波利亚怎样解题实例分析

怎样解题一、熟悉问题1、未知是什么？2、是什么？3、你能复述它吗？二、寻找解题方法1、以前做过类似的题吗？可以仿照以前的解题过程写出此题吗？2、与未知相关的定理、公式、法那么、概念都有什么？这道题是相关的定理、公式、法那么、概念的直接应用吗？3、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？4、你能利用和所属的定理、公式、法那么、概念向未知转化吗？5、根据与未知相关的定理、公式、法那么、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法那么、概念吗？假设不能解题，可考虑：1、条件都用上了吗？2、能不能得到一个比拟特殊的情况？三、书写过程1、你能按步骤写出你的分析过程吗？2、你所写的步骤都正确吗？四、总结与回忆1、以前做过同类型的题吗？它与同类型的其它题有什么异同？2、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？3、解题过程能简化吗？例1、：如图，在△ABC中，AB=AC求证：乙B=4C分析：问题1、未知是什么？你能复述它吗？§：ZB=ZC问题2、是什么？你能复述它吗？答：在三角形ABC中，AB=AC问题3、以前做过类似的题吗？答：似乎没有。问题4、与相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：似乎没有。不能直接用定理解出此题。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：此题条件只有一个，似乎不能直接重新分组。问题6、你能利用和所属的定理、公式、法那么、概念向未知转化吗？答：似乎不能。问题7、根据与未知相关的定理、公式、法那么、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法那么、概念吗？答：1、未知是求乙8=乙心在以前学过的定理中有根据平行线证角相等、利用角平分线证角相等、利用度数证角相等、利用全等三角形证角相等。由于这些都没有出现，是不是能引入辅助元素？观察乙B、乙C所处的位置，平行线、角平分线都不适宜、角的度数没有出现，考虑运用全等三角形来解此题。但此题中乙B、乙C处在同一个三角形中，需要将此两角放入到两个不同的三角形中，需引入一条线将此三角形分成两个三角形，并将/B、乙C分别处于两个三角形中，可在4点引下一条线与BC相交。2、新问题出现了：如何证明力48口”力ACD?答：中含有AB=AC,4图中可得人口=4口，尚缺少一个条件。3、新问题：参加什么条件就可以了？答：乙BAD=乙CAD,可利用角边角进展判定。或8口可口，可利用边边边进展判定。或人口，8。可利用直角三角形的全等的判定进展判定。4、新问题：如何实现？答：在做线的时候可以利用做图做出其中的某一个条件。如做角人的角平分线，或做BC边上的中线，或做BC的垂线。到此，此题可解。问题8、如何书写过程？答：先写线的做法，然后写全等证明，最后得到未知求证。问题9、解题过程能简化吗？答：尚无更简化方法。问题10、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：此题条件少，没有直接出现三角形，需要构造出三角形求解。可得到一个结论：利用三角形全等证明一个图形中的两角相等进可行的。要求是要将此两角放到两个三角形中，然后找全等的条件。例2、求二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标。问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：二次函数图象的顶点坐标。问题2、是什么？你能复述它吗？答：二次函数解析式y=-3x2-6x+5问题3、以前做过类似的题吗？答：做过。问题4、与相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：能直接运用公式〔一b,4acb2〕求解。2a 4a问题5、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：此类题型主要考察对二次函数的顶点坐标的掌握情况，以及准确的计算能力。例3、：如图，在△ABC中，AB=5,AC=3,D为BC中点，求AD例3、：如图，在△ABC中，问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：求AD的取值X围。问题2、是什么？你能复述它吗？答：在△ABC中，AB=5,AC=3,D为BC中点问题3、以前做过类似的题吗？答：没有。问题4、与相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：我知道三角形三边关系：三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：条件中两条边的边长分别是48、人。所属三角形为4人8。而所求AD边长所属是△ACD或AADC。问题6、你能利用和所属的定理、公式、法那么、概念向未知转化吗？答：中的边长为48、人心要想使用三角形三边关系，需将AB、AC和AD边联合到一个三角形中。考虑：需移动AB或AC并到AC或AB与AD或包含AD的线段构成一角三角形。移动的方法考虑使用全等三角形的方法。延长AD至£,使AD=AE,那么可出现△ACD/△EBD,可得AC=BE,那么2<AE<8,可得1<AD<4。问题7、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：1、有三角形的中线，可构造全等三角形。2、当条件分散时，可向定理集中。例4、：如图，△ABC中，BF平分乙ABC,CF平分乙ACB,ED〃BC,求证：DE=BE+CD问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：线段口£的长等于EF与FD的和。问题2、是什么？你能复述它吗？答：角平分线BF和CF,平行线DE平行于BC。问题3、以前做过类似的题吗？答：没有。问题4、与相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：角分线定理，平行线性质。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：从图中可得，此题角平分线与平行线有重合局部。问题6、你能利用和所属的定理、公式、法那么、概念向未知转化吗？答：根据角平分线性质，可得乙CBF=乙EBF,根据平行线性质可得乙CBF=乙EFB,进而可得乙EFB=4CBF,可以得到等腰三角形EBF,可得BE=EF。根椐对称原那么可得CD=FD。进而此题可解。问题7、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：1、有角平分线和平行线，可得等腰三角形。2、求证线段和可以用分段相等的形式得到结论。例6、x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，那么m2+2mn+n2的值。问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：代数式m2+2mn+n2的值。问题2、是什么？你能复述它吗？答：x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根。问题3、以前做过类似的题吗？答：没有。问题4、与相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：不能直接运用公式求解。