2023年九年级圆的基础知识点经典例题与课后习题

圆一：【知识梳理】１.圆的有关概念和性质(1)圆的有关概念①圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，通过圆心的弦叫做直径.(2)圆的有关性质①圆是轴对称图形;其对称轴是任意一条过圆心的直线;圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧．推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,假如具有:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。③弧、半圆、优弧、劣弧:弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表达,以CＤ为端点的弧记为“”,读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆。优弧:大于半圆的弧叫做优弧劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧。（为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表达。)④弧、弦、圆心角的关系:在同圆或等圆中，假如两个圆心角,两条弧，两条弦中有一组量相等,那么它们所相应的其余各组量都分别相等.推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆周角是直角;90”⑤等圆:可以完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆。⑥等弧：在同圆或等圆中,可以互相重合的弧叫做等弧。⑦圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.（3)对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线,不是圆面;②圆由两个条件唯一拟定:一是圆心（即定点），二是半径(即定长）２．与圆有关的角(1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（２）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角,叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．（3)圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（４)圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．３.点与圆的位置关系及其数量特性:假如圆的半径为r，点到圆心的距离为d,则①点在圆上<===＞d=r;②点在圆内<===>d<r；③点在圆外<＝＝＝>d>r.其中点在圆上的数量特性是重点，它可用来证明若干个点共圆,方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。4．拟定圆的条件:1.理解拟定一个圆必须的具有两个条件：圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.通过一点可以作无数个圆，通过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上．2.通过三点作圆要分两种情况:(1)通过同一直线上的三点不能作圆.(2）通过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆．定理：不在同一直线上的三个点拟定一个圆.3.三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形:通过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2）三角形的外心:三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等．5.直线与圆的位置关系1．直线和圆相交、相切相离的定义:（１)相交:直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线．(2)相切:直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点做切点．（3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.２．直线与圆的位置关系的数量特性:设⊙O的半径为ｒ,圆心O到直线的距离为d；①d<r<===＞直线L和⊙O相交.②d=r＜===>直线Ｌ和⊙Ｏ相切．③d>r<===＞直线Ｌ和⊙O相离.3.切线的总鉴定定理:通过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线．4.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.推论1通过圆心且垂直于切线的直线必通过切点．推论2通过切点且垂直于切线的直线必通过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可得如下结论：假如一条直线具有下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.①垂直于切线；②过切点;③过圆心.5.三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.6.三角形内心的性质:(１）三角形的内心到三边的距离相等.(２)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线：连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角．6.圆和圆的位置关系．1．外离、外切、相交、内切、内含(涉及同心圆)这五种位置关系的定义.(1）外离:两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切:两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交：两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切:两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切．这个惟一的公共点叫做切点.(５)内含:两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例.2.两圆位置关系的性质与鉴定:（１）两圆外离＜==＝>d>Ｒ+r(2）两圆外切<=＝=>ｄ=R+ｒ(3）两圆相交<＝==>R-r<d<Ｒ+r（R≥r)(4)两圆内切<===>d＝Ｒ-r(R>r)(5）两圆内含<＝=＝>d<R-r(R>r)３.