有限元法与程序-结构振动3

上次课内容回顾第8章结构的振动与稳定逆迭代法行列式搜索法二、子空间迭代法§8.5行列式搜索法和子空间迭代法子空间迭代法是求解大型特征值问题低阶特征对的有效方法。它实质上是Rayleigh-Ritz方法和逆迭代方法的组合。1.Rayleigh-Ritz法（1）Rayleigh商及其极值原理{x}是n维空间的任意一个非零向量，则称为Rayleigh商Rayleigh商极值原理当{x}等于广义特征值问题的某一特征向量时，Rayleigh商达到它的一个极值。证明：将任意非零向量{x}表示成以特征向量为基向量的线性组合注意到,得Rayleigh商为当Rayleigh商取极值时有利用二次型对向量求偏导的法则上式表明：当{x}等于某一个特征向量时，Rayleigh商达到极值。（2）Rayleigh-Ritz解法解法特点：将一个n维空间的问题化为一个维数较低的q维空间的问题求导近似解若要求系统的前p阶特征对，则先选取q≥p个线性无关的n维向量｛yi｝，i＝1，2，…，q，令｛x｝为这些向量的线性组合，有由Rayleigh商得R(｛x｝)取极小的必要条件是若记K*=YTKY，M*=YTMY，则K*，M*均为q×q阶方阵，称为原来刚度矩阵和质量矩阵的在q维子空间的投影。利用二次型对向量求偏导的法则，得：即因此由于同时，还可得到原问题的q个子空间的特征向量而且计算出的特征值是原问题特征值的上界，即：这是个q阶的广义特征值问题，所得的特征值是原问题的特征方程的近似值。｛α｝称为Ritz坐标向量由上节讨论知道，逆迭代法可以使迭代向量向最低阶特征向量靠近。利用这一点，把逆迭代法和Rayleigh-Ritz法相结合，交替使用逆迭代法和Rayleigh-Ritz法，即用逆迭代中的初始向量组作为Ritz基向量，利用Rayleigh-Ritz法在子空间中求解低阶广义特征值问题，再用子空间中的特征向量作为Ritz基的坐标，得到一组新的Ritz基向量，即迭代向量。不断改善Ritz向量基，使得Ritz基向量空间不断向原问题的q阶向量空间靠拢，从而求得越来越精确的解，这就是子空间迭代法的基本思想。2.子空间迭代法子空间迭代法步骤：（1）为了避免丢根，如果计算p个特征对，则选取q个线性无关的初始迭代向量，这里q大于p，一般可取q=min(2p,p+8)，它们构成n×q阶矩阵X0，为了叙述方便，这里写出的是第k步到第k+1步的迭代计算过程，由迭代式（2）形成子空间投影矩阵和解出（3）求解子空间特征问题可用广义雅可比法解出全部的q个特征值q个特征向量其中，ρk+1

i（i=1，2，…，q）即是原系统的前q个特征值的近似值，计算即为原系统的前q个特征向量的近似值。（4）作收敛性判断。若则停止迭代，否则，以Xk+1作为新的迭代向量回到步骤（1）进行下一次迭代。注意：新的近似的特征向量，也就是改进的新Ritz基向量满足因此，Xk+1可作为新的迭代向量矩阵，而且当k→∞时，有：在上面的步骤中，每一次迭代都要解q个线性方程组，求q个子空间特征对。同样，迭代初向量X0=[(x1)0,(x2)0,(x3)0,…,(xq)0]的选择是否恰当，直接影响迭代次数和结果的精度。如何选取？例如，选取[M]的对角元素作为(x1)0的向量元素，其他的(xi)0,(i=2,3,…,q)向量元素，依次在Mjj/Kjj(i=1,2,,…,n)的最大，次大，第三大…的行号上取1，余下元素全部取零的的单位向量作业：阅读并调试教材中给出的子空间迭代法程序，或阅读并调试从其他参考书给出的子空间迭代程序，给出算例。

Lanczos方法目前被认为是求解大型矩阵特征值问题的最有效方法，与子空间迭代法相比，其计算量要少得多。

Lanczos方法用于标准特征值问题称为标准Lanczos法，用于广义特征值问题称为广义Lanczos法。

补充：Lanczos方法（1）标准Lanczos法

设标准特征值问题其中：K为n×n阶矩阵。首先选取适当的初始迭代向量｛U1｝，且｛U1｝T｛U1｝=1计算其中，这里，k=1,2,…,m-1≤n；‖

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2为2范数。于是得求解此矩阵的特征值，就是K的m个最高阶特征值。（2）广义逆Lanczos法

广义逆Lanczos法的运算过程，基本上与标准方法相同。设广义特征值问题其中K为n×n阶实对称正定阵，M为对称阵。选取适当的初始向量{U1}，且{U1}TM{U1}=1，计算令β1=1，作（1）（2）（3）这里，k=1,2,…,m。当k＝m时，作完第（1）步，即求出αm就停止迭代，于是得到全部的αk和βk就构成的