2023年初中数学所有知识点整理

新苏科版初中数学修订后目录

七年级

上册

数学与我们同行

有理数

代数式一元一次方程走进图形世界平面图形的结识(一)

七年级

下册

平面图形的结识(二）幂的运算整式乘法与因式分解

二元一次方程组

一元一次不等式

证明

八年级

上册

全等三角形轴对称图形

勾股定理数量、位置的变化平面直角坐标系一次函数

八年级

下册

数据的收集、整理、描述结识概率中心对称图形—平行四边形分式反比例函数二次根式

九年级

上册

一元二次方程对称图形---圆

数据的集中限度和离散限度等也许条件下的概率

九年级

下册

二次函数图形的相似锐角三角函数

第8章记录和概率的简朴应用七年级上第1章数学与我们同行生活数学生活中的数学观测、积累生活中常见的数学符号,了解它们表达的意义如:身份证号码、邮政编码……生活中的图形观测、结识生活中的图形,感知它们与数学知识的联系如:城市建筑群、超市的商品……二、活动思考数学活动——动手操作、探索新知数学活动涉及观测、实验、操作、猜想、归纳等。数学思考——规律探索数形结合、从特殊到一般的思想方法图形规律、数字规律思想方法转化思想、建模思想、归纳思想、从特殊到一般……四、常见题型探究数字、图形规律题实践操作题图案设计题简朴的数字推理题第二章：有理数一、实数与数轴１、整数分为正整数,0和负整数。正整数和0统称自然数。能被2整除的整数称为偶数,被2除余1的整数叫作奇数。分数：可以写成两个整数之比的不是整数的数,叫做分数。分数都可以转化为有限小数或循环小数。反之,有限小数或循环小数都可以转化为分数。3、有理数：整数和分数统称有理数。４、无理数:无限不循环小数称为无理数。５、实数：有理数和无理数统称为实数。６、数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。７、数轴上的点和实数的相应关系：数轴上的每一个点都表达一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表达。实数和数轴上的点是一一相应的关系。二、绝对值与相反数８、绝对值：在数轴上表达一个数的点与原点的距离,叫做这个数的绝对值。设数轴上原点为O,点A表达的数为ａ，则，设数轴上点Ａ表达的数为a，点B表达的数为b，则9、一个正数的绝对值等于它自身，一个负数的绝对值等于它的相反数,0的绝对值为0.反过来，绝对值等于它自身的数为非负数(正数或0），绝对值等于它的相反数为非正数（负数或0).相反数：符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数。0的相反数是０.在数轴上互为相反数的两个数表达的点，分居在原点两侧，并且到原点的距离相等。相反数等于自身的数只有0.在一个数前面添上“+”号还表达这个数，在一个数前面添上“—”号，就表达求这个数的相反数。二、实数大小的比较11、在数轴上表达两个数,右边的数总比左边的数大。12、正数大于０;负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。三、实数的运算13、加法:（1)同号两数相加,取本来的符号,并把它们的绝对值相加；（2)异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。(3）任何数与０相加仍得这个数。减法:减去一个数等于加上这个数的相反数。1５、加减法运算统一为加法后，可以省略加号。也可以使用加法互换律和结合律，任意互换加数的位置，任意把两个数相加,但是移动位置时一定要连同加数的符号一起移动。１６、乘法:（１）两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数与0相乘都得0。（2)ｎ个实数相乘，有一个因数为０，积就为0;若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定,当负因数有偶数个时，积为正;当负因数为奇数个时,积为负。（3）乘法可使用乘法互换律、乘法结合律、乘法分派律。4、除法：(1)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何不等于0的数都等于0，（2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。(3)乘积为1的两个数互为倒数。0没有倒数，倒数等于自身的数是±1.(4）0不能做除数，也不能做分母。17、乘方：求相同因数的乘积的运算，叫作乘方。相同因数叫作底数，因数的个数叫作指数,乘方的结果叫作幂。平方等于自身的是０或１,立方等于自身的数是0,±1．平方等于6４的数是±8.立方等于64的数是4。正数的任何次幂都是正数;负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数。实数的运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里的。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。19、科学记数法:设＞１0,则N=a×(其中1≤<10，n为正整数,n=N的整数位数—1)。第三章：代数式一、代数式1、代数式:用运算符号把数或表达数的字母连结而成的式子,叫代数式。单独一个数或者一个字母也是代数式。2、代数式的值：用数值代替代数里的字母，计算后得到的结果叫做代数式的值。二、整式的有关概念及运算3、单项式:像x、7、,这种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。单项式的次数：一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。4、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式具有几项,就叫几项式。多项式的次数:多项式里，次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。（3）单项式和多项式统称为整式。5、同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。6、合并同类项:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母及字母的指数不变。合并同类项的依据是乘法分派律。7、去括号法则:括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都不变;括号前面是“–”号,把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各项都要改变符号。去括号的依据是乘法分派律，实质就是把括号前的系数跟括号内的每一项相乘。8、整式的加减事实上就是合并同类项，在运算时，假如碰到括号,先去括号,再合并同类项。第四章一元一次方程4.1从问题到方程一元一次方程的概念:只具有一个未知数（元)且未知数的指数是１（次）的方程叫做一元一次方程。一般形式：ax+ｂ=0（ａ≠0)注意：未知数在分母中时,它的次数不能当作是１次。如，它不是一元一次方程。4.2解一元一次方程方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解方程：求方程的解的过程叫做解方程。等式的性质:（1）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式;(2）等式两边都乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。移项：方程中的某些项改变符号后,可以从方程的一边移到另一边,这样的变形叫做移项。移项的依据:(１）移项事实上就是对方程两边进行同时加减,根据是等式的性质1；(2)系数化为１事实上就是对方程两边同时乘除,根据是等式的性质２。移项的作用:移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移,使左边对含未知数的项合并,右边对常数项合并。注意：移项时要跨越“＝”号，移过的项一定要变号。解一元一次方程的一般环节:去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为１。注意：去分母时不可漏乘不含分母的项。分数线有括号的作用，去掉分母后，若分子是多项式,要加括号。用方程解决问题列一元一次方程解应用题的基本环节：审清题意、设未知数（元)、列出方程、解方程、写出答案。关键在于抓住问题中的有关数量的相等关系，列出方程。解决问题的策略:运用表格和示意图帮助分析实际问题中的数量关系4.２用方程解决问题实际问题的常见类型:行程问题：路程=时间×速度，时间=,速度=(单位:路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米/秒、米/分、千米／小时）工程问题:工作总量=工作时间×工作效率，工作总量=各部分工作量的和利润问题:利润=售价-进价,利润率＝，售价＝标价×(１-折扣)等积变形问题:长方体的体积=长×宽×高；圆柱的体积=底面积×高;锻造前的体积=锻造后的体积利息问题：本息和＝本金+利息;利息＝本金×利率第五章走进图形世界本章在中考中所占比值不大,考点为基本知识点生活中常见的几何体注：辨认几何体时只要看其几何特性，与摆放位置没有关系棱柱和棱锥的棱、顶点、侧面、底面在棱柱和棱锥中，任何相邻两个面的交线叫做棱,相邻两个侧面的交线叫做侧棱棱柱的棱与棱的交点叫做棱柱的顶点棱锥的各个侧棱的公共点叫做棱锥的顶点常见几何体的特性（1)棱柱:棱柱所有的侧棱都相等,棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形,直棱柱的侧面都是长方形(本书只讨论直棱柱）；因底面的形状不同,将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱·····(2)正方体和长方体:都是四棱柱（3)棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形;因底面多边形的边数不同而分为三棱锥、四棱锥、五棱锥····（4）圆柱：圆柱是直直的，上、下底面是半径相等的两个圆面，侧面是一个曲面(5）圆锥:是由一个底面(为圆）和一个侧面组成，侧面是一个曲面(６)球：由一个封闭的曲面组成(7）棱柱棱锥根据组成的面的数量又可以叫做多面体。