线性方程组迭代解法

第六章线性与非线性方程组的迭代解法/*IterativeMethodforSolvingLinearandNonlinear

AlgebraicSystems*/求解迭代法从一个初始向量出发,按照一定的递推格式,产生逼近方程组的近似解序列。迭代法是一种逐次逼近的方法,与直接法比较,具有:程序简单,存储量小的优点。特别适用于求解系数矩阵为大型稀疏矩阵

/*sparsematrices*/

的方程组。思路与解f(x)=0

的不动点迭代相似，将方程组等价改写成形式，从而建立迭代格式

，从出发，生成迭代序列§6.1Jacobi和Gauss-Seidel迭代法一、Jacobi迭代法设方程组将系数矩阵分裂为：其中如果原方程组可化为其中相应的迭代格式上述方法称为Jacobi迭代法，简称J法或简单迭代法分量形式：二、Gauss-Seidel迭代法G-S迭代法是J迭代法的一种改进在J迭代公式中，计算时，利用已经算出来的新的值，从而得到G-S迭代法。G-S迭代法的分量形式：例1：利用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组解：Jacobi迭代格式G-S迭代格式计算结果取初值Jacobi迭代法

要求精度迭代次数

0.0019(1.00025071.00006941.0002507)0.000110(0.99995411.00012530.9999541)0.0000114(0.99999811.00000200.9999981)方程组的近似解G-S迭代法的迭代矩阵：计算结果Gauss-Seidel迭代法

要求精度迭代次数

0.0015(0.99979160.99984791.0000664)0.00017(0.99999290.99999491.0000022)0.000018(1.00000131.00000090.9999996)方程组的近似解取初值由迭代公式迭代矩阵§6.2

Jacobi和Gauss-Seidel迭代法的收敛性分析

收敛的充要条件与误差估计上述两种方法都可以写成如下迭代形式：称为单步定常线性迭代法，为迭代矩阵，为常数项。

当迭代公式产生的序列收敛到向量，即，则称该迭代法收敛，否则为发散。？引理迭代法收敛的充要条件是证明：

为方程组的解，设迭代法收敛，则有由相容性知，求解方程组的单步线性定常迭代法收敛的充要条件是。（1）迭代法是否收敛取决于迭代矩阵的谱半径，与初始向量和常数项无关。（2）而对于同一个方程组，不同的迭代法对应的迭代矩阵的谱半径一般不会相同，因而收敛性也不同。上述定理说明：例2：说明用J法和G-S法求解下列方程组的收敛性：解：计算特征值：J法不收敛后面两个特征值算错了，应该是是复数G-S法的迭代矩阵为G-S法收敛若迭代矩阵的范数，并假定的第k次迭代向量与精确解的误差满足：范数满足，则迭代法证明：代入前述不等式即得。利用矩阵的范数判定迭代收敛只是一个充分条件，通常采用矩阵的1-范数、-范数来判定。若迭代矩阵的范数，并假定的第k次迭代向量与精确解的误差满足：范数满足，则迭代法证明：与前面类似。设为Jacobi法的迭代矩阵，若则Gauss-Seidel迭代收敛，而且有估计式其中且有，这里是矩阵的元素。设为Jacobi法的迭代矩阵，若则Gauss-Seidel迭代收敛，而且有估计式其中如果是对称矩阵，且有正的对角元，则求解方程组的J法收敛的充要条件是矩阵和均为正定的，其中如果是对称正定矩阵，则求解方程组的G-S法收敛。设满足称为严格对角占优矩阵如果且至少有一个严格不等式成立，则称为弱对角占优矩阵。设，如果能找到排列阵，使得其中与均为方阵，称为可约的否则称为不可约的例如：矩阵是可约的若系数矩阵是可约的，则可通过行与列重排化为上面(*)式，从而可将方程组简化为低阶方程组。（可约矩阵的等价定义）设矩阵，，如果存在的两个非空子集和，满足使得则称矩阵可约，否则称不可约。例如：矩阵矩阵不可约设为严格对角占优或不可约弱对角占优，则，且非奇异。设为严格对角占优或不可约弱对角占优的对称矩阵，且对角元素皆为正，则正定。推论若为严格对角占优或不可约弱对角占优的，则Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代收敛。迭代法的收敛速度：设迭代法收敛，即（/*RateofAverageConvergence*/）称之为迭代法的平均收敛率。上式说明：可看作第k次迭代误差范数的压缩率平均