人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套-4.5

第五节数系的扩大与复数的引入【学问梳理】1.必会学问教材回扣填一填(1)复数的有关概念:内容意义备注复数的概念设a,b都是实数,形如_____的数叫作复数,其中实部为__,记作a=___z;虚部为__,记作b=___z;i叫作虚数单位a+bi为实数⇔____,a+bi为虚数⇔_____,a+bi为纯虚数⇔___________复数相等a+bi=c+di⇔_________(a,b,c,d∈R)共轭复数a+bi与c+di共轭⇔__________(a,b,c,d∈R)复数a(a为实数)的共轭复数是aa+biaRebImb=0b≠0a=0且b≠0a=c且b=da=c且b=-d内容意义备注复平面当用直角坐标平面内的点来表示复数时,我们称这个直角坐标平面为复平面,x轴称为_____,y轴称为_____实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数复数的模设复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点是Z(a,b),点Z到原点的距离_____叫作复数z的模或绝对值|z|=|a+bi|=实轴虚轴|OZ|(2)复数的几何表示:(3)复数代数形式的四则运算:①运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则运算名称符号表示语言叙述加减法z1±z2=(a+bi)±(c+di)=_______________把实部、虚部分别相加减(a±c)+(b±d)i运算名称符号表示语言叙述乘法z1·z2=(a+bi)(c+di)=_________________按照多项式乘法进行,并把i2换成-1除法把分子、分母分别乘以分母的共轭复数,然后分子、分母分别进行乘法运算(ac-bd)+(ad+bc)i②复数加法的运算律:设z1,z2,z3∈C,则复数加法满足以下运算律:(ⅰ)交换律:z1+z2=_____;(ⅱ)结合律:(z1+z2)+z3=__________.③乘法的运算律:z1·z2=______(交换律),(z1·z2)·z3=____________(结合律),z1(z2+z3)=________(乘法对加法的安排律).z2+z1z1+(z2+z3)z2·z1z1·(z2·z3)z1z2+z1z3④正整数指数幂的运算律(m,n∈N+):zmzn=zm+n,(zm)n=___,(z1z2)n=____.zmn2.必备结论教材提炼记一记(1)①i乘方的周期性:②z·=|z|2=||2.(2)三个一一对应关系:复数z=a+bi(a,b∈R)、复平面内的点Z(a,b)和平面对量是一一对应的关系.3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:①利用复数的运算法则求复数的和差积商的方法;②以等式或点的坐标的形式给出考察复数的几何意义的方法.(2)常用思想:方程思想、数形结合思想、分类争论思想.【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)假设a∈C,则a2≥0.()(2)在实数范围内的两个数能比较大小,因而在复数范围内的两个数也能比较大小.()(3)一个复数的实部为0,则此复数必为纯虚数.()(4)复数的模就是复数在复平面内对应向量的模.()【解析】(1)错误.假设a=i,则a2=-1<0,因而(1)错.(2)错误.假设两个复数为虚数,或一个为实数,一个为虚数,则它们不能比较大小.(3)错误.当虚部也为0时,则此复数为实数0.(4)正确.由复数的几何意义可知该结论正确.答案:(1)×(2)×(3)×(4)√2.教材改编链接教材练一练(1)(选修2-2P108B组T1改编)在复平面上,复数对应的点在()A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【解析】选D.由所以对应的点为(1,-2),所以在复平面上对应的点位于第四象限.应选D.(2)(选修2-2P107A组T7改编)i为虚数单位，a∈R，假设复数2i-是实数，则a的值为()A.-4 B.2 C.-2 D.4【解析】选D.是实数，则2-=0，故a=4，选D.3.真题小试感悟考题试一试(1)(2023·新课标全国卷Ⅰ)=()A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i【解析】选D.=-1-i.(2)(2023·山东高考)a,b∈R,i是虚数单位,假设a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=()A.5-4iB.5+4i C.3-4iD.3+4i【解析】选D.由于a-i与2+bi互为共轭复数,所以a=2,b=1,所以(a+bi)2=(2+i)2=4+4i+i2=3+4i.(3)(2023·江苏高考)复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为.【解析】由题意z=(5+2i)2=21+20i,故实部为21.答案:21考点1复数的有关概念【典例1】(1)(2023·大纲版全国卷)设z=,则z的共轭复数为()A.-1+3i B.-1-3i C.1+3i D.1-3i(2)(2023·上海高考)设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=.【解题提示】(1)利用求得复数z后再求z的共轭复数.(2)由纯虚数概念求解.【标准解答】(1)选D.z==3i+1,则=1-3i.(2)m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数⇒⇒m=-2.答案:-2【易错警示】解答此题(2)易消失以下错误:(1)条件考虑不完整,只考虑m2+m-2=0得m=-2或m=1,无视m2-1≠0的条件.(2)虽然考虑了m2-1≠0,但未去取舍而保存原答案-2或1.