2023年八年级数学下册第十六章分式知识点总结

分式的知识点解析与培优分式的定义:假如A、B表达两个整式,并且B中具有字母,那么式子叫做分式。判断分式的依据:例:下列式子中，、8a2b、-、、、2-、、、、、、、中分式的个数为（）A、2B、3Ｃ、４Ｄ、5练习题:(1)下列式子中,是分式的有.；⑵;⑶;⑷;⑸;⑹.（7）(8)(９）分式故意义的条件是分母不为零;【B≠0】分式没故意义的条件是分母等于零;【B=０】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【Ｂ≠0且A＝0即子零母不零】例２.注意：（≠０)例1：当x时,分式故意义;例2：分式中,当时，分式没故意义例3:当x时,分式故意义。例４：当x时,分式故意义例5：,满足关系时,分式无意义;例6:无论x取什么数时，总是故意义的分式是(）A．B．C.Ｄ.例7：使分式故意义的x的取值范围为（）A．B.Ｃ．D.例8:分式无意义，则x的值为(）Ａ.2B．-1或-3C.－1D.3三、分式的值为零:使分式值为零:令分子=０且分母≠０,注意：当分子等于0时，看看是否使分母=0了,假如使分母=0了，那么要舍去。例1：当ｘ时,分式的值为0.例2：当ｘ时,分式的值为0.例3：假如分式的值为零,则a的值为()A．Ｂ.２C.－2D.．以上全不对例4：能使分式的值为零的所有的值是(）A.x=0Ｂ.ｘ-1Ｃ．x=０或x＝1D．或例5：要使分式的值为0,则ｘ的值为()A．3或-3 Ｂ.３C.-3D２例6:若，则a是()A.正数B．负数C.零D.任意有理数例9:当Ｘ＝时,分式的值为零。例10:已知-＝３,则＝。三、分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。例１:；;假如成立，则ａ的取值范围是_____＿＿_;例2：例３:假如把分式中的ａ和ｂ都扩大１0倍,那么分式的值（）A、扩大10倍B、缩小10倍C、是本来的20倍D、不变例4：假如把分式中的x,y都扩大10倍,则分式的值（)扩大1０0倍Ｂ.扩大10倍C.不变D.缩小到本来的例５:假如把分式中的x和ｙ都扩大2倍，即分式的值（）A、扩大2倍;Ｂ、扩大４倍；Ｃ、不变；D缩小2倍例６:假如把分式中的x和y都扩大2倍,即分式的值（）Ａ、扩大2倍；B、扩大4倍;C、不变;D缩小2倍例７：假如把分式中的x和y都扩大２倍,即分式的值()Ａ、扩大２倍;Ｂ、扩大4倍；C、不变;D缩小倍例８:若把分式的ｘ、y同时缩小12倍,则分式的值（ﻩﻩ)Ａ.扩大12倍Ｂ.缩小12倍C．不变ﻩD．缩小6倍例9:若x、y的值均扩大为本来的２倍,则下列分式的值保持不变的是（)A、Ｂ、C、Ｄ、例10:根据分式的基本性质,分式可变形为（)A.Ｂ.C.D.例１1:不改变分式的值,使分式的分子、分母中各项系数都为整数,；例１2：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数,＝。例１３．不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数,则是()。四、分式的约分：关键先是分解因式。分式的约分及最简分式:①约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分②分式约分的依据：分式的基本性质．③分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式.④约分的结果:最简分式(分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式)约分重要分为两类:第一类:分子分母是单项式的,重要分数字,同字母进行约分。第二类:分子分母是多项式的,把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。例１：下列式子（1)；（2）；(3)；(4)中对的的是（)Ａ、1个B、2个Ｃ、3个D、4个例2:下列约分对的的是(）A、;B、;C、；D、例3：下列式子对的的是（)AB.C.D．例4:下列运算对的的是（)B、C、D、例５:化简的结果是（）A．B．C.D.例7:约分:;＝；；。例8:约分：=；；;;__＿__＿_____例9：分式，，，中，最简分式有（)A．1个B.2个C.3个D.4个例８.分式，，，中是最简分式的有（)。例９．约分：(１）；(2)例１０．通分:（1），；（２)，例1１.已知x2+3x＋1=0,求x2+的值.例１2.已知x+=3,求的值．分式的通分及最简公分母:通分:重要分为两类:第一类：分母是单项式;第二类:分母是多项式（要先把分母因式分解)分为三种类型：“二、三”型;“二、四”型；“四、六”型等三种类型。“二、三”型:指几个分母之间没有关系,最简公分母就是它们的乘积。例如:最简公分母就是。