相切两圆的性质:假如两个圆相切,那么切点一定在连心线上.4.相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦．７.圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特性:①圆内接四边形的对角互补;②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.8.弧长及扇形的面积1.圆周长公式:圆周长Ｃ=２R（R表达圆的半径）２．弧长公式：弧长(R表达圆的半径,n表达弧所对的圆心角的度数)3.扇形定义:一条弧和通过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4.弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.5.圆的面积公式.圆的面积(R表达圆的半径)6.扇形的面积公式：扇形的面积(R表达圆的半径，n表达弧所对的圆心角的度数)弓形的面积公式:(如图5）图5图5（１)当弓形所含的弧是劣弧时，(2)当弓形所含的弧是优弧时，（3)当弓形所含的弧是半圆时,二、例题解析【例题１】如图１,⊙是的外接圆,是直径，若,则等于(）A．60ºB.５０ºＣ．40ºＤ.３0º图1图2图3【例题2】如图２,以Ｏ为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点Ｃ,若大圆半径为１0cｍ,小圆半径为6cm,则弦AＢ的长为cm．【例题3】如图３，△AＢＣ内接于⊙Ｏ,ＡＢ=ＢC,∠ＡBＣ=1２０°,AD为⊙Ｏ的直径，AD=6，那么BD＝________＿．【例题4】如图4已知⊙O的两条弦AC，ＢD相交于点E,∠A=70o,∠ｃ＝5０o，那么sin∠AEB的值为()A.B.Ｃ.D.图4PBCEA（图8）【例题５】如图5PBCEA（图8）(１)求弦的长;（2)若Ｐ为ＡB的中点,交于点E,求的长．三、课堂练习1、如图6，在⊙O中，∠ABC=４0°，则∠AOC＝度．CABCABS1S2BCAO图6图7图８２、如图7，ＡB是⊙O的直径，AC是弦,若∠ACO=32°，则∠ＣOＢ的度数等于．3、已知⊙O的直径AB＝8cｍ,C为⊙O上的一点,∠ＢAC＝3０º,则BC=＿_____cｍ.4、如图8,已知在中，,，分别以，为直径作半圆,面积分别记为，,则+的值等于.5、如图9，⊙O的半径ＯA=1０ｃm，Ｐ为AB上一动点,则点P到圆心Ｏ的最短距离为_______＿___cｍ。图96、如图10，在⊙O中,∠ＡＣB=∠BＤC=60°,AC=,(1)求∠ＢAC的度数；（２)求⊙O的周长7、已知：如图１1，⊙Ｏ的直径AＢ与弦CD相交于E，弧ＢC=弧BD,⊙O的切线BＦ与弦ＡD的延长线相交于点F．（1)求证：CD∥ＢF.(２)连结BＣ,若⊙O的半径为４,ｃos∠BCD＝，求线段AＤ、CD的长．8、如图12,在△ABＣ中,AB＝BＣ,以ＡB为直径的⊙O与AC交于点D,过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为Ｆ．(1)求证：直线ＤE是⊙O的切线；(２）当ＡB＝5,AC=8时,求coｓＥ的值．图１2四、经典考题解析1．如图13，在⊙O中,已知∠AＣB=∠CＤB=60○，ＡＣ=3，则△ABC的周长是___＿_＿__＿___．图13图1４图１5２．“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有圆材,埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸,锯道长一尺，间径几何”.用数学语言可表述为如图14,CD为⊙Ｏ的直径，弦AB⊥CＤ于点Ｅ，CＥ＝1寸，ＡB=１0寸,则直径CD的长为()Ａ．12．５寸Ｂ．13寸C.25寸D.２６寸3．如图15,已知AＢ是半圆O的直径,弦ＡＤ和BC相交于点P，那么EQ\F(CD,AB)等于（)Ａ．ｓin∠BPDＢ.cos∠BＰＤC.ｔａn∠ＢPＤＤ.cｏｔ∠BＰD４.⊙O的半径是５，AＢ、ＣD为⊙O的两条弦,且AB∥CD，AB=6,ＣD＝８，求AB与CD之间的距离.5．如图16，在⊙M中,弧ＡB所对的圆心角为1200，已知圆的半径为2cm，并建立如图所示的直角坐标系，点C是ｙ轴与弧ＡB的交点。（1)求圆心M的坐标;（2）若点D是弦AＢ所对优弧上一动点，求四边形ACBD的最大面积图16五、课后训练1.如图1７，在⊙O中，弦ＡB＝1.8cｍ，圆周角∠AＣB=30○，则⊙O的直径等于___＿_＿__＿cｍ.图１7图18图1９２．如图18，Ｃ是⊙O上一点，O是圆心．若∠C=３5°,则∠ＡOＢ的度数为(）A.35○Ｂ.７０○C．105○D．150○3.如图19,⊙O内接四边形ABCＤ中，AB＝CD，则图中和∠１相等的角有_＿___＿４.在半径为1的圆中,弦ＡB、AC分别是和，则∠BＡC的度数为多少？5.如图20,弦ＡB的长等于⊙O的半径，点C在⊙O上，则∠C的度数是＿_＿____.图２0图21图22６．如图21，四边形AＢＣD内接于⊙O,若∠ＢOD=10０°，则∠DAＢ的度数为（)A．50°Ｂ．80°C.1０0°D．１30°７.如图２2，四边形ＡBCD为⊙O的内接四边形,点Ｅ在CＤ的延长线上,假如∠BＯD=１2０°，那么∠BＣＥ等于(）A.30°B.60°Ｃ.９0°D．12０°8.如图，⊙O的直径AＢ=10，ＤE⊥AB于点H,AH＝2．(1）求DE的长;（2）延长ＥＤ到Ｐ,过Ｐ作⊙Ｏ的切线，切点为C,若PC=22，求PD的长.九年级数学圆练习题填空题:(21分)如图，在⊙Ｏ中,弦AＢ∥ＯＣ,,则=_＿____＿__2、如图,在⊙Ｏ中,ＡＢ是直径,,则=_＿_＿_＿_＿__3、如图，点O是的外心，已知，则＝__＿___＿＿___BCOABCOA（1题图）(2题图)（３题图）（4题图）4、如图，ＡＢ是⊙O的直径，弧BＣ=弧BＤ，,则．(5题图）(6题图)(7题图)5、如图，⊙O的直径为８，弦CD垂直平分半径OA,则弦CD=．6、已知⊙Ｏ的半径为2cm，弦ＡB＝2cm,P点为弦AB上一动点,则线段OP的范围是.7、如图,在⊙O中，∠B=５0º,∠C＝２0º,则∠ＢOC的=_____＿______二、解答题(70分)BD1、如图,AＢ是⊙Ｏ的直径.若OD∥ＡC,与的大小有什么关系？为什么?BD2、已知:如图，在⊙Ｏ中，弦AB＝CＤ.求证：⑴弧AC＝弧BD;⑵∠AOC=∠ＢOD3、如图，已知:⊙O中,AＢ、CB为弦，OC交AＢ于D，求证：(1）∠ODB>∠OBD,(2)∠ODB>∠ＯBC；4、已知如图，，AB、AC为弦，ＯＭ⊥ＡB于M,ON⊥ＡC于N,MN是△ABC的中位线吗？5、已知如图,AＢ、CＤ是⊙O的直径，DＦ、BＥ是弦,且DF=BE,求证:∠D=∠Ｂ6、已知如图,AＢ是⊙O的直径，C是⊙O上的一点,CD⊥AＢ于D，CE平分∠DCＯ，交⊙O于E,求证：弧AE=弧ＥＢ７、如图,已知△ABC,AC=3，ＢC=4，∠C=９0°,以点C为圆心作⊙C，半径为r.(1)当r取什么值时,点