林亚南教授讲座

魅力数学厦门大学数学科学学院林亚南XIAMENUNIVERSITY数学是什么？

数学是一门具有挑战性的学科

挑战人们的智力，挑战人们的毅力，挑战人们的创新能力培根：

数学是进入各种科学的门户，是钥匙。没有数学知识，就不可能知晓这个世界中的一切。

马克思:

一种科学只有在成功地运用数学时,才算达到了真正完善的程度.

科学:自然科学社会科学

自然科学界定为以研究物质的某一运动形态为特征的科学(如物理学化学、生物学)数学是忽略了物质的具体运动形态和属性，纯粹从数量关系和空间形式的角度来研究现实世界

科学:

自然科学社会科学数学科学数学的特点:

抽象性精确性应用广泛性

数学的抽象性

把看来复杂的问题便得简明

把看来混乱的事物理出规律

哥尼斯堡七桥问题与一笔画问题

欧拉公式平面:V(接点数)+F(网眼数)-E(边数)=1

三维空间中凸多面体:V(顶点数)+F(面数)-E(棱数)=2

一个数学等式欧拉公式的特例Lindemann(1852-1939)证明∏是超越数的工具,证明了尺规化圆为方不可能性.

数学的精确性

数学推理的严格

数学结论的确定

宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，数学无所不在。

----华罗庚数学应用的广泛性数学应用的广泛性

数学在大自然和我们的生活中无所不在。数学与人类社会的发展息息相关。

数学的力量往往是潜在的；数学的作用往往是无形的。哈雷彗星的发现哈雷(E.Halley，1656-1742)，出生于英国伦敦一个富商家庭，1673年进入牛津大学女王学院学习数学。1676年，30岁的皇家天文学家弗拉姆斯蒂(F.Flamsteed，1646-1719)正在格林尼治天文台从事北天星表的编制工作，20岁的哈雷毅然放弃了即将到手的学位证书，只身搭乘东印度公司的航船，在海上颠簸了3个月，到达南大西洋的圣赫勒纳岛，建立了南半球第一个天文台，测绘编制了包含341颗南天恒星黄道坐标的第一个南天星表。

哈雷彗星的发现1680年，哈雷看到了有史以来最亮的一颗大彗星。哈雷查阅了许多外国历史资料，发现1682年出现的大彗星其轨道与前1607年、1531年出现的彗星轨道如出一辙，这3次出现的彗星外貌也很相似。哈雷没有立即下此结论，而是不厌其烦地向前搜索，进一步发现：1456年、1378年、1301年、1222年，一直到1066年，历史上都有大彗星的记录。

哈雷彗星的发现1705年，49岁的哈雷发表了《彗星天文学论说》，宣布1682年曾引起世人极度关注的大彗星将于1758年再次出现于天空，因为他通过计算确定该彗星的周期是76年左右。于是他在书中写道：“如果彗星真如我所预言，大约在1758年再现的时候，公正的后人们将不会忘记这首先是由一个英国人发现的。”

哈雷彗星的发现76年后的1758年，这颗彗星重新出现。哈雷彗星的发现

最近一次回归在1986年。

下次出现在2062年。哈雷彗星的发现海王星的发现海王星的发现1781年，英国天文学家赫歇耳，用望远镜发现了天王星。19世纪，人们在对天王星进行观测时，发现它的远行总是不太“守规矩”，老是偏离预先计算好的轨道。到1845年，已偏离有2′的角度了。这到底是什么原因呢？数学家贝塞尔和一些天文学家设想，在天王星的外侧，一定还存在一颗行星，由于它的引力，才扰乱了天王星的运行。海王星的发现

1843年，英国剑桥大学22岁的学生亚当斯，根据力学原理，利用各种数学工具，通过10个月时间的计算，确定了这颗未知行星的位置。在此年10月，他满怀信心地把计算结果寄给英国格林威治天文台台长艾利。不料，这位台长是一个迷信权威的人，对他的结果未予理睬。海王星的发现