“二、四”型：指其一个分母完全涉及另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。例如：最简公分母就是“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的;相同的都要有。例如：最简公分母是：这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用,仔细的去发现之间的区别与联系。例１:分式的最简公分母(）Ｂ．C．D.例２：对分式，，通分时，最简公分母是(）A．２4x2y3B．1２ｘ２y2C.２４ｘｙ２D.１2ｘy2例3:下面各分式:,,,，其中最简分式有（）个。Ａ．4 ﻩＢ.3ﻩ C.2 Ｄ.1例4：分式，的最简公分母是．例５：分式a与的最简公分母为＿__________＿＿___；例６:分式的最简公分母为。五、分式的运算：分式的乘，除,乘方以及加减分式的乘法:乘法法测：·=.分式的除法:除法法则：÷＝·=分式的乘方:求n个相同分式的积的运算就是分式的乘方,用式子表达就是()ｎ分式的乘方,是把分子、分母各自乘方．用式子表达为：(）n=(n为正整数）分式的加减法则:同分母的分式相加减，分母不变,把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式,然后再加减。混合运算:运算顺序和以前同样。能用运算率简算的可用运算率简算。例题:计算：(1）(2)（3)(4)（5）(6)(8)(９）(10)求值题:(1）已知：,求的值。已知：，求的值。（3）已知:,求的值。乘方例题：计算：(1）（2）==(４)=(5)（6)(7）已知：求的值。（８)．当分式--的值等于零时,则ｘ＝_＿___。(9)．已知a+b＝3,aｂ=1，则＋的值等于__＿__。（10）.先化简，再求值:-＋,其中a=。8、分式的加减：分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。1、同分母分式不用通分,分母不变,分子相加减。2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。通分方法:先观测分母是单项式还是多项式，假如是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母,进行通分;假如是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型,继续通分。分类：第一类:是分式之间的加减,第二类：是整式与分式的加减。例1:=例2:＝例3：=例４:＝例５计算：（1)(2)(3）(４）－－.例6：化简＋+等于()A．B．C.D．例7：（2)（4）－（6）(8)（9)（10）+.例8:计算的结果是（)ABCＤ例9：请先化简:,然后选择一个使原式故意义而又喜欢的数代入求值.例１0：已知：求的值。分式的混合运算:例1:例2:例3:例4:例５:例6:例7：例8：１0、分式求值问题:例1:已知ｘ为整数,且＋+为整数,求所有符合条件的x值的和.例2:已知ｘ＝2,y＝，求÷的值．例3:已知实数x满足4x２-4ｘ+l=Ｏ,则代数式2x＋的值为_＿___＿_＿．例４：已知实数ａ满足a２+2a-8=0,求的值．例5：若求的值是（).Ａ．B．C．D.例6：已知,求代数式的值例７：先化简,再对取一个合适的数，代入求值.练习题:,其中x=５．,其中ａ=5（3)，其中a＝-３，b=2（4）；其中a=85；（5）,其中x=－１(6)先化简,再求值:÷(x+2－)．其中ｘ=－２．（7）(8)先化简,，再选择一个你喜欢的数代入求值.11、分式其他类型试题：例1:观测下面一列有规律的数：,，,,,,……根据其规律可知第ｎ个数应是＿__(n为正整数）例2:观测下面一列分式:根据你的发现，它的第8项是,第ｎ项是。例3:当ｘ=＿___＿＿_时,分式与互为相反数.例4：在正数范围内定义一种运算☆，其规则为☆=,根据这个规则☆的解为(ﻩ）A.B．Ｃ．或1D.或例5:已知，则;例6:已知,则（）A.ﻩ Ｂ．C.D．例７：已知，求的值;例8:设,则的值是()A.B．0C．1Ｄ.1２、化为一元一次的分式方程：(１)分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。（2)解分式方程的过程,实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母),把分式方程转化为整式方程。解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母时,最简公分母有也许为0,这样就产生了增根,因此分式方程一定要验根。(3)解分式方程的环节：（1）能化简的先化简；（2)方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程；(3）解整式方程；(４)验根.