例：三棱锥可以叫做四周体,三棱柱可以叫做五面体构成图形的元素(１)点线面是几何图形的基本要素(2）面：分为平面与曲面（3)线:面与面相交得到曲线,线有直的,也有曲的（3)点:线与线相交得到点注：任何一个几何图形都是由点、线、面组成的；点无大小,线无宽窄,面无厚度注：柱体的特点是上下底面是平行且相等的（形状相同,大小相等）图形的运动点线面的形成：点动成线,线动成面,面动成体例：流星在夜空迅速划过,夜空闪过一条美丽的光线(点动成线）在不用刀的情况下,用一根干净的细线绕皮蛋一圈，轻轻一拉，皮蛋像是被刀切过同样被提成两个部分(线动成面)我们以课本的一边为轴，连续旋转课本，可以得到一个柱体（面动成体)图形的翻折：将平面内的一个图形沿某条直线对折，得到一个与原图完全相同的图形，图形的翻折不改变图形的形状与大小，但改变了图形的位置和方向图形沿着一条直线(对称轴）翻折后会形成许多美丽的图案,翻折时要注意以哪条直线为轴来翻折，是翻折哪个图形图形的平移：在平面内，将某个平面图形沿着一定的方向移动（不一定是水平方向和竖直方向，可以是任意方向），图形的平移与平移的方向、平移的距离有关注：平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置。平移时图形的每一部分都做相同的移动图形的旋转：将一个图形绕一个定点（或定直线)沿着某个方向(顺时针或逆时针)转动一定的角度，旋转是图形的重要变换旋转的要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度展开与折叠多面体与展开图:多面体是由平面图形围成的立体图形，沿着多面体的某些棱将它展开,可以把多面体展开成一个平面图形，按不同的方式展开得到的平面展开图是不同样的正方体:把正方体的表面展开成平面图形,有很多种形状，假如将通过平移、旋转、翻折可以重合的两个图形当作是同一图形,那么正方形的展开图有11种分类:(1）有四个正方形在一条线上时，其余2个正方形在这条直线的两侧的任意位置,这样的图形可被称为“一四一”型,如1-6(2)有三个正方形在一条直线上,再固定两个正方形，剩余的一个正方形在这条线的另一侧3个位置中任意一个位置上,这样的图形可被称为“二三一”型（3）“三三”型，“二二二”型主视图、左视图、俯视图人们从不同的方向观测某个物体时,可以看到不同的图形。从正面看到的图形称为主视图;从左面看到的图形，称为左视图;从上面看到的图形,称为俯视图。主视图、左视图、俯视图称为物体的三视图注:物体的主视图、左视图、俯视图都是平面图形物体摆放的方式不同,看到的图形也会有区别简朴几何体的三视图：注：纯熟掌握一些简朴几何体的三视图,并能依据其三视图还原几何体，有助于空间想象力的培养,有助于解决复杂几何体与其三视图之间的问题画简朴组合体的三视图简朴组合体是由几个常见的几何体组合而成的立体图形三视图的画法：先拟定主视图的位置，画出主视图；再在主视图下方画出俯视图，注意主视图的“长对正”，最后在主视图的右下方画出左视图，注意与主视图的“高齐平”与俯视图的“宽相等”注:1、三视图中需要画出所有轮廓线,其中，视线能见轮廓线的画实线,看不见的轮廓线画虚线2、同一物体放置的位置不同,所画的三视图也许不同。3、清楚简朴组合体是由哪几个几何体组成的,并注意他们的组成方式，特别是他们的交线位置。6、由三视图想象物体的形状根据三视图描述物体的形状，就是读图，只要我们按照以下两个关系，一般就能判断出几何体的大体形状:三视图中反映的物体长宽高的关系；主视图与俯视图的长度相等,主视图与左视图的高度相等,俯视图与左视图的宽度相等（２）上下、左右、前后的位置关系:从主视图可以分清物体的上下和左右的位置关系,从俯视图可以分清物体的左右和前后的位置关系，从左视图可以分清物体的上下和前后的位置关系。第6章平面图形的结识（一）一、知识点复习及例题选讲1、知识点1：（1)线段、射线、直线的异同点:名称图形及表达法不同点联系共同点延伸性端点数与实物联系线段真尺线段向一方延长就成射线,向两方延长就成直线都是直的线射线电筒发生的光线直线笔直的公路(2）线段的记录方法:看线上端点的个数为n个,则有n(ｎ-1)/2条线段。射线的记录方法:直线上端点的个数为ｎ个,则有2n条射线；其中有2条不好用图中字母表达。射线上端点的个数为n个，则有n条射线;其中有1条不好用图中字母表达。2、知识点2：（1）两点之间的所有连线中,线段最短。（２）两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离。（３)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到这条直线的距离。3、知识点3：（１)过一个点可以画无数条直线(2）通过两点有一条直线，并且只有一条直线(3）过同一平面上的三个点可以画一或三条直线(不在一直线上可画３条直线,在一直线上可画1条直线)４、知识点4:平分一条线段的点叫线段的中点５、知识点5:(1）在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线，在同一平面内,两条直线的位置关系是：＿_________＿____（２）假如两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。(3)假如两条直线都与第三条直线平行，那么两条直线互相平行。6、知识点6:（１）通过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行,(２）通过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。角、余角、补角、对顶角1、知识点1：角的表达方法有___＿种2、知识点２：角的度量单位是：______＿＿__＿__＿_＿__；1０=＿__＿__＿___‘1’＝_＿__＿__＿_____"例1、=例2、3、知识点３：角平分线的定义4、知识点4:（１）假如两个角的和是__＿___＿__,这两个角叫做互为余角，简称互余,其中的一个角是另一个角的余角。（2）假如两个角的和___＿__＿___,这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角。(3)同角（或等角）的余角＿_＿＿_＿＿＿＿同角(或等角)的补角＿＿_＿____＿__。(４)一个锐角的补角比这个角的余角大。5、知识点５:(1)__＿___＿_____＿_＿＿_____＿,我们把这样的两个角叫做互为对顶角。其中一个角叫做另一个角的对顶角。(2）、对顶角的性质：＿＿_____＿_＿＿____＿_．6、知识点6:方位角ﻩ七年级下第七章平面图形的结识（二)一、平行：1、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.2、平行线的定义包含三层意思:①“在同一平面内”是前提条件；②“不相交”是指两条直线没有交点；③平行线指的是”两条直线”,而不是两条射线或两条线段.3、平行公理：通过一条直线外一点有一条并且只有一条直线与已知直线平行.4、推论:（平行线的传递性）:设ａ、b、c是三条直线,假如a//ｂ,b//c,那么a／/c．二、三线八角:两条直线AB、CD与直线EＦ相交,交点分别为E、Ｆ，如图,则称直线AＢ、CD被直线ＥＦ所截，直线EF为截线．两条直线AB、CD被直线ＥF所截可得8个角，即所谓“三线八角”.(一)、这八个角中有:1、对顶角：∠1与∠3，∠2与∠4，∠５与∠7，∠6与∠8．2、邻补角有:∠1与∠2,∠2与∠3，∠3与∠4，∠4与∠１，∠5与∠6,∠6与∠７,∠7与∠8,∠８与∠5．(二)、同位角,内错角,同旁内角:1、同位角:两条直线被第三条直线所截,在二条直线的同侧,且在第三条直线的同旁的二个角叫同位角.如图中的∠1与∠５分别在直线ＡB、CD的上侧，又在第三条直线EＦ的右侧，所以∠1与∠５是同位角，它们的位置相同，在图中尚有∠2与∠6，∠4与∠8,∠３与∠7也是同位角．2、内错角：两条直线被第三条直线所截,在二条直线的内侧,且在第三条直线的两旁的二个角叫内错角.如上图中∠２与∠8在直线AB、CD的内侧(即AＢ、CD之间），且在EF的两旁,所以∠2与∠8是内错角.同理，∠3与∠5也是内错角.3、同旁内角:两条直线被第三条直线所截,在两条直线的内侧，且在第三条直线的同旁的两个角叫同旁内角.如上图中的∠2与∠5在直线AB、CＤ内侧又在EF的同旁,所以∠2与∠5是同旁内角,同理，∠3与∠8也是同旁内角.4、因此,两条直线被第三条直线所截,共得4对同位角，2对内错角,2对同旁内角.三、直线平行的条件（鉴定）:1、两条直线被第三条直线所截,假如同位角相等,那么这两条直线平行，简记为：同位角相等，两直线平行2、两条直线被第三条直线所截,假如内错角相等，那么这两条直线平行,简记为：内错角相等,两直线平行３、两条直线被第三条直线所截,假如同旁内角互补,那么这两条直线平行，简记为:同旁内角互补，两直线平行四、平行线的性质：１、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简记为：两直线平行，同位角相等2、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简记为：两直线平行，内错角相等3、两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补，简记为:两直线平行,同旁内角互补平移一、平移的概念:把图形上所有点都按同一方向移动相同的距离叫作平移。△ABC向右平移相同距离得到△A’B’C’,其中A与A’是相应点,线段ＡB与线段A’B’是相应线段,∠Ａ与∠Ａ’是相应角．二、平移的特性：1、平移后的图形与本来的图形的相应线段平行且相等，相应角相等，图形的形状、大小都没有发生改变，并且平移不改变直线的方向.2、平移把直线变成与它平行的直线．3、两条平行线中的一条可以通过平移与另一条重合三、平移作图：拟定一个图形平移后的位置所需条件为：１、图形本来的位置２、平移的方向3、平移的距离四、两直线之间的距离：假如两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。三角形结识三角形三角形的定义:1、由不在同一直线上的三条线段首位顺次相接所组成的图形叫做三角形.2、三角形有三条边、三个顶点和三个内角．