法国巴黎天文台青年数学家勒维列于1846年计算出了这颗新行星的轨道。他于这年9月18日写信，给当时拥有详细星图的柏林天文台的工作人员加勒：“请你把望远镜对准黄道上的宝瓶星座，即经度326°的地方，那么你将在离此点1°左右的区域内见到一颗九等星。”（肉眼所能见到的最弱的星是六等星）

海王星的发现

加勒在9月23日接到了勒维列的信，当夜他就按照勒维列指定的位置观察，果然在半小时之内，找到一颗以前从未见过的星，距勒维的计算位置相差只有52′。经过24小时的连续观察，他发现这颗星在恒星间移动着，的确是一颗行星。天文学家命名为海王星。圆锥曲线与行星运动三大定律开普勒（1571-1630），德国著名的天体物理学家、数学家、哲学家。他首先把力学的概念引进天文学，他还是现代光学的奠基人，制作了著名的开普勒望远镜。他发现了行星运动三大定律，为哥白尼“太阳中心说”提供了最为有力的证据。

圆锥曲线与行星运动三大定律行星运动三大定律:1.每个行星都以椭圆轨道环绕太阳运动,而太阳位于椭圆的一个焦点.

圆锥曲线与行星运动三大定律2.太阳到行星的矢径在相等的时间间隔中扫过相同的面积.3.行星的轨道周期的平方与它的椭圆轨道的半长轴的立方成正比.圆锥曲线与行星

运动三大定律

圆锥曲线:

希腊学者Menaechmus(公元前

375-前325)

希腊学者ApolloniusofPerga(公元前262-前190)<<圆锥曲线论>>8卷数学与计算机1946年,“冯.诺依曼机”

王选与

激光照排

王选与激光照排

王选与激光照排

1946年：世界上第一台照排机“手动式”，美国。50年代，美国“光学机械式”二代机。1965年德国推出“阴极射线管”三代机。1975年英国正在研制的“激光照排”四代机即将问世。王选提出直接研制激光照排王选与激光照排

汉字字形信息量太大就成了最大的难题。汉字字模的组合高达100万个以上，若采用传统的点阵汉字，储存量将高大200亿位。

王选与激光照排

针对汉字的特点和难点，他发明了高分辨率字形的高倍率信息压缩技术和高速复原方法和输出方法，率先设计出相应的专用芯片，在世界上首次使用“参数描述方法”描述笔画特性。这些世界领先技术，成为汉字激光照排系统的技术核心。王选与激光照排

获得9项中国和欧洲专利，中国十大科技成就奖；第14届日内瓦国际发明展金奖；获国家科技进步一等奖；首届毕升奖；陈嘉庚技术科学奖；国家重大技术装备成果奖特等奖；何梁何利科学与技术进步奖；国家科技进步一等奖；联合国教科文组织科学奖；中国十大科技成就奖；2001年度国家最高科学技术奖；100位新中国成立以来感动中国人物。电磁波与麦克斯韦方程电磁波与麦克斯韦方程

从1864年,英国物理学家,数学家J.C.Maxwell(1831-1879)发表有关电磁学论文.经理无数次失败后，用纯数学的方法对自法拉弟,安培以来的电磁理论的总结,将全部电磁现象归结表述为两组方程(麦克斯韦方程).推导出一种一光速传播的波的存在.电磁波与麦克斯韦方程电磁波与麦克斯韦方程24年后,德国物理学家

H.R.Hertz(1857-1894)1888年震荡放电实验不久,发明了无线电报CT扫描仪设计原理与数学20世纪80年代美籍南非工程师A.M.Cormark寻找不经手术能精确确定体内物体的位置和密度的方法.不同物质有不同的X-射线衰减系数透视测量到人体内沿直线分布的X-射线衰减系数的平均值

CT扫描仪设计原理与数学

捷克数学家Radon的拉东积分变换英国工程师亨斯菲尔德发明并研制成功第一台计算机断层扫描仪.