【规律方法】求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模,共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再依据题意求解.【变式训练】(2023·安徽高考)设i是虚数单位,表示复数z的共轭复数.假设z=1+i,则=()A.-2B.-2iC.2D.2i【解析】选C.由于z=1+i,所以=1-i,故=-i(1+i)+i(1-i)=-2i2=2.【加固训练】1.(2023·天津高考改编)a,b∈R,i是虚数单位.假设(a+i)(1+i)=bi,则复数z=a+bi的共轭复数是()A.2+i B.2-i C.1+2i D.1-2i【解析】选D.由于(a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=bi,所以a-1=0,a+1=b,即a=1,b=2,所以z=a+bi=1+2i,故复数z的共轭复数是1-2i.2.(2023·江苏高考)设z=(2-i)2(i为虚数单位),则复数z的模为.【解析】z=(2-i)2=4+i2-4i=3-4i,故|z|=5.答案:5考点2复数的几何意义【典例2】(1)(2023·新课标全国卷Ⅱ)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=()A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i(2)(2023·重庆高考)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解题提示】(1)利用对称得出两复数实虚部关系后代入可解.(2)利用复数运算后虚部与实部的正负推断.【标准解答】(1)选A.由于z1=2+i,z1与z2关于虚轴对称,所以z2=-2+i,所以z1z2=-1-4=-5,应选A.(2)选A.i(1-2i)=2+i,对应复平面内的点为(2,1),位于第一象限.【互动探究】本例(2)中i(1-2i)对应点关于实轴对称的点对应的复数为

.【解析】由i(1-2i)=2+i可知其对应点坐标为(2,1),其关于实轴对称点坐标为(2,-1),故其对应的复数为2-i.答案:2-i【规律方法】复数几何意义及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+bi(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.提示:|z|的几何意义:令z=x+yi(x,y∈R),则|z|=,由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义;|z1-z2|的几何意义是复平面内表示复数z1,z2的两点之间的距离.【变式训练】(2023·宜春模拟)假设(a-4i)i=b-i,(a,b∈R,i为虚数单位),则复数z=a+bi在复平面内的对应点位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选B.(a-4i)i=4+ai=b-i⇒所以z=-1+4i,对应的点的坐标为(-1,4),所以位于其次象限,应选B.【加固训练】1.复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选B.由于z=i·(1+i)=-1+i,而(-1,1)对应的点在其次象限,所以选B.2.(2023·临沂模拟)复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C.假设=λ+μ(λ,μ∈R),求λ+μ的值.【解析】由得A(-1,2),B(1,-1),C(3,-4),故=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),假设=λ+μ,即(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1),得解得故λ+μ=-1+2=1.考点3复数的四则运算知·考情复数的四则运算是高考考察的一个重要考向,常利用复数的加减乘运算求复数,利用复数的相等或除法运算求复数,利用复数的有关概念求复数等,以选择题、填空题的形式消失.明·角度命题角度1:复数的加减乘法运算【典例3】(2023·福建高考)复数z=(3-2i)i的共轭复数等于()A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i【解题提示】利用复数的运算法则进展计算.【标准解答】选C.由于z=2+3i,所以=2-3i.命题角度2:复数的除法运算【典例4】(2023·天津高考)i是虚数单位,复数=()【解题提示】利用复数除法运算,分子分母同乘以分母的共轭复数求解.【标准解答】选A.=1-i.悟·技法利用复数的四则运算求复数的一般思路(1)复数的乘法运算满足多项式的乘法法则,利用此法则后将实部与虚局部别写出即可.(2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进展运算化简.(3)利用复数的相关概念解题时,通常是设出复数或利用联立方程求解即可.通·一类1.(2023·合肥模拟)复数z=-2i,则的虚部为()【解析】选B.由于z=-2i,所以所以z的虚部为.2.(2023·蚌埠模拟)复数z满足(3-4i)z=35,则z=()A.-3-4i B.-3+4iC.3-4i D.3+4i【解析】选D.由于(3-4i)z=25,则3.(2023·四川高考)复数=.【解析】=(1-i)2=-2i.答案:-2i自我纠错13复数有关概念的应用【典例】(2023·陕西高考)设z是复数，则以下命题中的假命题是()A.假设z2≥0，则z是实数 B.假设z2<0，则z是虚数C.假设z是虚数，则z2≥0 D.假设z是纯虚数，则z2<0【解题过程】【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗?提示:上述解题过程错在对纯虚数与虚数概念含混不清,搞不明白,纯虚数肯定是虚数,而虚数不肯定是纯虚数,从而推断错误.【躲避策略】1.弄清虚数与纯虚数的区分,对于z=a+bi(a,b∈R),假设b≠0,则z为虚数,假设b≠0且a=0,则z为纯虚数.2.利用排解法解题