《电磁波与电磁场》4-恒定磁场

Chapter4恒定磁场

4.1

磁感应强度

4.2

安培环路定律4.3

磁场的基本方程4.4

磁场位函数4.5

电感4.6

磁场能量4.7

磁路磁场是由运动电荷或电流产生的；当产生磁场的电流恒定时，它所产生的磁场不随时间变化，这种磁场称为恒定磁场。第4章恒定磁场磁场是由运动电荷或电流产生的。运动电荷或载流导线在磁场中要受到磁场的作用力。检验磁场是否存在的一种方法是改变载流导线在磁场中受力的情况。永久磁铁的磁场本质是运动电荷（分子电流）产生磁场。磁相互作用实质上是运动电荷之间的相互作用。分析方法

磁场的性质同静电场完全不同，但作为分析矢量场的基本方法仍是相同的。

基本物理量参数方程亥姆霍兹定理边界条件恒定磁场分析（方程求解）注意恒定磁场

与静电场、恒定电场的对比4.1

磁感应强度

从不同的角度定义以运动电荷在磁场中所受到的作用力定义

以电流元在磁场中受力定义

以线圈在磁场中受到的力矩定义

运动电荷在磁场中受洛仑兹力

元电流段：电流元在磁场中受力载流回路在磁场中受力矢量B

称为磁感应强度，单位为T（特斯拉）。

安培力定律——实验定律内容：磁场表现为对于运动电荷有力的作用。导线中的电流反向时，它们产生的作用力也反向，作用在电流元上的力和电流元垂直，电流元的长度和电流元之间的距离同时增加相同倍数时，作用力不变。值得注意的是，运动电荷受到的磁场力始终与电荷的运动方向垂直，因此，磁场力无法改变运动电荷速度的大小，只能改变其运动方向，磁场与运动电荷之间没有能量交换。

安培力定律——实验定律C1C2回路C1受回路C2的力为载流回路产生的磁场为毕奥—沙伐定律磁感应强度计算元电流段：注意的方向叉积和点积的区别磁通连续性定理磁感应强度B通过某一表面S的通量称为磁通量或磁通磁通连续性定理的积分形式磁通的单位为Wb（韦伯）。

磁通连续性定理的微分形式表明：真空中恒定磁场的磁感应强度的散度处处为零，磁场为无散场，B线为无头无尾的闭合曲线。4.2安培环路定律立体角真空中的安培环流定律例:lI1I2I3真空中恒定磁场的磁感应强度沿任一闭合回路的环量等于回路包围的电流代数和与真空磁导率的乘积。磁场强度：4.2安培环路定律磁场强度沿任一闭合路径的环流量等于该闭合回路所限定面积上穿过的传导电流的代数和真空中安培环路定律的微分形式媒质磁化

原子中的电子绕原子核不断旋转，形成一个闭合的环形电流，相当于一个磁偶极子。另，电子及原子核本身自旋，也相当于形成磁偶极子。外加磁场时，磁场力使带电粒子的运动方向发生变化或产生新的电流，使磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为零，这种现象称为磁化。若回路电流为I，面积S，定义磁偶极矩m=IS。通常，热运动使磁偶极子的方向杂乱无章，宏观合成磁矩为零，对外不显磁性。磁化结果出现的合成磁矩产生二次磁场BS，这种二次磁场影响外加磁场Ba，导致磁化状态发生改变，从而又使二次磁场发生变化，一直到媒质中的合成磁场产生的磁化能够建立一个稳定的二次磁场，磁化状态达到平衡。但是，与极化现象不同的是，磁化结果使媒质中的合成磁场可能减弱或增强，而介质极化总是导致合成电场减弱。

媒质磁化

媒质合成场Ba+Bs磁化二次场Bs外加场Ba磁偶极子BBJ’SB'

把媒质的磁性能分为抗磁性、顺磁性、铁磁性及亚铁磁性等。

抗磁性。媒质正常情况下，原子中的合成磁矩为零。当外加磁场时，电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁场的方向相反，导致媒质中合成磁场减弱。如银、铜、铋、锌、铅及汞等属抗磁性媒质。媒质磁化

顺磁性。媒质在正常情况下，原子中的合成磁矩并不为零，只是由于热运动结果，宏观的合成磁矩为零。在外加磁场的作用下，磁偶极子的磁矩方向朝着外加磁场方向转动。使合成磁场增强。如铝、锡、镁、钨、铂及钯等属顺磁性媒质。铁磁性。内部存在“磁畴”，每个“磁畴”中磁矩方向相同，各个“磁畴”的磁矩方向杂乱无章，对外不显示磁性。在外磁场作用下，各个“磁畴”方向趋向一致，且畴界面积还会扩大，产生很强的磁性。例如铁、钴、镍等。磁性还具有非线性，且存在磁滞及剩磁现象。媒质磁化

