山西省2023-2023学年高二数学下学期期中试卷-理(含解析)

2023-2023学年山西省高二下学期期中考试理科数学一、选择题：共12题1．已知复数，若是纯虚数，则实数等于A.B.C.D.【答案】B【解析】本题主要考查纯虚数.由题意可得,则a=1.2．用三段论推理：“任何实数的平方大于，因为是实数，所以”，你认为这个推理A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.是正确的【答案】A【解析】本题主要考查三段论,考查了逻辑推理能力.三段论形式正确,但是,大前提错误,因为任何实数的平方大于3．函数在区间上的最小值为A.B.C.D.【答案】D【解析】本题主要考查导数与函数的性质,考查了利用导数求函数最值的方法.,当时,,当时,,所以x=1是函数的极小值点,也是函数的最小值点,则x=1时,函数取得最小值为04．曲线与直线围成的封闭图形的面积是A.B.C.D.【答案】D【解析】本题主要考查定积分,考查了曲多边形面积的求法.曲线与直线的两个交点坐标分别为(,),(,),则封闭图形的面积为5．用反证法证明命题：“已知、是自然数，若，则、中至少有一个不小于2”提出的假设应该是A.、至少有两个不小于2B.、至少有一个不小于2C.、都小于2D.、至少有一个小于2【答案】C【解析】本题主要考查反证法,考查了反证法的基本证明方法与过程.根据对立事件的思想考虑可得,假设应该是:、都小于2.【备注】反证法的结论与假设可看作是两个对立事件6．若函数有极值，则的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】本题主要考查导数,函数的性质与极值,考查了转化思想与逻辑推理能力.,因为函数有极值，令,且,所以由二次函数的性质可得,求解可得7．二维空间中圆的一维测度(周长)，二维测度(面积)，观察发现；三维空间球的二维测度(表面积)，三维测度(体积)，观察发现.则由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度A.B.C.D.【答案】B【解析】本题主要考查类比推理,考查了逻辑推理能力.由题意可知,四维测度的导数,则8．已知函数=，若存在使得，则实数的取值范围是A.B.(C.D.【答案】C【解析】本题主要考查导数与函数的性质,考查了转化思想与逻辑推理能力.令,则存在使得,即,令,则,则函数在上是增函数,所以函数的最大值是,则.9．用数学归纳法证明不等式则与相比,不等式左边增加的项数是A.B.C.D.【答案】D【解析】本题主要考查数学归纳法,考查了逻辑推理能力.因为当时,左边为,共有项;当时,左边为,共有项,因此增加的项数为,故答案为D.10．设函数的导数的最大值为3，则的图象的一条对称轴的方程是A.B.C.D.【答案】A【解析】本题主要考查导数,三角函数的图象与性质,考查了逻辑推理能力与计算能力.,因为导数的最大值为3,所以=3,则,令,则,令k=0可得,故答案为A.11．把语文、数学、英语、物理、化学这五门课程安排在一天的五节课中，如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种A.24B.60C.72D.120【答案】B【解析】本题主要考查排列与组合,考查了分析问题与解决问题的能力.由题意,先从五节课中任选两节排数学与语文,剩余的三节任意排列,则有种不的排法.12．已知函数=，其中为自然对数的底数，若是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】本题主要考查导数,函数的性质与零点,考查了转化思想与数形结合思想,逻辑推理能力.由可得,则=,=,令=,则,因为函数在区间内有两个零点，所以函数的图象在区间内有两个不同的交点,如图所示,当,即时,两个函数的图象最多只有1个交点,不符合题意;当,即,故答案为A.二、填空题：共4题13．设复数满足,则__________.【答案】【解析】本题主要考查复数的四则运算与共轭复数.因为,所以,则.14．有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有________种.【答案】81【解析】本题主要考查分步乘法计数原理,考查逻辑推理能力.因为每一封信均有3种投法,所以不的投法有15．已知为偶函数，当时，，则曲线在点(1,-3)处的切线方程是_______________.【答案】【解析】本题主要考查导数与性质的几何意义,函数的解析式与性质,考查了逻辑推理能力与计算能力.由题意,当时，则，,则,所以曲线在点(1,-3)处的切线的斜率,则切线方程为16．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】本题主要考查函数的构造,导数与函数的性质,考查了逻辑推理能力.令,在上,由，则有，故函数在上是减函数,则由不等式可得,即,即不等式的解集为三、解答题：共4题17．某化工厂拟建一个下部为圆柱，上部为半球的容器(如图圆柱高为，半径为，不计厚度，单位：米)，按计划容积为立方米，且，假设建造费用仅与表面积有关(圆柱底部不计)，已知圆柱部分每平方米的费用为2千元，半球部分每平方米的费用为4千元，设该容器的建造费用为千元.(1)求关于的函数关系，并求其定义域；(2)求建造费用最小时的.【答案】(1)由容积为立方米，得,解得.又圆柱的侧面积为，半球的表面积为，所以建造费用，定义域为.(2)，又，所以，所以建造费用在定义域上单调递减，所以当时建造费用最小.【解析】本题主要考查导数,函数的解析式与性质,考查了分析问题与解决问题的能力.(1)由容积为立方米，得,求出r的取值范围,再根据圆柱与球的表面各积公式,易得，定义域为;(2)求导并判断函数的单调性,则结论易得.18．已知=,其中.(1)若在处取得极值，求实数的值.(2)若在上单调递增，求实数的取值范围.【答案】(1)由可得；经检验，满足题意.(2)函数在单调递增.在上恒成立.即在上恒成立.即=，.检验，时，=，仅在处取得.所以满足题意..【解析】本题主要考查导数,函数的性质与极点,三角函数的性质考查了恒成立问题,逻辑推理能力与计算能力.(1),由,求出a的值,再验证结论即可;(2)由题意可得在上恒成立,即,利用三角函数的性质求出在上的最小值即可.19．已知是定义在上的函数，=，且曲线在处的切线与直线平行.(1)求的值.(2)若函数在区间上有三个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)因为曲线在处的切线与直线平行，所以，所以.(2)由得令得.当时，；当时，；当时，在，单调递增，在单调递减.又若函数在区间上有三个零点，等价于函数在上的图象与有三个公共点.结合函数在区间上大致图象可知，实数的取值范围是.【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义,函数的性质,极值与零点,考查了数形结合思想与逻辑推理能力.(1)求导,由易得可得,求解可得结果;(2),判断函数的单调性,并求出函数的极值与区间端点的函数值,结合函数的大致图象,则易得结论.20．设函数,其中.(1)讨论的单调性；(2)若在区间内恒成立，求的取值范围.【答案】(1)①当时，，，在上单调递减.②当时，=当时，；当时，.故在上单调递减，在上单调递增.(2)原不等式等价于在上恒成立.一方面，令=，只需在上恒大于0即可.又∵，故在处必大于等于0.令，，可得.另一方面，当时，∵故，又，故在时恒大于0.∴当时，在单调递增.∴，故也在