例1：假如分式的值为－1,则x的值是;例2：要使的值相等,则x=_＿_＿_＿__＿_。例3:当m＝_＿＿__时,方程=2的根为.例4：假如方程的解是x＝5，则a＝。例5:(1)(2）例6:解方程：例7：已知:关于ｘ的方程无解，求a的值。例8：已知关于x的方程的根是正数，求ａ的取值范围。例9:若分式与的2倍互为相反数，则所列方程为_＿__＿_______＿__＿_____＿___＿_；例１0：当ｍ为什么值时间？关于的方程的解为负数?例1１:解关于的方程例12：解关于x的方程:例13:当a为什么值时,的解是负数?例14:先化简，再求值:,其中x,y满足方程组例15知关于x的方程的解为负值，求ｍ的取值范围。练习题:（1)（2)(3)(4)（5)（6）(7)(8)(9）１3、分式方程的增根问题:（1）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0,二是其值应是去分母后所的整式方程的根。(２)分式方程检查方法:将整式方程的解带入最简公分母,假如最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。例1:分式方程+1=有增根，则m＝例２：当ｋ的值等于时，关于x的方程不会产生增根；例3：若解关于ｘ的分式方程会产生增根，求m的值。例４：取时，方程会产生增根；例5：若关于x的分式方程无解,则m的值为＿＿_＿__。例６:当k取什么值时？分式方程有增根.例7:若方程有增根，则m的值是()A．4Ｂ．３C．－3D.１例8:若方程有增根,则增根也许为(）A、0B、2Ｃ、0或2D、１１5、分式的应用题：（１)列方程应用题的环节是什么？(1)审;（２）设；(3）列;(4）解；(5)答.（2)应用题有几种类型;基本公式是什么？基本上有四种:a.行程问题:基本公式：路程＝速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.b．数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表达法．ｃ.工程问题：基本公式：工作量=工时×工效．ｄ.顺水逆水问题:v顺水=v静水+v水．v逆水=ｖ静水－v水．工程问题:例1:一项工程,甲需x小时完毕，乙需y小时完毕,则两人一起完毕这项工程需要＿__＿__小时。例2：小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打1２0个字所用的时间和小张打１80个字所用的时间相等。设小明打字速度为x个/分钟，则列方程对的的是（)A．B.C.Ｄ.例3:某工程需要在规定日期内完毕,假如甲工程队独做,恰好如期完毕;假如乙工作队独做,则超过规定日期3天,现在甲、乙两队合作2天,剩下的由乙队独做,恰好在规定日期完毕,求规定日期．假如设规定日期为x天,下面所列方程中错误的是(）A.B.C.D.例４:一件工程甲单独做小时完毕,乙单独做小时完毕，甲、乙二人合作完毕此项工作需要的小时数是()．A.B.C．D.例5：赵强同学借了一本书,共２80页，要在两周借期内读完，当他读了一半时,发现平时天天要多读２1页才干在借期内读完.他读了前一半时,平均天天读多少页?假如设读前一半时,平均天天读x页,则下列方程中,对的的是()B、C、D、例6：某煤厂原计划天生产1２0吨煤，由于采用新的技术，天天增长生产3吨,因此提前2天完毕任务,列出方程为(）ABＣD例７:某工地调来7２人参与挖土和运土工作，已知3人挖出的土1人恰好能所有运走,问如何调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工?要解决此问题,可设派人挖土.列方程①；②;③;④.例8:八（1）、八(２）两班同学参与绿化祖国植树活动,已知八(1)班每小时比八（2)班多种2棵树,八（1）班种6６棵树所用时间与八(2)班种６0棵树所用时间相同,求:八(1)、八(２）两班每小时各种几棵树？例９：某一一项工程预计在规定的日期内完毕,假如甲独做刚好能完毕，假如乙独做就要超过日期3天，现在甲、乙两人合做2天，剩下的工程由乙独做，刚刚好在规定的日期完毕,问规定日期是几天？例１0:服装厂接到加工72０件衣服的订单，预计天天做４8件，正好可以准时完毕,后因客户规定提前5天交货,则天天应比原计划多做多少件?例11:为加快西部大开发的步伐，决定新修一条公路,甲、乙两工程队承包此项工程。假如甲工程队单独施工，则刚好可以按期完毕;假如乙工程队单独施工就要超过６个月才干完毕。现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则也刚好可以按期完毕。问师宗县本来规定修好这条公路需多长时间？