拉东和亨斯菲尔德共同获得1979年偌贝尔医学奖.数论与密码学

密码学的历史大致可以推早到两千年前，相传名将凯撒为了防止敌方截获情报，用密码传送情报。凯撒的做法很简单，就是对二十几个罗马字母建立一张对应表。只要多截获一些情报，统计一下字母的频率，就可以解破出这种密码。

凯撒是罗马帝国的奠基者，有凯撒大帝之称。甚至有历史学家将其视为罗马帝国的第一位皇帝，以其就任终身独裁官的日子为罗马帝国的诞生日。影响所及，有罗马君主以其名字「凯撒」作为皇帝称号；其后之德意志帝国及俄罗斯帝国君主亦以「凯撒」作为皇帝称号。数论与密码学

1，找两个很大的素数（质数）P和Q，越大越好，比如100位长的,然后计算它们的乘积N=P×Q，M=（P-1）×（Q-1）。

2，找一个和M互素的整数E。

3，找一个整数D，使得E×D除以M余1，即E×DmodM=1。

E：公钥，谁都可以用来加密，D:私钥,用于解密,乘积N是公开的。

现在，我们用下面的公式对X加密，得到密码Y。

数论与密码学

如果知道D，根据费尔马小定理，则只要按下面的公式就可以轻而易举地从Y中得到X。

数论与密码学

数论与密码学

公开密钥的好处有：

1.简单。

2.可靠。公开密钥方法保证产生的密文是统计独立而分布均匀的。更重要的是N,E可以公开给任何人加密用，但是只有掌握密钥D的人才可以解密,即使加密者自己也是无法解密的。这样，即使加密者被抓住叛变了，整套密码系统仍然是安全的。

3.灵活，可以产生很多的公开密钥E和私钥D的组合给不同的加密者。

数论与密码学

要破公开密钥的加密方式，至今的研究结果表明最好的办法还是对大字N进行因数分解，即通过N反过来找到P和Q，这样密码就被破了。而找P和Q目前只有用计算机把所有的数字试一遍这种笨办法。这实际上是在拼计算机的速度，这也就是为什么P和Q都需要非常大。一种加密方法只有保证50年计算机破不了也就可以满意了。

数论与密码学

前几年破解的RSA-158密码是这样因数分解的

39505874583265144526419767800614481996020776460304936454139376051579355626529450683609727842468219535093544305870490251995655335710209799226484977949442955603

=3388495837466721394368393204672181522815830368604993048084925840555281177×11658823406671259903148376558383270818131012258146392600439520994131344334162924536139

搜索引擎的排序

搜索引擎的排序

如何度量网页和查询的相关性

搜索引擎的排序

原子能、的、应用“关键词的频率”，或者“单文本词汇频率”（Term

Frequency)，如在某个一共有一千词的网页中“原子能”、“的”和“应用”分别出现了

2

次、35

次

和

5

次，那么它们的词频就分别是

0.002、0.035

和

0.005。

我们将这三个数相加，其和

0.042

就是相应网页和查询“原子能的应用”相关性的一个简单的度量。搜索引擎的排序

给每一个词给一个权重：1.

一个词预测主题能力越强，权重就越大，反之，权重就越小。2.

应删除词的权重应该是零。

假定一个关键词

ｗ

在

Ｄｗ

个网页中出现过，那么

Ｄｗ

越大，ｗ

的权重越小，反之亦然。在信息检索中，使用最多的权重是“逆文本频率指数”

（Inverse

document

frequency

缩写为ＩＤＦ），它的公式为ｌｏｇ（Ｄ／Ｄｗ）其中Ｄ是全部网页数。搜索引擎的排序

我们假定中文网页数是Ｄ＝１０亿，应删除词“的”在所有的网页中都出现，即Ｄｗ＝１０亿，那么它的ＩＤＦ＝log(10亿/10亿）=

log

(1)

=

０。假如专用词“原子能”在两百万个网页中出现，即Ｄｗ＝２００万，则它的权重ＩＤＦ＝log(500)