记作：△ＡBC三角形的顶点：Ａ、Ｂ、C三角形的内角：∠A、∠B、∠C三角形的边：ＡB、AC、ＢC二、三角形分类:（一）、分类：1、三角形按边分类:注:等边三角形是特殊的等腰三角形，牢记不能将三角形按边提成不等边三角形、等腰三角形和等边三角形三类.２、三角形按角分类:(1）三个内角都是锐角的三角形叫做锐角三角形．（２）有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形.在直角三角形ABC中,∠C=90°，AC、ＢC叫做直角三角形的直角边,ＡB叫做直角三角形的斜边．用“Rt”表达直角，直角三角形ABＣ可表达为:Rt△AＢC.直角三角形的两个锐角互余.即∠A＋∠B=９0°．（3)有一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形.三、三边关系：1、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边;(判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边,其简便方法是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段.）四、三角形的性质：三角形具有稳定性三角形的三线一、三角形的角平分线、中线和高:如图,点D、E、F都在AB上.（一）、角平分线:在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫做三角形的角平分线.若∠ACＥ=∠ECB=∠ACＢ(即CE平分∠AＣＢ）,则ＣE是△AＢC的角平分线.(二）、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高．2、若CF⊥ＡB（即∠AＦC＝∠BFC＝9０°)，则ＣＦ是△ＡBC的高.(三)、中线：1、在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.2、若AD=BD=AB（即Ｄ是AB的中点）时,则CD是△ABＣ的中线．(四)、注：=1\*ＧB3①三角形有三条角平分线，三条中线,三条高线(它们都是线段）=2\＊GB3②三角形三条角平分线，三条中线都在三角形的内部，但高不一定(钝角三角形有两条在外部，直角三角形时有两条恰好是两条直角边)．＝3\*GB3③三角形三条角平分线交于一点,三条中线交于一点，三条中线所在的直线交于一点. （２）三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角我们把两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做这个等腰三角形的腰；把三边都相等的三角形叫做等边三角形(或正三角形).三角形的中线三条中线交于三角形内一点三角形的角平分线三条角平分线交于三角形内一点三角形的高锐角三角形的三条高交于三角形内一点；直角三角形的三条高交于边上；钝角三角形的三条高交于三角形外一点二、三角形的内角和定理:1、三角形的内角：①三角形的三个内角的和等于１80°．②推论：直角三角形的两个锐角互余.2、三角形的外角:三角形的一边与另一边的延长线所组成的角,叫做三角形的外角．图中的∠ＣBD称为△ABC的一个外角注意：①“外角”是三角形的外角，不是它相邻内角的外角.对三角形的外角,称某个角是某个三角形的外角,而不称三角形某个角的外角②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．③三角形的外角和等于３60°.附:多边形的外角：(1)多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角,它们的和叫做这个多边形的外角和.（2）任意多边形的外角和等于360°.多边形的内角:n边形的内角和等于（n-2）·180°第八章幂的运算重点:运用幂的运算性质进行计算难点:运用幂的运算性质进行证明规律1.同底数幂的乘法:am·ａn＝ａm＋ｎ,底数不变,指数相加.2.幂的乘方与积的乘方：(am)n=aｍn，底数不变，指数相乘；(ab）ｎ=aｎbn，积的乘方等于各3.同底数幂的除法:am÷ａn＝ａｍ-n,底数不变，指数相减.4.零指数与负指数公式:（1）ａ０＝１(a≠0）；a-n=,（a≠0).注意：0０，0-２无意义;（２)有了负指数，可用科学记数法记录小于1的数,例如:０.０00020１＝2.0１×1０－5.第九章从面积到乘法公式1．单项式的乘法:系数相乘,相同字母相乘,只在一个因式中具有的字母,连同指数写在积里.２．单项式与多项式的乘法:m(ａ+b+c)＝ｍａ+mb+ｍｃ，用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.３.多项式的乘法：（ａ＋b)·(c＋d）=ac＋ad+bc+ｂd，先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.4.乘法公式：（１)平方差公式:(a+ｂ）（a-b）＝ａ2-b２,两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差;(２）完全平方公式:①(ａ+b)2=a2＋2ab+b2,两个数和的平方，等于它们的平方和,加上它们的积的2倍;②（a-b）2=ａ2－2ａb+b2,两个数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍；③（a+b-c)2＝a2+b2+c2+2ａｂ－２ac-２bc,略.5．配方：（1）若二次三项式x2+px+q是完全平方式,则有关系式：；因式分解1、因式分解的概念把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把多项式因式分解．注：因式分解是“和差”化“积”,整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程,因些常用整式乘法来检查因式分解．２、提取公因式法把,分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是除以ｍ所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下:注:=1\*romanｉ多项式各项都具有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.=2\*romaｎiｉ公因式的构成：①系数:各项系数的最大公约数；②字母:各项都具有的相同字母；③指数：相同字母的最低次幂.3、运用公式法把乘法公式反过用,可以把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.ⅰ)平方差公式注意:①条件:两个二次幂的差的形式;②平方差公式中的、可以表达一个数、一个单项式或一个多项式;③在用公式前,应将要分解的多项式表达成的形式，并弄清、分别表达什么.ⅱ)完全平方公式注意:①是关于某个字母(或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式;③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积２倍的相反数)；④使用前应根据题目结构特点,按“先两头，后中间”的环节,把二次三项式整理成公式原型，弄清、分别表达的量.补充:常见的两个二项式幂的变号规律:①；②．(为正整数)4、十字相乘法借助十字叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次项系数为ｌ的二次三项式寻找满足的，则有5、分组分解法定义：分组分解法,合用于四项以上的多项式，例如没有公因式,又不能直接运用分式法分解,但是假如将前两项和后两项分别结合,把原多项式提成两组。再提公因式,即可达成分解因式的目的。例如：＝,这种运用分组来分解因式的方法叫分组分解法.原则:用分组分解法把多项式分解因式,关键是分组后能出现公因式或可运用公式．6、求根公式法:假如有两个根，那么第十章二元一次方程组1.二元一次方程:具有两个未知数，并且含未知数项的次数是1，这样的方程是二元一次方程.注意:一般说二元一次方程有无数个解．２.二元一次方程组：两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组.3．二元一次方程组的解:使二元一次方程组的两个方程，左右两边都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解.注意：一般说二元一次方程组只有唯一解（即公共解）．4.二元一次方程组的解法：（1）代入消元法；（2）加减消元法；（３)注意:判断如何解简朴是关键．5．一次方程组的应用:（1)对于一个应用题设出的未知数越多,列方程组也许容易一些,但解方程组也许比较麻烦,反之则“难列易解”；（２）对于方程组,若方程个数与未知数个数相等时，一般可求出未知数的值;（3）对于方程组，若方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值,但总可以求出任何两个未知数的关系.重点:二元一次方程的解法及应用难点：二元一次方程的应用第１1章一元一次不等式1.用不等号>、<表达不等关系的式子,叫不等式。2.能使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。３．一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集。4.不等式的性质。假如(1）a＞b，那么a+ｃ＞ｂ＋c,a－c>b-c.（２）.假如a>b，并且c>0,那么ac＞bc.(3）．假如a＞c,并且c<0,那么ac＜ｂc.５不等号的两边都是整数,并且只具有一个未知数,未知数的最高次数是一次,这样的不等式叫做一元一次不等式。6一元一次方程的解法解一元一次方程有哪些环节⑴去分母——方程两边同乘以各分母的最小公倍数．⑵去括号——应用分派律、去括号法则，⑶移项—一般把含未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边。⑷合并同类项——要注意只是系数相加减,字母及其指数不变．⑸系数化为1——同除以未知数前面的系数或乘以系数的倒数，即ax＝b→x＝eq\f(b，a)7一元一次方程和一元一次不等式解法的比较解方程的一般环节:解不等式的一般环节去分母1．