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：不能。问题6、你能利用和所属的定理、公式、法那么、概念向未知转化吗？答：根据方程根的含义可知12+1xm+n=0,进而可得印+门=0。问题7、根据与未知相关的定理、公式、法那么、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法那么、概念吗？答：根据因式分解的公式可将未知变形为m2+2mn+n2=〔m+n〕2,即假设知m+n的值可得未知。到此，此题可解。例7、如图，在四边形ABCD中，AB二CD,M、N、P分别是AD,BC的中点，乙BDC=700,cos乙ABD=Q,求乙NMP的度数。2问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：求乙NMP的度数。问题2、是什么？你能复述它吗？答：AB二CD,M、N、P分别是AD,BC的中点，乙BDC=70o,cos乙ABD=亘。2问题3、以前做过类似的题吗？答：没有。问题4、与相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：相关的定理有中点现的中位线，由三角函数可求出相应的角的值；不能直接运用公式求解。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：1、由中位线定理可知,AB=2MP；cos乙ABD二二3可知乙48口=300；进而可得2乙MPD=30o；2、由中位线定理可知DC=2NP；由乙BDC=700,可知乙BPN=700；进而可得乙NPD=110o；进而可得乙MPN=140o；3、由中位线定理和AB=CD可知MP=NP；进而可知MP=NP；进而可得乙PMN=乙PNM。综合以上因素，可得乙NMP=乙MNP=200。到此，此题可解。问题5、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：1、利用一切时机将重新分组与组合，可得新的结论，将新结论与其它相结合可得更新的结论，可能能到达终点。2、有中位线，可寻找相等的线段。例8、如下图：乙xOy=900,点A,B分别在射线Ox,Oy上移动，乙OAB的内角平分线与乙OBA的外角平分线交于C,求乙ACB的度数。问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：求乙ACB的度数问题2、是什么？你能复述它吗？答：乙xOy=900,点A,B分别在射线Ox,Oy上移动，乙048的内角平分线与乙OBA的外角平分线交于C问题3、以前做过类似的题吗？答：似乎没有。问题4、与相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：三角形内角和定理，三角形外角定理，角平分线定理。不能直接用定理解出此题。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：乙480的外角的度数与4840是有关联的，但这中间似乎很乱。清理一下：/ABO的外角/ABE在度数上等于〔90叶乙OAB］那么外角的一半乙EDB应等于1〔900+4048］，而乙480应等于〔900-4048］，那么乙ABC应等于二者之和：2乙ABC=1〔900+乙OAB〕+〔900-乙OAB〕=〔135。-1乙OAB〕。2 2问题6、你能利用和所属的定理、公式、法那么、概念向未知转化吗？问题7、根据与未知相关的定理、公式、法那么、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法那么、概念吗？答：1、未知是求乙ACB的度数，利用三角形内角和定理，将未知转化成求式子1800—乙CBA一乙BAC的度数。2、根据以上所得，那么有乙ACB=1800—4CBA一4BAC=1800一〔1350-14OAB〕2—14OAB=45o。原题得解。即无论A、B如何运动，只要角平线不改，乙ACB2永远等于450。问题8、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：例9、如图，△ABC为正三角形，BD是中线，延长BC至£，使CE=CD。求证：DB=DE。问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：求证：DB=DE。问题2、是什么？你能复述它吗？§：^ABC为正三角形，8口是中线，CE=CD。问题3、以前做过类似的题吗？问题4、与相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：等腰三角形性质和判定。不能直接用定理证明。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：根据中△ABC为正三角形，BD是中线可得乙DBC=14ABC=14ACB。。2 2问题6、你能利用和所属的定理、公式、法那么、概念向未知转化吗？答：根据中CE=CD,可得乙CED=4CDE。问题7、根据与未知相关的定理、公式、法那么、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法那么、概念吗？答：1、未知是求证口8=口£,如何能出现？答：在以前学过的定理中等腰三角形的判断，只要乙DBC=乙CDE即可；2、新问题：与此相关联的角有那些?答：与乙DBC相关联的角是乙ACB,而乙ACB又是△DCE的外角，这似乎可行；3、有新进展吗？答：由三角形外角定理可得乙CED=14ACB,进而可得乙DBC=4CDE。2原题得证。问题8、如何书写过程？问题9、解题过程能简化吗？答：尚无更简化方法。问题10、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：1、证同一三角形中的边相等时，可考虑等腰三角形的判定。2、在同一三角形中有等边就有等角。例10.AD是△ABC的角平分线，DE,DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF。问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：AD垂直平分EF问题2、是什么？你能复述它吗？答：AD是△ABC的角平分线，DE,DF分别是△ABD和△ACD的高问题3、以前做过类似的题吗？答：做过。解过有关角平分线性质和线段垂直平分线性质的证明。问题4、与相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：角平分线定理。垂直平分线定理。不能直接用定理解出此题。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：AD是△ABC的角平分线，DE,DF分别是448口和△ACD的高，联和可得DE=DF。问题6、你能利用和所属的定理、公式、法那么、概念向未知转化吗？答：似乎不能。问题7、根据与未知相关的定理、公式、法那么、概念,你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法那么、概念吗？答：未知是求AD垂直平分EF,在以前学过的定理中有垂直平分线定理的逆定理，只要能证明DE=DF即可。原题得证。例11、父亲死后留下1600克朗给三个儿子,遗嘱上说,老大应比老二多分200克朗,老二比老三多分100克朗,问他们各分了多少？问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：求兄弟三人各分多少钱。问题2、是什么？你能复述它吗？答：共有1600克朗，老大比老二多分200克朗，老二比老三多分10