大部分称为中频段。 通常可以根据 和 的单调性及变化趋势确定大致图形；若利用 判断频率特性曲线和负实轴可能有交点，则利用 计算此时的值ω，代入 中获得和负实轴的交点，依此确定中频段的大致位置和形状，获得概略极坐标图。如果需要精确的极坐标图，可以逐点计算绘制。例5-3

已知系统的开环传递函数为

试绘制其频率特性的概略极坐标图。解在

中，令 得频率特性为

可以看出系统为0型，时，，；时， ，。同时可以看出随着ω的增大，和 是单调减的， 的曲线在幅相频率特性图的第Ⅳ、Ⅲ象限，且和负虚轴有交点，交点处的频率可以用下式等式两边取正切计算出交点时的频率 。再代入

计算得 ，即和负虚轴的交点为（0， ）。由以上分析可得概略幅相频率特性曲线如图5-17所示。UjV0¥®w0®wwK图

5-17例5-3系统开环频率特性极坐标图例5-4

已知系统的开环传递函数为

试绘制其频率特性的概略极坐标图。解在中，令

得频率特性为 可以看出系统为1型，时，，；时，，。同时可以看出随着ω的增大，和 是单调减的，的曲线在幅相频率特性图的第Ⅲ、Ⅱ象限，且与虚轴无交点；与负实轴有交点，交点处的频率利用下式

等式两边取正切计算出交点时的频率，再代入

计算得 ，即和负实轴的交点为（ ，j0）；同时对于1型系统，其起始渐近线为 的直线，由以上分析可以获得概略幅相频率特性曲线如图5-18所示。UjV2121TTTKT+-0图

5-18例5-4系统开环频率特性极坐标图)(21TTK+-0®w¥®ww例5-5

已知系统的开环传递函数为

试绘制其频率特性的概略极坐标图。解在 中，令得频率特性为可以看出系统为1型，时，， ；时，，，同时随着ω的增大，利用对数幅频特性可知为单调减。令

等式两边取正切计算与负虚轴交点时的频率 （）即当时与负虚轴有交点与负实轴无交点，此时是先增后减，再将代入，即

计算得 ，即和负虚轴的交点为（0， ），同时对于1型系统，其起始渐近线为的直线，由以上分析可获得概略幅相频率特性曲线在第Ⅳ、Ⅲ象限如图5-19所示。令等式两边取正切计算与负虚轴交点时的频率 （ ）即当时与负实轴有交点，此时是先减后增，再将代入，即

计算得 ，即与负实轴的交点为（，j0），此时其起始渐近线仍为直线，由以上分析可以获得概略幅相频率特性曲线在第Ⅲ、Ⅱ象限，如图5-19所示。若，则概略幅相频率特性曲线在第Ⅲ象限，如图5-19所示。例5-6

已知系统的开环传递函数为

试绘制其频率特性的概略极坐标图。解系统开环频率特性为 可以看出系统为1型，时，，；时，，。同时随着ω的增大，是单调减的，而从对数幅频特性可以知道也是单调减，的曲线在幅相频率特性图的第Ⅲ、Ⅱ象限，且与虚轴无交点；与负实轴有交点，交点处的频率利用下式

等式两边取正切计算出交点时的频率，再代入

计算得 ，即和负实轴的交点为（ ，j0）；同时对于1型系统，其起始渐近线为直线，由以上分析可以获得概略幅相频率特性曲线如图5-20所示。例5-7

已知系统的开环传递函数为

试绘制其频率特性的概略极坐标图。解系统开环频率特性为可以先绘制惯性环节的频率特性，然后在每一个频率ω上保持幅值不变，幅角再增加，即获得该系统的极坐标图，如图5-21所示。这是一个收敛于坐标原点的螺旋线。（三）最小相位系统与传递函数频率实验确定在右半S平面没有开环极、零点且没有滞后环节的系统称为最小相位系统，否则称为非最小相位系统。对于具有相同幅频特性的系统，最小相位系统的相角范围是最小的。例如传递函数为 和 的两个系统，其中τ满足 ，在右半S平面有一个零点，故为非最小相位系统，它们的频率特性分别为

和

其相应的对数坐标图如图5-22所示。由图可以看出，它们具有相同的对数幅频特性，但相频特性不同，其中具有更大的相角滞后。最小相位系统的重要性质是它的幅频特性和相频特性之间存在着唯一的对应关系，据此对于最小相位系统通常可以只根据它的幅频特性对系统进行分析和设计，而不再考虑它的相频特性。检验系统是否为最小相位系统的方法是：当

