第11届景润杯 第一讲 极限的理论及方法(讲座)

厦门大学第十一届“景润杯”数学竞赛

暨第六届全国大学生数学竞赛

系列讲座

厦门大学数学科学学院林建华

第一讲

极限的理论与方法

极限的思想是近代数学的一种重要思想方法，极限理论是高等数学的重要基础，它贯穿于整个高等数学的始终。

如果要问：“高等数学是一门什么学科？”，那么可以概括地说：“高等数学就是用极限思想来研究函数，研究自然科学的一门学科”。

极限的思想方法是微积分的基本思想，也是高等数学与初等数学的本质区别所在。高等数学之所以能解决许多初等数学无法解决的问题，例如瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题正是由于采用了极限的思想方法。

高等数学中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的因此掌握求极限的方法是理解极限思想的重要的基础训练步骤之一。

求极限的方法是多种多样的，有的还需要较高的技巧，因此要较好地掌握极限的方法，需要我们在平时的学习中不断地总结、归纳、类比、记忆。更为重要的是还要善于把所学过的知识串起来，并加于灵活运用。

下面我们将讨论几类重要的求极限方法，它是我们所学过求极限方法的深化拓广和提高，也是综合利用导数、微分中值定理、定积分等知识解决极限问题的重要方法。1、

用导数定义求极限导数是用极限来定义的，现在反其道而行之，利用导数定义来计算某些数列和函数的极限。如下是我们所熟知的导数定义的一种变形例1计算解例2设解在点可导，计算例3设解计算1、计算分析：K为自然数。举一反三练习2、

设f(x)在x0处二阶可导分析：可以利用洛必达法则，但根据题设条件只能用一次，然后再利用导数的定义。2、用拉格朗日中值定理求极限如下是拉格朗日中值定理应用的一种变形例1计算例2计算间。间。1、

计算分析举一反三练习2、计算思考：可否利用柯西中值定理。3、用等价无穷小代换求极限先利用拉格朗日中值定理给出下述一般命题：设下列两个条件满足(1)

(x),(x)是连续函数,且(2)

f(x)在x=c的一个邻域内可导且在x=c处连续，且则证：由拉格朗日定理和题设条件于是即由此命题，可得到如下的等价代换式子。它给求极限带来很大方便。容易知道，把xx0换成x

时，相应条件还满足，则上述结论仍然成立。此命题的特点是：相减的两项的外层的函数必须是相同的，里面复合的自变量函数(x)，(x)可以是不一样。x在某种趋近方式下，且(x)(x)解：利用等价关系式子解：利用等价关系式子解：利用等价关系式子1、

计算举一反三练习提示：2、设提示：附近有连续的一阶导数，且在存在,求3、已知提示：寻求a,b使下式成立求的值.为任意实数)对乘除运算求极限，利用等价无穷小代换简便而有效，但对加减运算下的无穷小代换则需特别注意。下面定理给出了加减运算求极限时可以进行等价代换的条件。

4、加减运算下的等价代换命题设(x),1(x),(x),1(x)均为xx0时的无穷小，且(x)1(x),(x)1(x)，证明：当xx0时，(x)+(x)1(x)+1(x)。且不等于-1，命题证明:只需证注意到由等价关系(5)1、

计算举一反三练习提示：Talor公式是用多项式逼近函数的一种有效工具，具有广泛的应用。带有Peano余项的Talor公式常被应用在求极限的过程中。

5、利用Taylor公式求极限公式成立的条件是：存在即可，不需要n+1阶导数的存在。要熟记以下几个常用的带Peano余项的Talor公式.例2设f(x)在x=0处二阶可导，且思考：（洛比达法则）1、

求举一反三练习和求处可导,且2、设在（1）数列极限的夹逼定理

若三个数列{xn},{yn},{zn},从某项开始成立且（2）函数极限的夹逼定理

如果函数在的某个邻域里或在无穷远的某个邻域内成立以下两个条件则6、利用夹逼定理求极限例1

证:

应用二项式展开

由夹逼定理即证。于是得还有其它的方法放大吗？

有！

平均值不等式

由夹逼定理即可获证。于是得证:

于是由夹逼定理得到例2.

证:

于是由夹逼定理得例3.

证:

于是由夹逼定理得到例4.

证:

于是由夹逼定理得到例5例6证由夹逼定理即得例7设则有解：由

依次取求.令将上面的不等式相加，得

依次取则有即

由夹逼定理和的任意性，得而Stolz定理则

下面介绍的Stolz定理被誉为数列极限的洛比达法则它为求离散型的未定型极限问题带来很大的方便。

7、利用Stolz公式求极限证：例1例21、举一反三练习2、定理

8、利用广义洛必达法则求极限例4

1、

求举一反三练习证明在2、设

连续,且当所求的极限表达式是连乘积形式，或可表成n项之和的形式时，可联想到用定积分的定义来求极限。

9、利用定积分定义求极限连乘积形式的极限表达式可通过取对数把它转化成n项之和的形式。例1求极限解：记取对数转化成和的形式故例2设又解：因为

由夹逼定理即得我们把例2的解题思路归纳总结并一般化而所以

一般地，等价的表达式具有相同的极限.例3故解：因为

1、求举一反三练习2、求

若级数收敛，则有下列两条性质：

10、利用级数的收敛性求极限（级数通项趋于零）（收敛级数的前n项和Sn有极限.）例1求极限故解：构造级数

由正项级数的比值判别法所以级数收敛，则通项必趋于零.例2设故解：构造一个级数,使级数的前n项和Sn为xn,即

所以级数收敛，因而存在，证明存在.则级数的通项为存在。另证：由于故

即有下界，所以单调下降由拉格朗日中值定理知存在。故有1、求举一反三练习2、求

11、用单调有界定理求数列极限数列单调性的证明，通常方法是：这是因为：若x1≤x2,由f(x)的单调递增性有x2=f(x1)≤f(x2,)=x3,所以x1≤x2≤x3,以此类推,同理若x1x2,由f(x)的单调递增性有x2=f(x1)f(x2,)=x3,所以x1x2x3，以此类推，即可得到{xn}是单调递增。即可得到{xn}是单调递减。当某种数列{xn}是由递推关系对这种由线性递推关系所定义的数列，我们可以将其视为常系数齐次线性差分方程，通过求其差分方程的特征根，写出xn的通项公式，从而可求出{xn