广东省六校2023届高三第三次联考(文数)

广东省六校2023届高三第三次联考数学（文科）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.函数的定义域为（）A．B．C．D．2.如果复数(其中为虚数单位，为实数)的实部和虚部互为相反数，那么等于()A．B．C． D．23.高考结束后，同学聚会上，某同学从《爱你一万年》，《非你莫属》，《两只老虎》，《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未选取的概率为（）A． B．C．D．4.正视图俯视图侧视图圆关于直线对称的圆的方程是（）正视图俯视图侧视图A．B．C．D．5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是()A．2B.C.D．3正视图俯视图侧视图6.已知，则（）正视图俯视图侧视图A． B． C． D．7.实数、满足，且的最大值不小于1，则实数的取值范围是()A．B．C．D．8.函数的导函数在区间上的图像大致是（）A.B.C.D.9.三棱锥中，且，是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为()A.B．C．D．10.自主招生联盟成行于2023年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟．在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况，得到如下结果：①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟④不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟根据上述调查结果，下列结论错误的是（）A．没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生B．报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多C．报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟D．报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟11.设，则的大小关系为（）A．B．C.D．已知双曲线：﹣=1（），点为的左焦点，点为上位于第一象限内的点，关于原点的对称点为，且满足，若，则的离心率为（）B.C.2D.填空题：本题共4小题，每小题5分。13.若向量，则向量与的夹角等于．14.执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为．15.已知函数在点处的切线方程为，则函数在点处的切线方程为________．16．已知平面四边形为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且，，，，则平面四边形面积的最大值为________．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（一）必考题：共60分。17.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足.()（1）求数列的通项公式；（2）设（），求数列的前项和.18.（本小题满分12分）如图,在三棱柱中，侧棱底面,为的中点,,.(1)求证：平面；(2)求四棱锥的体积.19.（本小题满分12分）随着社会的发展，终身学习成为必要，工人知识要更新，学习培训必不可少，现某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人），从该工厂的工人中共抽查了100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）得到A类工人生产能力的茎叶图（左图），B类工人生产能力的频率分布直方图（右图）.（1）问B类工人各抽查了多少工人，并求出直方图中的x;（2）求工人生产估计B类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;（3)若规定生产能力在[130，150]内为能力优秀，由以上统计数据在答题卡上完成下面的22列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为生产能力与培训时间长短有关.能力与培训时间列联表短期培训长期培训合计能力优秀能力不优秀合计参考数据：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：其中.20.（本小题满分12分）已知动点到定点的距离比到定直线的距离小1.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和．设线段，的中点分别为，求证：直线恒过一个定点.21.（本小题满分12分）已知函数(其中,且为常数)．（1）若对于任意的，都有成立，求的取值范围；（2）在（Ⅰ）的条件下，若方程在上有且只有一个实根，求的取值范围．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（本题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若与交于两点，点的极坐标为，求的值．23.（本题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]设函数，．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围．数学（文科）参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。题号123456789101112答案CCBDDCAACDAB二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。13．；14．30；15．；16．；16.解：设AC=,在中由余弦定理有同理，在中，由余弦定理有：，即①，又平面四边形面积为，即②.①②平方相加得，当时，取最大值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分)解：（1）当时，…2分（），…………………3分当时，由得，…………………4分显然当时上式也适合，∴…………………5分（2）∵…………………6分∴…………………7分…9分…………………11分…………………12分18.(本小题满分12分)解：（1）证明:连接,设与相交于点,连接,∵四边形是平行四边形,∴点为的中点.∵为的中点，∴为△的中位线,∴.………2分∵平面,平面,∴平面.……4分(2)解法1:∵平面,平面,∴平面平面，且平面平面.作，垂足为，则平面，……………6分∵，，在Rt△中，，，…8分∴四棱锥的体积……10分.∴四棱锥的体积为.……12分解法2:∵平面,平面,∴.∵,∴.∵,∴平面.……6分取的中点,连接,则,∴平面.三棱柱的体积为,……8分则,.……10分而,∴.∴.∴四棱锥的体积为.……12分19(本小题满分12分）解：（1）由茎叶图知A类工人中抽查人数为25名,…………………1分∴B类工人中应抽查100-25=75（名）.………………2分由频率分布直方图得(0.008+0.02+0.048+x)´10=1，得x=0.024.……3分（2）由茎叶图知A类工人生产能力的中位数为122………………4分由（1）及频率分布直方图，估计B类工人生产能力的平均数为115´0.008´10+125´0.020´10+135´0.048´10+145´0.024´10=133.8……………6分（3）由（1）及所给数据得能力与培训的2´2列联表，短期培训长期培训合计能力优秀85462能力不优秀172138合计2575100…………9分由上表得＞10.828……11分因此,可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为生产能力与培训时间长短有关.………12分(本小题满分12分)解：(1)由题意可知：动点到定点的距离等于到定直线的距离，根据抛物线的定义可知，点的轨迹是抛物线。……2分，抛物线方程为：……3分（2）设两点坐标分别为，则点的坐标为．由题意可设直线的方程为，由得..…5分因为直线与曲线于两点，所以，．所以点的坐标为.…6分由题知，直线的斜率为，同理可得点的坐标为.…7分当时，有，此时直线的斜率.……8分所以，直线的方程为，整理得.…10分于是，直线恒过定点；当时，直线的方程为，也过点．综上所述，直线恒过定点．…12分21(本小题满分12分）解（1）………………1分当时,对于恒成立,在上单调递增,此时命题成立;……………3分当时,在上单调递减,在上单调递增,当时,有.这与题设矛盾.故的取值范围是……………………5分（2）依题意,设,原题即为若在上有且只有一个零点,求的取值范围.显然函数与的单调性是一致的.当时,因为函数在区间上递减,上递增,所以在上的最小值为,由于,要使在上有且只有一个零点,需满足或,解得或;……………7分‚当时,因为函数在上单调递增,且,所以此时在上有且只有一个零点;……………9分ƒ当时,因为函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,又因为,所以当时,总有,,所以在上必有零点,又因为在上单调递增,从而当时,在上有且只有一个零点.……………11分综上所述,当或或时,方程在上有且只有一个实根.………12分（本小题满分10分）解：（