时，若对数幅频特性的高频段渐近线的斜率为

；相频特性的相角为

，则为最小相位系统。对于有些最小相位稳定系统可以通过频率响应实验方法确定系统的数学模型。频率响应实验的原理如图5-23所示。例5-8

图5-24为由频率响应实验获得的某最小相位系统的对数幅频渐近特性曲线，试确定系统传递函数。解

1.确定系统积分或微分环节的个数。因为对数幅频渐近特性曲线的低频渐近线的斜率为

，而由图5-24知低频渐近线斜率为

，故有 ，系统含有2个微分环节。2.确定系统传递函数结构形式。由于对数幅频渐近特性曲线为分段折线，其各转折点对应的频率为所含一阶或二阶环节的转角频率，每个转角频率处斜率的变化取决于环节的种类。本例中共有2个转角频率：

处，斜率变化

，且有谐振，所以对应振荡环节。

处，斜率变化

，对应惯性环节。因此所测系统具有下述传递函数：其中参数待定。3.由给定条件确定传递函数参数。低频渐近线方程为 在ω=1时， ，所以K=1。 从图中可以看出，从 以斜率40dB/dec上升了14dB，所以频程为，即；从以斜率20dB/dec下降了14dB，所以频程为5，即 ；谐振为6dB，即 ，则，故有解得 。于是所测系统的传递函数为三.系统闭环频率特性闭环频率特性和开环频率特性一样通常也是由若干典型环节频率特性的乘积构成，即 （5-46）和开环不同的是闭环传递函数一般不含有微分和积分环节，可以表达为作用在控制系统的信号除了控制输入外，常伴有确定性扰动和随机噪声，因而闭环系统的频率特性应该反映控制系统跟踪控制输入信号和抑制干扰信号的能力。

在闭环频率特性分析和设计系统时，常用的闭环频率性能指标有：1.零频率幅值M(0)即ω=0时闭环频率特性值。它反映了系统的稳态精度，M(0)越接近于1，系统精度越高。2.谐振频率，系统出现最大闭环频率特性值时的频率。3.谐振峰值，系统出现的最大闭环频率特性值。较大意味着系统的平稳性较差，系统的阶跃响应将有较大的超调量。4.带宽频率，是指闭环频率特性值降到时的频率。大的频带宽度相应于系统较快的上升时间。因此在作图时为了反映这些闭环频率性能指标，需要注意的是：在对数幅频特性图上，有谐振时要用误差曲线修正对数渐近曲线，以获得谐振频率和谐振峰值；同时在以下3分贝处画一条横线以确定带宽频率和频带宽度。图5-25为某3阶系统的闭环对数频率特性图。第三节控制系统频率域稳定判据一、奈奎斯特稳定判据的数学基础设有复变函数 （5-47）F(s)从S平面到F平面的映射，如图5-26所示。幅角定理

设复变函数F(s)有个P极点和Z个零点被S平面上某一封闭曲线C所包围，且曲线C不通过任一极点或零点，F(s)在C内除了有限个极点外处处解析，则当复数S沿封闭曲线C正方向环绕一周时，映射到F平面上的曲线正向包围原点的次数为 （5-48）假设在S平面上的封闭曲线C上任意非奇点S，在F平面上封闭曲线有一点F(s)与之对应，该点的模值与幅角可利用式（5-47）求得

（5-49）

（5-50）二、奈奎斯特稳定判据控制系统的闭环特征方程为 （5-51）由式（5-51）可知，F(s)具有以下特点：1.F(s)的零点是闭环传递函数的极点，F(s)的极点是开环传递函数的极点；2.因为开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等于分子多项式的阶次，故F(s)的零点和极点数相同；3.F(s)和G(s)H(s)只相差常数1，曲线和曲线形状一样，关于原点包围的圈数可以用关于的包围圈数获得。系统稳定的充要条件是闭环特征根即F(s)的零点都应位于左半s平面。为了检验F(s)是否有右半s平面的零点，可选择一条包围整个右半s平面的顺时针方向的封闭曲线C，称之为奈奎斯特围线。分两种情况选择奈奎斯特围线：1.当s平面的原点或虚轴上没有F(s)的极点时，所选的奈奎斯特围线由两部分组成，一是半径为∞的右半圆（ ， ）；二是s平面的整个虚轴，即图5-29（a）。2.当s平面的原点或虚轴上有F(s)的极点时，用无穷小半径的半圆避开虚轴上的开环极点，即图5-29（b）所示的C曲线。要注意的是F(s)在右半s平面的极点数不包括这些虚轴上的极点个数。上述两种情况的奈奎斯特围线都包围了整个右半s平面，因此也必然包围了F(s)在右半s平面内的所有极零点。根据幅角定理，由于系统稳定的充要条件是F(s)在右半s平面无零点，即Z=0，因此系统的稳定判据为：如果s在s平面顺正方向沿奈奎斯特围线C环绕一周时，在F平面上的映射曲线正向包围原点N=-P周，或者说逆时针方向包围原点P周，则系统稳定。一般情况下，开环系统是稳定的，即P=0，则映射曲线不包围其坐标原点系统才稳定。根据F(s)具有的特点3，N也可以用G(s)H(s)在GH平面上的关于 的包围圈数获得。下面研究奈奎斯特围线C通过G(s)H(s)映射到GH平面上曲线的情况。如果系统开环传递函数G(s)H(s)的一般形式为 （5-53）则当s沿半径∞顺时针移动时，即（α从90°变化到―90°），在G(s)H(s)平面上的映射为