亚铁磁性。金属氧化物，磁化现象比铁磁媒质稍弱，剩磁小，且电导率很低。例如铁氧体等。由于电导率很低，高频电磁波可以进入内部，且能产生一些可贵的特性，使得铁氧体在微波器件中获得广泛的应用。磁化结果在媒质中产生了磁矩。为了衡量磁化程度，定义单位体积中磁矩的矢量和称为磁化强度，以M表示，即一般形式的安培环路定律磁化后出现的磁矩是由于媒质中形成新的电流产生的，称磁化电流，是由于媒质内电子的运动方向改变，或产生新的运动方式形成的。但该电子仍然被束缚在原子或分子周围，故又称为束缚电流。穿过某一平面的总磁化电流物质的磁化磁介质在磁场中要发生磁化现象，有分子电流出现。分子电流构成小电流回路称为磁偶极子。

磁偶极矩Am2

磁化强度向量A/m

磁偶极矩Am2

电偶极子:+-d电偶极矩：介质中的高斯定理磁化电流

元磁偶极矩

磁介质中的安培环路定律真空中的安培环流定律磁化电流

令

磁介质中的安培环流定律微分形式的安培环流定律磁场强度向量A/m

大多数媒质，磁化强度M与磁场强度H成正比，即m

称为磁化率，可正或负实数。

令则

称为磁导率。相对磁导率r定义为磁介质及其分类但是，无论抗磁性或者顺磁性媒质，其磁化现象均很微弱，因此，可以认为它们的相对磁导率基本上等于1。铁磁性媒质的磁化现象非常显著，其磁导率可以达到很高的数值。值得注意的是，近年来研发的新型高分子磁性材料，其相对磁导率可达到与介电常数同一数量级。抗磁性媒质磁化后使磁场减弱，因此顺磁性媒质磁化后使磁场增强，因此媒质媒质媒质金0.9996铝1.000021

镍

250银0.9998镁1.000012

铁4000铜0.9999钛1.000180磁性合金105磁介质及其分类与介质的电性能一样，媒质的磁性能也有均匀与非均匀，线性与非线性、各向同性与各向异性等特点。若媒质的磁导率不随空间变化，则称为磁性能均匀媒质，反之，则称为磁性能非均匀媒质。若磁导率与外加磁场强度的大小及方向均无关，磁感应强度与磁场强度成正比，则称为磁性能各向同性的线性媒质。磁性能各向异性的媒质，其磁导率具有9个分量，B

与H的关系为磁介质及其分类磁介质及其分类线性磁介质磁介质非铁磁质铁磁质顺磁质抗磁质锰、铬、铝、水金、银、铜、铋、硅、空气非线性磁滞作业：P160：4-34.3恒定磁场的基本方程磁通连续性定理安培环流定律辅助方程—恒定磁场特性方程1.积分形式的基本方程高斯散度定理

2.微分形式的基本方程斯托克斯定理

无散场恒定磁场特性方程有旋场磁力线是闭合的，无头无尾。静电场微分方程3.分界面上的衔接条件设媒质为线性、均匀、各向同性。折射定律静电场微分方程静电场衔接条件B2B1H1H2恒定磁场方程K=0时恒定磁场的边界条件

12B2H1B1H2en(1)当边界上不存在表面电流时，磁场强度的切向分量是连续的，即

对于各向同性的线性媒质(2)磁感应强度的法向分量是连续的，即

对于各向同性的线性媒质静电场恒定磁场方程位函数及方程场变量、参数无源区恒定磁场与静电场的对比无电流区?4.4

恒定磁场位函数对于无电流区定义标量磁位1.引出2.方程与分界面衔接条件单位A

恒定磁场方程衔接条件标量磁位只适用于无源区！3.标量磁位与电位之异同相同处——公式对偶不同处1)物理意义2)电位是单值函数，标量磁位是多值函数。静电场微分方程恒定磁场微分方程电场磁场性质不同只适用于无源区!磁场中的镜像法I=+II’I’’场变量、参数恒定磁场与静电场的对比（通量）源恒定磁场方程静电场例1：长直导线周围的标量磁位分布

等标量磁位线是射线，标量磁位沿角度增加而减小；

磁力线是一族圆，H的方向总是由高磁位面指向低磁位面。导线周围：柱坐标Фm=0Фm=-I/8Фm=-I/4Фm=-3I/8Фm=-I/2Фm=-5I/8Фm=-3I/4Фm=-7I/8例2：传输线周围的标量磁位分布等标量磁位线是另一族圆磁力线是一族正交圆xyPbbr-r+4.4.4矢量磁位

1.矢量磁位的定义微分方程由于矢量磁位单位wb/m

令亥姆霍兹定理唯一确定的矢量场设为任意标量函数指定的值称为一种规范

库仑规范2.矢量磁位的方程微分方程设媒质是均匀媒质矢量磁位泊松方程库仑规范是矢量算子，但是标量算子。矢量磁位的方向就是场源的方向！矢量磁位的计算矢量磁位泊松方程例2:双线输电线周围的电磁场分布以y轴为参考面等Az线等线E线等线xyPbbr-r+平行平面场中等Az线就是B