去分母去括号２.去括号移项３.移项合并同类项4.合并同类项系数化为15．系数化为１8一元一次不等式组的概念一般地，由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组。要点：(１）组成不等式组的不等式必须是同一个未知数的不等式；（2）每一个不等式必须是一元一次不等式;（3)“几个”并没有拟定个数，但必须是两个或两个以上；(4)每个不等式在不等式组中的地位是相同的,并列的,缺一不可。一元一次不等式组中各个不等式的解的公共部分叫做这个不等式组的解(9解不等式组的环节：求不等式组的解的过程叫做解不等式组。分别解不等式组中的每一个不等式；将每一个不等式的解在数轴上表达出来，找出它们的公共部分;写出这个一元一次不等式组的解。由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解的四种情况见下表:不等式组(a<b)在数轴上表达解口诀ｘ≥b同大取大ｘ≤a同小取小ａ≤ｘ≤b大小、小大中间找无解小小、大大找不到一元一次方程的应用例题河北省)在一次“人与自然”知识竞赛中,竞赛试题中共有25道题,每道题都给出4个答案，其中只有一个答案对的,规定学生把对的答案选出来，每道题选对得4分，不选或选错倒扣2分，假如一个学生在本次竞赛中得分不低于60分，那么他至少选对了＿____＿道题。评析:不等式应用题的难点之一是辨别它与方程应用题的异同,如何列出不等式，要善于抓住题中“不低于”、“至少”等字词的数学含义。ﻩ八年级上ﻩ第一章全等三角形知识点结构梳理*１.全等形:可以完全重合的两个图形叫做全等形。*２．全等三角形：定义：可以完全重合的两个三角形叫做全等三角形。表达方法：ＡＢC全等于DEＦ全等三角形的性质:全等三角形的相应边相等全等三角形的相应角相等＊*３．三角形全等的鉴定：No．1边边边（SＡS):三边相应相等的两个三角形全等。No.2角边角(ＳＡS)：两边和它们的夹角相应相等的两个三角形全等。No.3角边角(ASＡ）:两边和他们的夹角相应相等的两个三角形全等。Nｏ.4角角边(AＡＳ）:两个角和其中的一个叫的对边相应相等的两个三角形全等。No.5斜边,直角边（HL）:斜边和直角边相应相等的两个三角形全等。＊*4.角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。小结角的平分线的鉴定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。小结全等形解决问题全等三角形相应角相等，相应边相等角平分线的性质、定理边边边(SAS)角边角（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）斜边，直角边(HL)全等形解决问题全等三角形相应角相等，相应边相等角平分线的性质、定理边边边(SAS)角边角（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）斜边，直角边(HL)轴对称图形考点一、平移（3～5分)1、定义把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。２、性质(1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动(２)连接各组相应点的线段平行（或在同一直线上)且相等。考点二、轴对称（3～５分)1、定义把一个图形沿着某条直线折叠,假如它可以与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称,该直线叫做对称轴。２、性质（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。(2)假如两个图形关于某直线对称，那么对称轴是相应点连线的垂直平分线。（３)两个图形关于某直线对称,假如它们的相应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上。３、鉴定假如两个图形的相应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。4、轴对称图形把一个图形沿着某条直线折叠，假如直线两旁的部分可以互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。考点三、旋转(3~８分）1、定义把一个图形绕某一点Ｏ转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋考点四、等腰三角形（8~10分）1、等腰三角形的性质（１）等腰三角形的性质定理及推论:定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角）推论１：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°。（２)等腰三角形的其他性质:①等腰直角三角形的两个底角相等且等于4５°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角）,但顶角可为钝角（或直角）。③等腰三角形的三边关系:设腰长为a，底边长为b,则<ａ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠Ａ,底角为∠B、∠Ｃ，则∠A=180°—2∠Ｂ,∠B＝∠C=2、等腰三角形的鉴定等腰三角形的鉴定定理及推论：定理:假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称:等角对等边)。这个鉴定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论２:有一个角是6０°的等腰三角形是等边三角形。推论３：在直角三角形中，假如一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。等腰三角形的性质与鉴定等腰三角形性质等腰三角形鉴定中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边,平分顶角;2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；2、假如一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角)，那么这个三角形是等腰三角形角平分线1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边;2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。１、假如三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边(平分对边),那么这个三角形是等腰三角形;2、三角形中两个角的平分线相等,那么这个三角形是等腰三角形。高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边;2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。1、假如一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角）,那么这个三角形是等腰三角形;２、有两条高相等的三角形是等腰三角形。角等边对等角等角对等边边底的一半<腰长<周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形4、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（1)三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。(2)要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用:位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系:可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。结论2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论４：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。第３章勾股定理1:勾股定理直角三角形两直角边ａ、b的平方和等于斜边c的平方。(即：a2+b2＝ｃ2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其重要应用:（1)已知直角三角形的两边求第三边(在中,,则,,）(2）已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边（3）运用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2:勾股定理的逆定理假如三角形的三边长:a、b、c，则有关系a２＋ｂ2=c2,那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是鉴定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来拟定三角形的也许形状,在运用这一定理时应注意：（1)一方面拟定最大边，不妨设最长边长为:c；（2)验证c2与ａ2+b2是否具有相等关系,若ｃ2＝a2+b２,则△ABC是以∠Ｃ为直角的直角三角形（若c２>ａ２+ｂ２，则△AＢC是以∠C为钝角的钝角三角形;若ｃ2＜a2+b２,则△ＡＢC为锐角三角形)。（定理中,，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足,那么以,，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边）３:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是鉴定定理；联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。规律方法指导