（5-54）分析知，修正围线起始于，终止于，并顺时针旋转。

奎斯特稳定判据可叙述如下：闭环系统稳定的充要条件是当ω从-∞变到∞时，系统开环极坐标图按逆时针方向包围点P周，P为开环传递函数位于右半s平面的极点数。如果开环系统稳定，P

=0，则闭环系统稳定的充要条件是系统开环极坐标图不包围点。通常为了简单，只绘制曲线的正半部分，即ω从变到∞，此时判别系统的稳定性应将式（5-52）改为

（5-56）图5-30给出了一些分析系统稳定性的例子。当开环极坐标图 穿过点，表明F(s)存在的零点，即系统闭环特征方程存在共轭纯虚根，则系统处于临界稳定状态。a— ；b— ；c— ；d— ；e— ；f— ；g— ；h— ；i— 。例5-9

已知单位反馈系统开环极坐标曲线（ ）如图5-31所示，试确定系统闭环稳定时K值范围。解

如图所示，开环幅相曲线与负实轴有三个交点，，设交点处的频率分别为 ，系统开环传递函数频率特性可以描述为其中只含比例和积分环节，即。当K=30时 ， ，若，则对应的K值为 ；；对应地可以取，，，时，开环极坐标图分别如图5-32（a）、（b）、（c）、（d）所示。根据奈奎斯特判据可以看出，（a）、（c）图稳定，（b）、（d）图不稳定，即系统闭环稳定时K值范围为（0，15）和（20，60）。例5-10

已知滞后系统开环传递函数为

试根据奈奎斯特判据确定系统闭环稳定时，延迟时间值的范围。解由图5-21可知，该滞后系统开环极坐标曲线为螺旋线，即模值和相位都是单调减的。同时，P=0，所以极坐标曲线不包围点稳定。通过以上分析，系统稳定的条件是： 或。可以得到解得，代入，得系统闭环稳定的条件是。三、对数频率特性图上的奈魁斯特稳定判据如果在极坐标图上的极坐标曲线顺时针包围点一周，则必然从下而上穿越一次实轴的线段。因为这种穿越与规定的正方向（顺时针方向）一致，故称正穿越（）。反之，从上而下（逆时针方向）穿越实轴的线段称为负穿越（）。则，奈奎斯特稳定判据可以表述为 （5-57）由于极坐标图上的与对数坐标图上的0dB线及线对应，所以在开环极坐标图上的正负穿越对应在开环对数坐标图上为在的频率范围内，相频特性曲线由上而下或由下而上穿越线仍称作正或负穿越。对数坐标图上的奈奎斯特稳定判据为设系统在右半s平面内的闭环极点为Z，开环极点为P，则在开环对数频率特性图上的的频率段内，相频特性 正负穿越线的次数为 （5-58）闭环系统稳定的充要条件是Z=0，则 （5-59）这里应注意极坐标图上半径无穷大的那段弧，该圆弧在对数坐标图上可表示为相频特性曲线上的一条从相角到的垂线。另外，在的频率段内，当从线起始向下或向上延伸时，算作半次正或负穿越。四、相对稳定性频域的相对稳定性（稳定裕度）常用相角裕度和幅值裕 度 度量。（一）相角裕度设为系统截止频率 （5-60）定义相角裕度为

（5-61）相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后度，则系统将处于临界稳定状态。（二）幅值裕度设为系统穿越频率 （5-62）定义幅值裕度为

（5-63）幅值裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再放大倍，则系统将处于临界稳定状态。极坐标图中和的表示如图5-33（a）所示。在对数坐标图上，幅值裕度定义为 （dB）（5-64）对数坐标图中和的表示如图5-33（b）所示。例5-11