线3.矢量磁位边值问题平行平面场中恒定磁场分析电感电感的定义在各向同性的线性媒质中，电流回路在空间产生的磁场与回路中的电流成正比。因此，穿过回路的磁通量也与回路中的电流成正比。在静磁场中，将穿过回路的磁通量与回路中的电流的比值，称为电感系数，简称电感。电感分为自感和互感。电感CI细回路iCIo粗回路1.磁通与磁链单匝线圈形成的回路的磁链定义为穿过该回路的磁通量多匝线圈形成的导线回路的磁链定义为所有线圈的磁通总和

恒定磁场分析电感粗导线构成的回路，磁链分为两部分：一部分是粗导线包围的、磁力线不穿过导体的外磁通量o；另一部分是磁力线穿过导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量i。CI细回路iCIo粗回路恒定磁场分析电感设回路C

中的电流为I

，所产生的磁场与回路C

交链的磁链为，则磁链与回路C中的电流I有正比关系，其比值称为回路C的自感系数，简称自感。——外自感2.自感——内自感；粗导体回路的自感：L=Li+Lo恒定磁场分析电感2.自感自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。自感的特点：计算电感的一般步骤：假设回路中通有电流I；求出磁感应强度B或矢量磁位A；利用，计算磁通；由磁通与电流的比值求出电感。恒定磁场分析解：先求内导体的内自感。设同轴线中的电流为I，由安培环路定理例：求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为a，外导体厚度可忽略不计，其半径为b，空气填充。得恒定磁场分析穿过沿轴线单位长度的矩形面积元dS=d的磁通为与dΦi交链的电流为则与dΦi相应的磁链为因此内导体中总的内磁链为恒定磁场分析故单位长度的内自感为再求内、外导体间的外自感。则故单位长度的外自感为单位长度的总自感为恒定磁场分析例:计算平行双线传输线单位长度的自感。设导线的半径为a，两导线的间距为D，且D>>a。导线及周围媒质的磁导率为μ0。PII解:设两导线流过的电流为I。由于D>>a，故可近似地认为导线中的电流是均匀分布的。应用安培环路定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点P的磁感应强度为恒定磁场分析穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的外磁链为于是得到平行双线传输线单位长度的外自感两根导线单位长度的内自感为故得到平行双线传输线单位长度的自感为PII恒定磁场分析电感对两个彼此邻近的闭合回路C1和回路C2，当回路C1中通过电流I1时，不仅与回路C1交链的磁链与I1成正比，而且与回路C2交链的磁链12也与I1成正比，其比例系数3.互感C1C2I1I2Ro同理，回路C2对回路C1的互感为恒定磁场分析电感3.互感互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位

置以及周围磁介质有关，而与电流无关。满足互易关系，即M12=M21当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符

号时，互感系数M

为正值；反之，则互感系数M

为负值。互感的特点：恒定磁场分析电感4.纽曼公式如图所示的两个回路C1和回路C2，回路C1中的电流I1在回路C2上的任一点产生的矢量磁位回路C1中的电流I1产生的磁场与回路C2交链的磁链为C1C2I1I2Ro恒定磁场分析电感4.纽曼公式同理故纽曼公式恒定磁场分析长直导线与三角形回路穿过三角形回路面积的磁通为解:设长直导线中的电流为I，根据安培环路定理，得到例:如图所示，长直导线与三角形导体回路共面，求它们之间的互感。由图中可知恒定磁场分析因此故长直导线与三角形导体回路的互感为恒定磁场分析例:如图所示，两个互相平行且共轴的圆形线圈C1和C2，半径分别为a1和a2，中心相距为d。求它们之间的互感。解:利用纽曼公式来计算，则有两个平行且共轴的线圈式中θ=2－1为与之间的夹角，dl1=a1d1、dl2=a1d2，且恒定磁场分析于是有若d>>a1，则一般情况下，上述积分只能用椭圆积分来表示。但是若d>>a1或d>>a2时，可进行近似计算。恒定磁场分析于是恒定磁场分析恒定磁场的能量1.磁场能量电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表

明恒定磁场具有能量。磁场能量是在建立电流的过程中由电源供给的。当电

流从零开始增加时，回路中的感应电动势要阻止电流

的增加，就必须有外加电压克服回路中的感应电动势。假定建立并维持恒定电流时，没有热损耗。假定在恒定电流建立过程中，电流的变化足够缓慢，没有辐射损耗。恒定磁场分析恒定磁场的能量1.磁场能量在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的能量，就全部转化成磁场能量。设回路从零开始充电，最终的电流为I、交链的磁链为。在时刻t的电流为i=αI、磁链为ψ=α。(0≤α≤1)外加电压应为当α增加为(α+dα)时，回路中的感应电动势:恒定磁场分析恒定磁场的能量1.磁场能量根据能量守恒定律，此功也就是电流为I的载流回路具有的磁场能量Wm，即对α从0到1积分，即得到外电源所做的总功为所做的功恒定磁场分析恒定磁场的能量1.磁场能量对于N个载流回路，则有对于体分布电流，则有例如，对于两个电流回路C1和回路