１.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系互相转化证明的。2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个知识在应用过程中易犯的重要错误。4.勾股定理的逆定理：假如三角形的三条边长a,b，ｃ有下列关系：a2＋ｂ２＝c2，那么这个三角形是直角三角形;该逆定理给出鉴定一个三角形是否是直角三角形的鉴定方法．5．应用勾股定理的逆定理鉴定一个三角形是不是直角三角形的过程重要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解．5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思绪是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表达方法,列出等式，推导出勾股定理常见方法如下:方法一:,，化简可证．方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为所以６：勾股数①可以构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中,,，为正整数时，称，，为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；;;;８,1５,17;９,40,41等7：勾股定理的应用第4、5章数量、位置的变化考点一、平面直角坐标系１、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点Ｏ（即公共的原点)叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和ｙ轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意:x轴和y轴上的点,不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用（a，ｂ)表达，其顺序是横坐标在前,纵坐标在后，中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，(ａ,b）和(b，a）是两个不同点的坐标。考点二、不同位置的点的坐标的特性１、各象限内点的坐标的特性点P（x，y)在第一象限点P（x,y)在第二象限点P(x，y)在第三象限点P（x，y）在第四象限2、坐标轴上的点的特性点Ｐ(x,y)在x轴上,x为任意实数点P(x,y)在y轴上，y为任意实数点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上x,y同时为零，即点Ｐ坐标为(0,0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特性点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等点P（ｘ,y)在第二、四象限夹角平分线上ｘ与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特性位于平行于ｘ轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于ｘ轴、y轴或远点对称的点的坐标的特性点Ｐ与点p’关于x轴对称横坐标相等,纵坐标互为相反数点P与点p’关于ｙ轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P（x,y)到坐标轴及原点的距离：（1)点P（x，y)到x轴的距离等于(2）点P(x,y)到y轴的距离等于（3）点P(x,y）到原点的距离等于第６章一次函数基本概念:变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。2、函数：一般的，在一个变化过程中，假如有两个变量x和y，并且对于x的每一个拟定的值，y都有唯一拟定的值与其相应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量,y是x的函数。３、定义域：一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域。4、拟定函数定义域的方法：（1)关系式为整式时，函数定义域为全体实数；(2）关系式具有分式时，分式的分母不等于零;(３）关系式具有二次根式时,被开放方数大于等于零;（4）关系式中具有指数为零的式子时，底数不等于零；(5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之故意义。函数性质:1．ｙ的变化值与相应的x的变化值成正比例，比值为k.即：ｙ=kｘ+b（ｋ，b为常数，k≠0）。２.当ｘ=０时，b为函数在ｙ轴上的点,坐标为(0,b)。3当b=０时（即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数,正比例函数是特殊的一次函数。４.在两个一次函数表达式中:当两一次函数表达式中的k相同,ｂ也相同时,两一次函数图像重合;当两一次函数表达式中的k相同,ｂ不相同时，两一次函数图像平行；当两一次函数表达式中的ｋ不相同,b不相同时，两一次函数图像相交;当两一次函数表达式中的k不相同,b相同时,两一次函数图像交于ｙ轴上的同一点（０，b)。图像性质1.作法与图形:（1)列表.（2）描点;一般取两个点,根据“两点拟定一条直线”的道理,也可叫“两点法”。一般的y=kｘ+b(k≠0）的图象过（0,b)和（－b/ｋ，０）两点画直线即可。正比例函数y＝ｋx(k≠0)的图象是过坐标原点的一条直线，一般取(0，0）和(1,k）两点。2.性质：（1)在一次函数上的任意一点Ｐ（ｘ，ｙ),都满足等式：y=kx+ｂ（ｋ≠0）。(２）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b),与x轴总是交于(-b/ｋ，0)正比例函数的图像都是过原点。3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。一次函数的图象特性和性质:ｙ=ｋx＋bb＞０ｂ<0b=0y=ｋｘk>0通过第一、二、三象限通过第一、三、四象限通过第一、三象限图象从左到右上升,y随x的增大而增大k<0通过第一、二、四象限通过第二、三、四象限通过第二、四象限图象从左到右下降,y随x的增大而减小4、特殊位置关系：当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）了解如何设一次函数解析式:点斜式ｙ-y1=k(x-x１）(k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）两点式（ｙ-y１)/(y2-y1)＝(ｘ-x1)／(x２－ｘ１）(已知直线上(x1,y1)与(x2,y２）两点）截距式（ｙ＝-b/ax+ba、b分别为直线在x、ｙ轴上的截距,已知(0，ｂ),(ａ，0)）实用型(由实际问题来做）扩展求函数图像的k值：(ｙ1－y2)/(x1-x2)2.求任意线段的长：√（x1－x2)2+(ｙ1－y2)23.求两个一次函数式图像交点坐标:解两函数式,就是解方程组4.求任意2点所连线段的中点坐标：[(ｘ1+x2）/2，（y1+y2)/２]5.若两条直线ｙ1=k1x+b1平行y２=k2x+b2，那么ｋ1=k2，b1≠ｂ26.向右平移ｎ个单位y=k（x-n）+b向左平移n个单位y=k（x+n）+ｂ向上平移n个单位y=ｋx＋b+n向下平移n个单位y=kｘ+ｂ-n总结与前几章的关系1、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ａｘ＋b=0(ａ,b为常数，a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相称于已知直线y=ax+ｂ拟定它与x轴的交点的横坐标的值.2、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为aｘ+b＞0或ax+ｂ＜0(ａ，b为常数，a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大(小）于0时，求自变量的取值范围.3、一次函数与二元一次方程组(1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=的图象相同．（2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数和的图象交点.八年级下册

