信号与系统(郑君里)复习要点

信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。第一章信号与系统1、信号的分类①连续信号和离散信号②周期信号和非周期信号连续周期信号f(t)满足f(t)=f(t+mT)，离散周期信号f(k)满足f(k)=f(k+mN)，m=0,±1,±2,…两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，假设其周期之比T1/T2为有理数，那么其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。③能量信号和功率信号④因果信号和反因果信号2、信号的根本运算〔+-×÷〕2.1信号的〔+-×÷〕2.2信号的时间变换运算〔反转、平移和尺度变换〕3、奇异信号3.1单位冲激函数的性质f(t)δ(t)=f(0)δ(t)，f(t)δ(t–a)=f(a)δ(t–a)例：3.2序列δ(k)和ε(k)f(k)δ(k)=f(0)δ(k)f(k)δ(k–k0)=f(k0)δ(k–k0)4、系统的分类与性质4.1连续系统和离散系统4.2动态系统与即时系统4.3线性系统与非线性系统①线性性质T[af(·)]=aT[f(·)](齐次性)T[f1(·)+f2(·)]=T[f1(·)]+T[f2(·)]〔可加性〕②当动态系统满足以下三个条件时该系统为线性系统：y(·)=yf(·)+yx(·)=T[{f(·)},{0}]+T[{0}，{x(0)}](可分解性)T[{af(·)},{0}]=aT[{f(·)},{0}]T[{f1(t)+f2(t)},{0}]=T[{f1(·)},{0}]+T[{f2(·)},{0}](零状态线性)T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}](零输入线性)4.4时不变系统与时变系统T[{0}，f(t-td)]=yf(t-td)(时不变性质)直观判断方法：假设f(·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，那么系统为时变系统。LTI连续系统的微分特性和积分特性①微分特性：假设f(t)→yf(t)，那么f’(t)→y’f(t)②积分特性：假设f(t)→yf(t)，那么4.5因果系统与非因果系统5、系统的框图描述第二章连续系统的时域分析1、LTI连续系统的响应1.1微分方程的经典解y(t)(完全解)=yh(t)(齐次解)+yp(t)(特解〕描述某系统的微分方程为y〞(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求〔1〕当f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=-1时的全解；〔2〕当f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0时的全解2、冲激响应系统在单位冲激信号作用下的零状态响应，求解方法①系数平衡法系统方程两端对应系数相等②由单位阶跃响应求单位冲激响应，即例y〞(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。3、阶跃响应系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应。4、卷积积分4.1定义4.2任意信号作用下的零状态响应4.3卷积积分的求法按照定义图解法4.4卷积积分的性质①交换律②结合律③分配律④积分性质⑤微分性质⑥任意时间函数与冲激函数的卷积f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)；f(t)*δ’(t)=f’(t)；f(t)*ε(t)⑦卷积的时移性质f1(t–t1)*f2(t–t2)=f1(t–t1–t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t–t1–t2)=f(t–t1–t2)第三章离散系统的时域分析1、LTI离散系统的响应1.1差分与差分方程1.2差分方程的经典解〔和微分方程相类似〕y(k)=yh(k)+yp(k)当特征根λ为单根时，齐次解yn(k)形式为：Cλk当特征根λ为r重根时，齐次解yn(k)形式为：(Cr-1kr-1+Cr-2kr-2+…+C1k+C0)λk当特征根λ为一对共轭复根时，齐次解yn(k)形式为：1.2.2特解yp(k):特解的形式与鼓励的形式雷同(r≥1〕。①所有特征根均不等于1时;yp(k)=Pmkm+…+P1k+P0②有r重等于1的特征根时;yp(k)=kr[Pmkm+…+P1k+P0]〔2〕鼓励f(k)=ak①当a不等于特征根时;yp(k)=Pak②当a是r重特征根时;yp(k)=〔Prkr+Pr-1kr-1+…+P1k+P0)ak〔3〕鼓励f(k)=cos(βk)或sin(βk)且所有特征根均不等于e±jβ；yp(k)=Pcos(βk)+Qsin(βk)假设描述某系统的差分方程为y(k)+4y(k–1)+4y(k–2)=f(k)初始条件y(0)=0，y(1)=–1；鼓励f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。1.3零输入响应和零状态响应2、单位序列响应和阶跃响应2.1单位序列响应2.1.1定义2.1.2求法递推求初始值，求齐次差分方程的解例某系统的差分方程为y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)求单位序列响应h(k)。