例１2：某工程由甲、乙两队合做６天完毕,厂家需付甲、乙两队共435０元；乙、丙两队合做1０天完毕，厂家需付乙、丙两队共4750元；甲、丙两队合做５天完毕所有工程的，厂家需付甲、丙两队共27５０元。(1）求甲、乙、丙各队单独完毕所有工程各需多少天?(２)若工期规定不超过20天完毕所有工程,问可由哪队单独完毕此项工程花钱最少?请说明理由。价格价钱问题：例1：“五一”江北水城文化旅游节期间,几名同学包租一辆面包车前往旅游，面包车的租价为１8０元，出发时又增长了两名同学,结果每个同学比本来少摊了3元钱车费,设参与游览的同学共x人，则所列方程为ﻩﻩ( ﻩ)A． B.Ｃ.ﻩD．例2:用价值1０0元的甲种涂料与价值240元的乙种涂料配制成一种新涂料,其每公斤售价比甲种涂料每公斤售价少3元，比乙种涂料每公斤的售价多1元，求这种新涂料每公斤的售价是多少元？若设这种新涂料每公斤的售价为ｘ元，则根据题意可列方程为__＿____＿．例3：某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人１５0人,甲、乙两种工种的工人的月工资分别为60０元和１000元，现规定乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙同种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少?例4:为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元,第二次捐款总额为5000元,第二次捐款人数比第一次捐款人数多20人，并且两次人均捐款额恰好相等。那么这两次各有多少人进行捐款？例５:随着IT技术的普及，越来越多的学校开设了微机课.某初中计划拿出72万元购买电脑，由于团队购买,结果每台电脑的价格比计划减少了50０元，因此实际支出了64万元.学校共买了多少台电脑？若每台电脑天天最多可使用4节课,这些电脑天天最多可供多少学生上微机课？(该校上微机课时规定为单人单机)例6:光明中学两名教师带领若干名三好学生去参与夏令营活动，联系了甲、乙两家旅游公司，甲公司提供的优惠条件是:１名教师收行业统一规定的全票，其余的人按折收费,乙公司则是:所有人所有按8折收费．经核算甲公司的优惠价比乙公司的优惠价便宜，那么参与活动的学生人数是多少人？例7：某商厦用8万元购进奥运纪念运动休闲衫，面市后供不应求,商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进数量的2倍,但单价贵了４元，商厦销售这种运动休闲衫时每件定价都是58元，最后剩下的1５0件按八折销售，不久售完,请问在这两笔生意中,商厦共赢利多少元?顺水逆水问题:例１:Ａ、Ｂ两地相距４８千米,一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地,共用去9小时，已知水流速度为４千米/时，若设该轮船在静水中的速度为ｘ千米/时,则可列方程(）A、B、C、Ｄ、例2：一只船顺流航行90km与逆流航行６0km所用的时间相等,若水流速度是2km/h,求船在静水中的速度，设船在静水中速度为xkｍ/h,则可列方程（）＝Ｂ、＝Ｃ、+3＝D、+3＝例３:轮船顺流航行6６千米所需时间和逆流航行４8千米所需时间相同,已知水流速度是每小时３千米,求轮船在静水中的速度。行程问题:例1：在一段坡路,小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米,下坡时的速度为每小时V2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（)千米B、千米C、千米Ｄ、无法拟定例2:甲、乙两人分别从两地同时出发,若相向而行，则小时相遇;若同向而行,则小时甲追上乙．那么甲的速度是乙的速度的()A．倍ﻩ Ｂ．倍 Ｃ．倍ﻩ Ｄ.倍例3：八年级A、B两班学生去距学校4.５千米的石湖公园游玩,Ａ班学生步行出发半小时后，Ｂ班学生骑自行车开始出发,结果两班学生同时到达石湖公园,假如骑自行车的速度是步行速度的3倍，求步行和骑自行车的速度各是多少千米／小时？例4:A、B两地的距离是80公里,一辆公共汽车从Ａ地驶出3小时后,一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的３倍，已知小汽车比公共汽车迟2０分钟到达B地，求两车的速度。例5：甲、乙两火车站相距１28０千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是本来速度的3.２倍,从甲站到乙站的时间缩短了１1小时,求列车提速后的速度。数字问题：例1:一个分数的分子比分母小6,假如分子分母都加１，则这个分数等于,求这个分数．例2:一个两位数,个位数字是2,假如把十位数字与个位数字对调,所得到的新的