=6.2。又假定通用词“应用”，出现在五亿个网页中，它的权重ＩＤＦ

=

log(2)则只有

0.7。该网页和“原子能的应用”的相关性为

0.0161，其中“原子能”贡献了

0.0126，而“应用”只贡献了0.0035。这个比例和我们的直觉比较一致了。

余弦定理和新闻的分类

Google

的新闻是自动分类和整理的。所谓新闻的分类无非是要把相似的新闻放到一类中。计算机其实读不懂新闻，它只能快速计算。这就要求我们设计一个算法来算出任意两篇新闻的相似性。为了做到这一点，我们需要想办法用一组数字来描述一篇新闻。对于一篇新闻中的所有实词，我们可以计算出它们的单文本词汇频率/逆文本频率值（TF/IDF)。不难想象，和新闻主题有关的那些实词频率高，TF/IDF

值很大。我们按照这些实词在词汇表的位置对它们的

TF/IDF

值排序。

余弦定理和新闻的分类

如词汇表有六万四千个词。在一篇新闻中，这

64,000

个词的

TF/IDF

值组成一个64,000维的向量。我们就用这个向量来代表这篇新闻，并成为新闻的特征向量。如果两篇新闻的特征向量相近，则对应的新闻内容相似，它们应当归在一类，反之亦然。

如果两个向量的方向一致，即夹角接近零，那么这两个向量就相近。而要确定两个向量方向是否一致，这就要用到余弦定理计算向量的夹角了。

余弦定理和新闻的分类

余弦定理

当两条新闻向量夹角的余弦等于一时，这两条新闻完全重复（用这个办法可以删除重复的网页）；当夹角的余弦接近于一时，两条新闻相似，从而可以归成一类；夹角的余弦越小，两条新闻越不相关。

GPS全球定位系统与线性方程组GPS导航系统的基本原理是测量出已知位置的卫星到用户接收机之间的距离，然后综合多颗卫星的数据计算出接收机的具体位置。而卫星的位置可以根据星载时钟所记录的时间在卫星星历中查出。接收器与卫星之间的距离计算：其中：C是光速经过整理得：对得方程组：其中GPS全球定位系统与线性方程组例

设接收器在0点接收到4个卫星的如下数据其中长度单位为地球半径(6378KM)时间单位为1/100秒，光速c=0.469解方程得：从前三个线性方程组解得：代入第4个方程，解得所以接收器在时刻的位置是数学与经济学1969年至2001年33届49人获得诺贝尔经济学奖应用数学的深度:特强27位,强14位.由此可见经济学理论的数学含量诺贝尔经济学奖主要是用来奖励”经济学家中的数学家”数学与经济学归结为由供给等于需求决定的方程组的求解.

假定市场上有n个商品,每一个商品的供给和需求都是这n个商品的价格的函数.这n个商品的供需均衡就得到n个方程.价格需要一定的计量单位,或者说各种商品之间的比价才有意义,因而n种商品的价格之间只有n-1种商品是独立的.为此,加入一个财务均衡关系,即所有供给的总价值等于所有需求的总价值,用来消区一个方程.得到了n-1种商品价格的n-1个方程组.方程组的解就是一般均衡价格体系.数学与经济学1959年G.Debreu发表<<价值理论>>,建立公理化体系K.J.Arrow获得1972年诺贝尔经济学奖G.Debreu获得1983年诺贝尔经济学奖

名著<<静静的顿河>>是肖洛霍夫本人作品还是抄袭克留柯夫的作品?3组样本,3000句子.根据句子的平均长度,词类的使用情况,句子结构等方面统计分析.

语言学和数理统计方法1967年法国数学家B.B.Mandelbrot在《科学》杂志上发表文章:“英国的海岸线有多长？”

和海岸线的长度问题与分形

在理论数学中，瑞典数学家Koch早在1904年就构造了如今称之为“柯赫曲线”

(Kochcurve)的几何对象。

海岸线的长度问题与分形和混沌Sierpinski三角形海岸线的长度问题与分形和混沌海岸线的长度问题与分形和混沌毕达哥拉斯树《2025年的数学科学》

日前，美国国家研究委员会（NRC）发布了一份题为《2025年的数学科学》的报告,报告撰写历时5年。报告涉及三方面内容：一、数学科学研究的活力，数学科学发展的统一性和连贯性、最近发展的意义、前沿发展速度和新趋势；二、数学科学研究和教育对工程科学、工业和技术、创新和经济竞争力、国家安全、与国家利益相关的其他领域的影响；三、为美国国家科学基金会数学科学部提供建议，如何通过调整其工作组合，提高本学科的活力和影响力。《2025年的数学科学》