第7章数据的收集、整理、描述考点一:基本概念1、普查：为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查,其中所要考核对象的全体叫总体称为总体,而组成总体中的每一个考核对象叫个体称为个体。２、抽样调查:从总体中抽取部分个体进行调查,这种调查称为抽样调查.3、样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本.4、样本容量：样本中包含个体的数目。小结：弄清总体、个体、样本三者之间的区别：总体是指所有调查的对象，个体指的是每一个调查的对象,个体是指每一个调核对象，样本是指抽取的一部分个体。考点二:频数与频率1、每个对象出现的次数叫做频数，而每个考察对象出现的次数与总次数的比值为频率的比值叫频率．2、画一个频数分布直方图的一般环节是什么？（１）计算极差,拟定记录范围;（2)决定组距与组数(数据在100以内时,一般以分5～12组为宜)；(3）拟定分点；（4)列频数分布表(可用唱票法累计);（５)绘频数分布直方图。3、重要结论:①频数分布直方图中的各组频率之和等于1;②频数分布直方图中每一个小长方形的高代表各组相应的频数,所以频数越多，长方形就越高，频数的多少可根据直方图中左边相应的数量来拟定.考点三：平均数、众数、极差、中位数、方差、标准差众数:出现次数最多的数。注：众数可以不只一个极差：极差=最大值-最小值中位数：一组数排序后，中间位置的数。注：分奇数和偶数方差：各个数据与平均数之差的平方的平均数叫方差。即:标准差：标准差就是方差的算术平方根,用ｓ表达。即：小结：对于两组数据平均数只能反映它们的集中趋势,而要比较他们的波动大小,可通过方差或标准差的大小比较波动的大小，此外还可用极差，但最重要的和常用的还是方差或标准差。还要注意的是,只有两组数据的平均数相等或比较接近时,方差或标准差才干反映数据波动大小的时间情况。方差或标准差越大(越小),波动也越大(越小）。考点四：扇形图与综合第8章结识概率知识点归纳(1)事件可分为:必然事件、不也许事件（拟定事件)、随机事件(不拟定事件)。（2）一件事件发生的也许性的大小的数值，叫做这件事件的概率。概率通常用大写Ｐ表达。(3)0≤