例假设方程为：y(k)–y(k–1)–2y(k–2)=f(k)–f(k–2)求单位序列响应h(k)2.2阶跃响应2.2.1定义，h，h(k)=g(k)3常用序列4离散信号的卷积和4.1任意序列的分解f(k)4.2列作用下的零状态响应4.3定义4.4卷积和的求法4.4.1图解法卷积过程可分解为四步：〔1〕换元：k换为i→得f1(i)，f2(i)〔2〕反转平移：由f2(i)反转→f2(–i)右移k→f2(k–i)〔3〕乘积：f1(i)f2(k–i)〔4〕求和：i从–∞到∞对乘积项求和。注意：k为参变量。4.1.2不进位乘法求卷积例f1(k)={0，2，1，5，0}↑k=1f2(k)={0，3，4，0，6，0}↑k=04.2卷积和的性质4.2.1法的三律：(1)交换律,(2)分配律,(3)结合律.4.2.2f〔4.2.2f〔k)*δ(k)=f(k)，f(k)*δ(k–k0)=f(k–k0)4.2.34.2.3.f(k)*ε(k)=f1(k–k1)*f2(k–k2)=f1(k–k1–k2)*f2(k)[f1(k)*f2(k)]=f1(k)*f2(k)=f1(k)*f2(k)第四章连续系统的频域分析1傅里叶级数1.1傅里叶级数的三角形式1.2波形的对称特性和谐波特性A.f(t)为偶函数——对称纵坐标展开为余弦级数B.f(t)为奇函数——对称于原点展开为正弦级数Cf(t)为奇谐函数——f(t)=–f(t±T/2)傅里叶级数中只含奇次谐波分量Df(t)为偶谐函数——f(t)=f(t±T/2)只有直流(常数)和偶次谐波。1.3傅里叶级数的指数形式n=0,±n=0,±1,±2，…2周期信号频谱的特点(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。例：周期信号f(t)=试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图。3傅里叶变换3.1定义3.2常用函数的傅里叶变换〔1〕单边指数函数f(t)=e–tε(t)，>0实数〔2〕双边指数函数f(t)=e–t,>0〔3〕门函数(矩形脉冲)〔4〕冲激函数(t)、´(t)〔5〕常数1〔6〕符号函数〔7〕阶跃函数3.3傅里叶变换的性质 [af[af1(t)+bf2(t)]←→[aF1(jω)+bF2(jω)]〔2〕时移性质(TimeshiftingProperty)FF(jt)←→2πf(–ω)〔3〕对称性质(SymmetricalProperty)〔4〕频移性质(FrequencyShiftingProperty)〔5〕尺度变换性质(ScalingTransformProperty)〔6〕卷积性质(ConvolutionProperty)IfIff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)Thenf1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)ThenfThenf1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω)〔7〕时域的微分和积分〔8〕频域的微分和积分(–jt)(–jt)nf(t)←→F(n)(jω)〔9〕怕赛瓦尔关系〔10〕奇偶性(Parity)4周期信号的傅里叶变换5连续系统的频域分析5.1Y(jY(j)=F(j)H(j)5.2无失真传输y(t)=Kf(t–td)Y(j)=Ke–jtdF(j)例：系统的幅频特性|H(jω)|和相频特性如图(a)(b)所示，那么以下信号通过该系统时，不产生失真的是(A)(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)6抽样定理第五章连续系统的s域分析二、求解方法1、局部分式展开法〔1〕F(s)为单极点〔单根〕〔2〕假设F(s)包含共轭复根时(p1,2=–±j)〔3〕F(s)有重极点〔重根〕假设A(s)=0在s=p1处有r重根，K11=[(s–p1)rF(s)]|s=p1，K12=(d/ds)[(s–p1)rF(s)]|s=p1三、系统的s域分析方法思路：用拉普拉斯变换微分特性例1描述某LTI系统的微分方程为y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+6f(t)初始状态y(0-)=1，y'(0-)=-1，鼓励f(t)=5cost(t)，求系统的全响应y(t)四、系统函数H(s)=L[h(t)]H(s)=L[h(t)]系统的s域框图第六章离散系统的z域分析附：局部重要内容〔无z变换〕第一章：1．连续时间信号与离散时间信号2．模拟信号与数字信号3．信号的运算〔1〕移位、反褶与尺度变换〔2〕微分和积分〔3〕两信号相加或相乘4．〔1〕单位阶跃信号〔2〕单位冲激信号〔当〔当时〕=1\*GB3①抽样性：=2\*GB3②偶对称性：=3\*GB3③尺度变换性：=4\*GB3④相乘性质：冲激偶信号5．线性时不变系统〔1〕叠加性与均匀性〔2〕时不变性〔3〕因果性第二章1．系统的状态〔起始状态，初始条件〕2．系统的全响应〔1〕求解方法：经典法，双零法〔2〕系统响应的分解：自由响应，强迫响应，零状态响应，零输入响应3．线性系统的特性响应的可分解性系统响应可以分解为零输入响应和零状态响应。零状态线性当起始状态为零时，系统的零状态响应对外加鼓励信号呈现线性。零输入线性当外加鼓励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性关系。第三章1．周期信号的傅里叶级数〔1〕三角函数形式的傅里叶级数〔2〕指数形式的傅里叶级数2．傅里叶变换定义为正变换逆变换3．傅里叶变换的性质(1)对称性假设，那么(2)线性性假设，那么(3)奇偶虚实性假设，那么①是实偶函数，即为的实偶函数。②是实奇函数，即为的虚奇函数。(4)尺度变换特性假设，那么式中为非零实常数。(5)时移特性假设，那么(6)频移特性假设，那么(7)时域微分特性假设，那么(8)频域微分特性假设，那么(9)时域积分特性假设，那么(10)时域卷积定理假设，那么(11)频域卷积定理假设，