上个世纪最后10年，美国国家研究委员会发布两份重要报告：《人人关心数学教育的未来》，《振兴美国数学——90年代的计划》。认定:为充分参与未来世界，美国必须开发数学的力量。逻辑前提是：数学是科学和技术的基础；没有强有力的数学就不可能有强有力的科学。

美国国家科学院

《推动创新和发现：21世纪的数学科学》报告以十余个数学主题为例，说明数学如何推动其他领域获得发展的创新性成就。如压缩传感带来的变革，特征向量法从大量噪声数据中提取信息的显著能力，数学模拟在各个领域的影响，海啸中的数学科学，贝叶斯推断在经济、天体物理、战争等方面的作用，扩散张量成像与脑的新视角，快速多极方法在军队、商业领域中的应用等等。

或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”这是19世纪德国数学家克莱因赞美数学的一句话，尽管充满诗意、深情款款，但对数学的推崇气势凌人，不容置疑。如果说克莱因的判断是一种历史经验，那在美国国家研究委员会（NRC）数学科学委员会眼中，数学则攸关一国经济社会乃至国家安全的现实利益。

2010年欧洲科学基金会：《数学与产业》学术界和产业界的许多领域都依赖数学科学开拓新领域和推动发展，如今，学术界和产业界所面临的挑战是如此严峻，以至于只有在数学科学的帮助和参与下才能得以解决。

该项报告源于这样一个强大的理念：欧洲数学有潜力成为欧洲产业的重要经济资源；其目的是探索激励和强化数学与产业之间的合作方式，以期加强数学家与致力于技术进步的大中型企业之间的合作战略。泛在的数学《2025年的数学科学》认为，将数学科学作为一个统一的整体进行考虑是关键的。“核心”数学和“应用”数学之间的区别越来越模糊，今天很难找到有哪个数学领域与应用不相关。

欧洲科学基金会的报告也特别强调，与产业界的互动有助于学术界从中受益，激励其对新方向开展研究；报告同时警示数学家要转变心态，在现代技术发展的过程中，对纯数学和应用数学问题的区分已经没有任何意义。

大数据时代的到来，更是史无前例地将数学交叉的重要性以及与各学科融合的统一性上升到一个重要位置。

一批原来从事数学研究的人转身投向其他研究领域或技术开发领域，特别是信息技术、金融和经济，以及各种工程计算领域，并在这些领域中取得了重大成就，甚至成为其中的领袖人物。原因在于：其他领域的人员难于在较短时间内掌握工作中必须的专门数学知识。具有专门数学训练的人去学习另外某个领域的基本知识并不十分困难。在潜方面里，数学锻炼了人的思维逻辑，数学让人考虑事情更懂得理清重点以及事物间的关系。学数学的人预见事情，驾驭事情的能力更是高于一般人。并且，因为他们习惯用数字来说明问题，这让他们的观点严谨且客观。数学在大自然和我们的生活中无所不在。数学与人类社会的发展息息相关。

数学的力量往往是潜在的；数学的作用往往是无形的。规划目标你对自己理想和兴趣的认识你的基础你修正自己的能力你的时间

大学时光人生大学学习在一生中的重要地位

哈佛大学有一个非常著名的关于目标对人生影响的跟踪调查。对象是一群智力、学历、环境等条件都差不多的年轻人，调查结果如下：

25年后再来看被调查的人

３％有清晰且长远目标的人：25年来几乎都不曾更改过自己的人生目标。他们都朝着同一个方向不懈地努力，现在，他们几乎都成了社会各界的顶尖成功人士，他们当中不乏白手创业者、行业领袖、社会精英。

１０％有清晰但短期目标的人：大都生活在社会的中上层。他们的共同特点是，那些短期目标不断被达成，生活状态稳步上升，成为各行各业的不可或缺的专业人士。如医生、律师、工程师、高级主管等。

６０％有较模糊目标的人：几乎都生活在社会的中下层面，他们能安稳地生活与