P（Ａ事件）≤

１;P(必然事件)＝1；P（不也许事件)=0；0＜P（随机事件）<1。(4）频率与概率的关系。联系:当实验次数很大时,事件发生的频率稳定在相应概率的附近,即实验频率稳定于理论概率，因此可以通过多次实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。区别:某也许事件发生的概率是一个定值。而这一事件发生的频率是波动的,当实验次数不大时,事件发生的频率与概率的差异也许很大。事件发生的频率不能简朴地等同于其概率，要通过多次实验，用一事件的频率来估计这一事件发生的概率。拟定事件和随机事件。（1)“必然事件”是指事先可以肯定一定会发生的事件。（２）“不也许事件”是指事先可以肯定一定不会发生的事件。(3）“不拟定事件”或“随机事件”是指结果的发生与否具有随机性的事件。2、也许性的大小(1）很也许发生：假如事件发生的也许性很大，我们也说事件很也许发生.不大也许发生：假如事件发生地也许性很小,我们也说事件不大也许发生。(2)事件的频数、频率。设总共做ｎ次反复实验，而事件Ａ发生了m次,则称事件A发生的次数m为频数。称比值ｍ/n为Ａ发生的频率。（3)概率:某事件发生的也许性也叫做事件发生的概率。必然事件发生概率为１,不也许事件发生的概率为0,不拟定事件发生的概率在0到1之间。一般地,假如一个实验有n个等也许的结果，而事件A包含其中ｋ个结果,我们定义P(A)=k/n=事件A包含的也许结果数／所有也许结果数。对概率计算应注意:分清所有基本领件的总和(n）和事件A所包含的基本领件总和（k).3、频率与概率的关系。(1）事件发生的频率会呈现逐渐稳定的趋势。（2）频率和概率可以非常接近，单不一定相等（３)如何用频率估计机会的大小。4、树状图与列表法求解概率第9章中心对称图形—平行四边形一、平行四边形：㈠.平行四边形定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

㈡．平行四边形的性质:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分。㈢.平行四边形的面积:1.平行四边形的面积=底×高=ah(a是平行四边形的任何一条边长,h必须是边长为a的边与其对边的距离)2.同底（等底)同高(等高）的平行四边形面积相等。㈣.平行四边形的鉴定１.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形;3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；4.对角线互相平分的四边形是平行四边形；５.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。ﻫ提醒：(1）平行四边形的鉴定方法都需要关于边、角、对角线之间的两个适当条件作为命题对的的构成条件；(2)鉴定方法可作为“画平行四边形”的依据；(3)一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。㈤三角形中的中位线1、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半。提醒:(1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。每一条中位线与第三边都有相应的位置关系和数量关系。(三角形的中位线不仅可以证明直线平行，也可以证明线段的倍分关系)；（２）三角形中位线不同于三角形的中线,应从它们各自的定义加以区别。３、三角形中位线定理的作用:位置关系:可以证明两条直线平行。数量关系:可以证明线段的倍分关系。常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。结论２:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论３：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。㈥两条平行线间的距离1、定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线间的距离。2、性质:⑴两条平行线间的距离处处相等;⑵两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的。二、矩形1、矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质:⑴矩形具有平行四边形的一切性质;⑵矩形的四个角都是直角;⑶矩形的对角线平分且相等;（ＡC=BD）⑷矩形是轴对称图形，它有２条对称轴。ﻫ提醒:⑴“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等，“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等;⑵矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。3、矩形鉴定方法:⑴定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。⑵方法1:对角线相等的平行四边形是矩形。⑶方法2：有三个角是直角的四边形是矩形。三、菱形1、菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

２、菱形的性质：⑴矩形具有平行四边形的一切性质；⑵菱形的四条边都相等;⑶菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

