线性代数方程组迭代法

第三章线性方程组的迭代解法思路将改写为等价形式，建立迭代。从初值出发，得到序列。研究内容：

如何建立迭代格式？

收敛速度？

向量序列的收敛条件？

误差估计？迭代格式的构造把矩阵A分裂为则

将上式写为迭代过程这种迭代过程称为逐次逼近法，B称为迭代矩阵。收敛性定义：若称逐次逼近法收敛，否则，称逐次逼近法不收敛或发散。给定初值就得到向量序列问题：定理1

任意给定初始向量x0，如果由逐次逼近法产生的向量序列收敛于向量x*，那么，x*是方程组x=Bx+g的解。证明：是否为方程组Ax=b的解？迭代法的收敛条件引理

当k

时，Bk0(B)<1定理2

设线性方程组x=Bx+g有惟一解，那么逐次逼近法对任意初始向量X０收敛的充分必要条件是迭代矩阵B的谱半径(B)<1。证明：因此，注：要检验一个矩阵的谱半径小于1比较困难，所以我们希望用别的办法判断收敛性。

定理3

若逐次逼近法的迭代矩阵满足‖B‖<1，那么逐次逼近法收敛。Remark:因为矩阵范数都可以直接用矩阵的元素计算，因此,用定理3.5.3，容易判别逐次逼近法的收敛性。（4.1）

1．雅克比（Jacobi）迭代法设有n阶方程组几种常用的迭代格式若系数矩阵非奇异，且

(i=1,2,…,n)，将方程组（4.1）改写成然后写成迭代格式（4.2）（4.2）式也可以简单地写为（4.3）写成矩阵形式：A=LUDBJacobi迭代阵(4.4)…………只存一组向量即可。写成矩阵形式：BGauss-Seidel

迭代阵2．高斯――赛得尔(Gauss-Seidel)迭代法(4.5)(4.6)BG-SGauss-Seidel

迭代阵其迭代格式的矩阵形式为事实上，这相当于对系数矩阵A作的另一个分裂：

注：这二种方法都存在收敛性问题。在讨论收敛性之前我们先来讲一些预备知识和有关的定理

有关基本概念一、严格对角占优矩阵与对角占优矩阵定义1设A是n阶矩阵.若满足不等式且至少有一个i，使严格不等号成立，则称A为对角占优矩阵.若对所有的i=1，2，…，n，都有严格不等号成立，称A为严格对角占优矩阵。二、可约矩阵与不可约矩阵定义2设A是n阶矩阵.如果存在排列阵P,使其中A11和A22分别是k阶和n-k阶方阵(n≥2，k<n)，那么，称A是可约矩阵.如果不存在这样的排列阵P，使上式成立，称A是不可约矩阵。定理3.5.5

设A是n阶矩阵.A是不可约的充分必要条件是对有限整数集W={1,2,…，n}中任意两个非空子集R,SW，R∪S=W,R∩S=，存在i∈R,j∈S，使aij≠0.三、有关性质定理3.5.6

设A是n阶(按行)严格对角占优矩阵，那么A是非奇异的.定理3.5.7

设A是严格对角占优矩阵，那么，其各阶主子阵也是严格对角占优矩阵.定理3.5.8

设A是严格对角占优矩阵.记经过一步Gauss消去后的矩阵为那么，A(2)n-1仍是严格对角占优的.定理3.5.9

设A是不可约对角占优矩阵，那么A是非奇异矩阵.定理3.5.10_1n阶矩阵A是按行严格对角占优矩阵的充分必要条件是Jacobi迭代法的迭代矩阵满足‖BJ‖∞<1.定理3.5.10_2n阶矩阵A是按列严格对角占优矩阵的充分必要条件是Jacobi迭代法的迭代矩阵满足‖BJ‖1<1.

Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性定理3.5.11

设A是有正对角元的n阶对称矩阵，那么Jacobi迭代法收敛的充分必要条件是A和2D-A同为正定矩阵.定理（3.5.12，3.5.13，3.5.14）如果A是按行(列)严格对角占优的矩阵，那么Jacobi和G－S迭代法都收敛.定理3.5.15

设A是不可约对角占优矩阵，那么Jacobi迭代法与G－S迭代法都收敛.定理3.5.16

设A是n阶正定矩阵，那么，G－S迭代法收敛.注意的问题（2）Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性没有必然的联系：即当Gauss-Seidel法收敛时，Jacobi法可能不收敛；而Jacobi法收敛时，Gauss-Seidel法也可能不收敛。（1）Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵不同：BJ=D-1(L+U),BG-S=(D-L)-1U举例用Jacobi迭代法求解不收敛，但用Gauss-Seidel法收敛。用Jacobi迭代法求解收敛，但用Gauss-Seidel法不收敛。

BJ的特征值为0