已知系统开环传递函数为

试分别计算K为1和4时，系统的稳定裕度。解系统开环频率特性为按的定义可以求得。当K=1时 ，，，当K=4时

，,

，由计算可得K=1，系统稳定，，；K=4，系统不稳定， ， 。例5-12

已知系统开环传递函数为

试分别计算K为5和20时，系统的稳定裕度。解系统开环频率特性为按的定义可以求得。当K=5时 ，可以判断出截止频率在（1，10）之间，所以在（1，10）频段幅频渐近特性曲线可以表述为令模值为1，得，当K=20时 ，此时也可以判断出截止频率仍在（1，10）之间，利用上面的模值计算可得，，应该指出，对于开环不稳定的非最小相位系统，用相角裕度和幅值裕度描述系统相对稳定性是不合适的。而对于最小相位系统，仅用相角裕度或幅值裕度也不能全面描述系统的相对稳定性，通常需要同时利用两个量衡量系统性能。为了保证系统有较满意的暂态响应特性，常取相角裕度，幅值裕度（即）或。根据伯德第二定理幅相对应关系可知，对于最小相位系统其对数幅频特性曲线在截止频率处的斜率若为-20dB/dec，则系统稳定且有较大的相角裕度。斜率若为-40dB/dec，系统可能稳定，也可能不稳定，即使稳定相角裕度也很小。斜率若小于-40dB/dec，则系统必不稳定。因此，常将开环幅频特性曲线在截止频率处的斜率设计为-20dB/dec，并且这段特性的宽度大于5倍频程作为控制系统的频域设计基本原则。第四节频率特性与时域响应的关系一、频率特性与时间响应的一般关系根据频率特性的定义式（5-14），当输入为单位阶跃函数时，则应该将写成频域形式，才能求出相应的输出。而单位阶跃函数不是绝对可积的，故利用极限概念将其写成（≥0）其相应的富氏变换为

对上式进行富氏反变换并推导计算 （5-65）式（5-65）表明，单位阶跃函数可以展为无穷多连续谐振分量 和一个恒值分量1/2之和。这样就将单位阶跃函数分解 为全部频带中所有频率的正弦函数的叠加。如果线性系统的闭环频率特性为 （5-66）上式中。则系统单位阶跃响应由每一个输入分量响应之和组成。即 （5-67）式（5-67）给出了闭（开）环频率特性与暂态响应的一般关系。它说明闭（开）环频率特性与暂态响应有着一一对应的关系。应该指出，仅就整个频率特性函数而言，频率特性函数与暂态响应函数有着一一对应的关系。性能指标一般只反映函数的部分特征，不反映函数的全貌。两个不同的甚至差异很大的频率特性函数可以具有相同或接近的时域性能指标，但它们的时域响应函数是不同的。为了分析闭环频率特性的带宽与时间响应之间的关系，设两个闭环频率特性曲线形状完全相同，但带宽不同的两个系统，其闭环频率特性分别其对数频率如图5-34（a）所示。则其单位阶跃响应分别为

即对于频带宽度不同但频率特性曲线形状相同的两个系统，频带宽度较宽的系统有着更快的暂态响应过程，若频带宽k倍，暂态响应将快k倍，如图5-34（b）所示。即频域的扩展相当于时域的压缩，时域的扩展相当于频域的压缩。这一结论也适用于开环频率特性。二、开环频率特性与稳态响应的关系系统开环频率特性一般可以表示为 （5-68）对于0型系统，式（5-68）可写为 （5-69）当时，有及。即开环对数幅频特性渐近曲线的低频段总是一条幅值为的水平直线，如图5-35所示。因此根据开环对数幅频特性渐近曲线的低频段即可确定稳态位置误差系数。

图5-35对于1型系统，式（5-68）可写为 （5-70）当时，有及，当 时，有。即开环对数幅频特性渐近曲线的低频段总是一条斜率为-20dB/dec的直线，且低频段的渐近曲线[图5-36（a）或其延长线图5-36（b）]与0dB线相交于 点。因此根据开环对数幅频特性低频段渐近曲线或其延长线与0dB线相交的频率，即可以确定稳态速度误差系数。图5-36对于2型系统，式（5-68）可写为 （5-71）当时，有及，当时，有。即开环对数幅频特性渐近曲线的低频段总是一条斜率为-40dB/dec的直线，且低频段的渐近曲线[图5-37（a）或其延长线图5-37（b）]与0dB线相交于 点。因此根据开环对数幅频特性低频