⑷菱形是轴对称图形。提醒:运用菱形的性质可证得线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形提成四个全等的直角三角形,由此又可与勾股定理联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和。３、菱形的鉴定方法：⑴定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。⑵判断方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。⑶判断方法２：四条边相等的四边形是菱形。4、菱形面积的计算：菱形面积＝底×高=对角线长乘积的一半S菱形=１/２×ａｂ（ａ、ｂ为两条对角线)归纳：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长乘积的一半。四、正方形1、正方形定义:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。警示:⑴正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；⑵既是矩形又是菱形的四边形是正方形；⑶正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形,还是特殊的菱形。2、正方形的性质:正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。⑴边——四条边都相等，邻边垂直、对边平行；⑵角——四个角都是直角;⑶对角线——对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；⑷对称性——是轴对称图形，有四条对称轴。⑸特殊性质——正方形的一条对角线把正方形提成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°;正方形的两条对角线把正方形提成四个全等的等腰直角三角形3、正方形的鉴定:鉴定一个四边形为正方形的重要依据是定义，途径有两条：⑴先证它是矩形，再证它有一组邻边相等;⑵先证它是菱形,再证它有一个角是直角。五、梯形(选讲）1、梯形的定义:一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形。２、梯形的分类：⑴直角梯形：有一个角是直角的梯形。⑵等腰梯形：两腰相等的梯形。3、等腰梯形的性质：⑴等腰梯形两腰相等,两底平行;⑵等腰梯形同一底边上的两个角相等；⑶等腰梯形的两条对角线相等。⑷等腰梯形是轴对称图形，它只有1条对称轴,过两底中点的直线是它的对称轴。4、等腰梯形的鉴定：⑴两腰相等的梯形是等腰梯形；⑵在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；⑶对角线相等的梯形是等腰梯形。提醒：等腰梯形的鉴定思绪:先证四边形为梯形（即一组对边平行且不等或另一组对边不平行）,再证两腰相等或同一底上的两个角相等。5、解决梯形问题常用辅助线的作法：解决梯形问题常用辅助线的作法如下图:①②③④⑤①“平移腰”:过上底端点作一腰的平行线,构造一个平行四边形和一个三角形;②“作高”：使两腰在两个直角三角形中；③“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中；④“延长两腰”：构造具有公共角的两个三角形；⑤“等积变形”:连接梯形一腰的端点和另一腰中点，并延长与底的延长线交于一点,构成三角形。转化或分割、拼接综上所述，解决梯形问题的基本思想和方法:梯形问题——————→三角形或平行四边形问题,这种思绪经常通过平移或旋转来实现。第10章分式知识点一:分式的定义一般地,假如Ａ,B表达两个整数,并且B中具有字母，那么式子叫做分式,A为分子,B为分母。知识点二:与分式有关的条件=1\*GB3①分式故意义：分母不为0(）=2\＊GB3②分式无意义:分母为０(）=3＼＊ＧＢ3③分式值为０:分子为０且分母不为0(）＝４\*GB3④分式值为正或大于0：分子分母同号（或）=5\＊GB3⑤分式值为负或小于０：分子分母异号（或）=6＼*ＧB３⑥分式值为1：分子分母值相等(A=B)=7\*GB3⑦分式值为-1:分子分母值互为相反数（A＋B=0）知识点三:分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。字母表达：，，其中A、B、C是整式，C０。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式自身的符号,改变其中任何两个，分式的值不变，即注意:在应用分式的基本性质时,要注意Ｃ0这个限制条件和隐含条件B0。知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。环节：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。②分子分母若为多项式,约分时先对分子分母进行因式分解,再约分。知识点四：最简分式的定义一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。知识点五:分式的通分分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与本来的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分。分式的通分最重要的环节是最简公分母的拟定。最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母。拟定最简公分母的一般环节：Ⅰ取各分母系数的最小公倍数；Ⅱ单独出现的字母(或具有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；Ⅲ相同字母（或具有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。Ⅳ保证凡出现的字母(或具有字母的式子)为底的幂的因式都要取。注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。知识点六分式的四则运算与分式的乘方分式的乘除法法则:分式乘分式，用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。式子表达为:分式除以分式:把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。式子表达为分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子分式的加减法则:同分母分式加减法:分母不变,把分子相加减。式子表达为异分母分式加减法:先通分，化为同分母的分式,然后再加减。式子表达为整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数,整式前面是负号,要加括号,看作是分母为1的分式，再通分。分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中,谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活,提高解题质量。注意：在运算过程中,要明确每一步变形的目的和依据,注意解题的格式要规范，不要随便跳步,以便核对有无错误或分析犯错的因素。加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)。知识点六整数指数幂引入负整数、零指数幂后,指数的取值范围就推广到了全体实数,并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂同样合用。即★★★★()★★（)★(）(任何不等于零的数的零次幂都等于１)其中ｍ,ｎ均为整数。科学记数法若一个数ｘ是０<x<1的数，则可以表达为(,即a的整数部分只有一位，n为整数)的形式，n的拟定n＝从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。如0．=7个07个09个数字若一个数x是x>１０的数则可以表达为(,即ａ的整数部分只有一位，n为整数)的形式，n的拟定n=比整数部分的数位的个数少1。如12０００00０0=9个数字知识点七分式方程的解的环节=１\*GB2⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）=2\*ＧB2⑵解整式方程，得到整式方程的解。=3\*ＧB2⑶检查,把所得的整式方程的解代入最简公分母中:假如最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；假如最简公分母不为0，则是原方程的解。产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解;②代入最简公分母后值为０。在方程变形时，有时也许产生不适合原方程的根,这种根叫做原方程的HＹPＥRLINK"＂增根。ﻫ

假如一个HYPERLIＮK"＂分式方程的根能使此方程的ＨYPERLINＫ""公分母为零,那么这个根就是原方程的ＨYPERLＩNK"＂增根。ﻫﻫＨYPＥRLINK＂"增根的产生的因素：

对于HYPERLIＮK""分式方程，当分式中，分母的值为零时,无意义,所以ＨYPERＬＩNＫ""分式方程,不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程自身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为HYPEＲＬINK""整式方程以后,这种限制取消了，换言之,方程中未知数的值范围扩大了，假如转化后的HYＰERLＩNK＂"整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。

ﻫ分式方程两边都乘以HＹPEＲLINK""最简公分母化分式方程为HＹPＥRLIＮK""整式方程，这时未知数的允许值扩大,因此解分式方程容易发生増根。

知识点八分式方程的应用第11章反比例函数ﻫ1.定义：一般地,假如两个变量x、y之间的关系表达成y=（ｋ为常数,ｋ≠0）的形式，那么称ｙ是x的反比例函数，其中x是自变量，y是函数。例如y＝EＱ＼F（50，x);y＝-ＥＱ＼F(８,x）；ｙ＝ＥQ\F(m2+1,ｘ)(m为常数）等。提醒:(1)y＝EQ\F(k,x)也可以写作ｙ＝kx-１的形式或xy=k的形式(ｋ为常数且k≠0);

（2）反比例函数的自变量x不能为0;(３)k＝xy是反比例函数的另一种表达形式,即两变量的积是一个常数。2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴:直线y＝x和ｙ=-x。对称中心是:原点。3．性质:当k>0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内ｙ值随x值的增大而减小;ﻫ当k<0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。

4.|k|的几何意义：表达反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。ﻫ知识点:1·一般地,假如两个变量x、y之间的关系可表达成ｙ=ＥQ\F（ｋ，x)(K为常数，Ｋ≠0）的形式，那么称ｙ是x的反比例函数。反比例函数的自变量x不能为零。２·反比例函数的图象及其画法反比例函数图象的画法——描点法：⑴列表——自变量取值应以0(但(x≠0)为中心,向两边取三对(或三对以上）互为相反数的数,再求出相应的y的值;⑵描点——先描出一侧,另一侧可根据中心对称点的性质去找;⑶连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸,注意双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。反比例函数ｙ＝EQ\F(k,x)的图象是由两支曲线组成的。当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内,当k＜０时,两支曲线分别位于第二、四象限内。⑴这两支曲线通常称为双曲线。⑵这两支曲线关于原点对称。⑶反比例函数的图象与x轴、y轴没有公共点。反比例函数ｋ的符号k>0k＜0图象(双曲线)ｘ、y取值范围ｘ的取值范围ｘ≠0y的取值范围y≠０x的取值范围x≠0ｙ的取值范围y≠０位置第一,三象限内第二,四象限内性质(1）自变量x的取值范围为:x≠0；（2)函数图象的两个分支分别在第一、第三象