圆锥曲线(题型完美版)

..高中数学选修2-1资料第一章圆锥曲线第一节椭圆1．椭圆的定义<1>定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a<2a______|F1F2|>的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________,两焦点间的距离叫做椭圆的________．※<2>另一种定义方式<见人教A版教材选修2－1P47例6、P50>：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e<0＜e＜1>的轨迹叫做椭圆．定点F叫做椭圆的一个焦点,定直线l叫做椭圆的一条准线,常数e叫做椭圆的__________．2．椭圆的标准方程及几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上<1>图形<2>标准方程eq\f<y2,a2>＋eq\f<x2,b2>＝1<a>b>0><3>范围－a≤x≤a,－b≤y≤b－a≤y≤a,－b≤x≤b<4>中心原点O<0,0><5>顶点A1<－a,0>,A2<a,0>B1<0,－b>,B2<0,b><6>对称轴x轴,y轴<7>焦点F1<0,－c>,F2<0,c><8>焦距2c＝2eq\r<a2－b2><9>离心率※<10>准线x＝±eq\f<a2,c>y＝±eq\f<a2,c>3.椭圆的焦点三角形椭圆上的点P<x0,y0>与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示,设∠F1PF2＝θ.<1>当P为短轴端点时,θ最大．<2>S△PF1F2＝eq\f<1,2>|PF1||PF2|·sinθ＝b2·eq\f<sinθ,1＋cosθ>＝b2taneq\f<θ,2>＝c|y0|,当|y0|＝b,即P为短轴端点时,S△PF1F2取最大值,为bc.<3>焦点三角形的周长为2<a＋c>．<4>通径：过焦点的垂直于x轴〔或y轴的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离。大小为。题型一椭圆的定义[例1]<1>平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．<><2>方程mx2＋ny2＝1<m>0,n>0,m≠n>表示的曲线是椭圆．<><3>eq\f<y2,a2>＋eq\f<x2,b2>＝1<a≠b>表示焦点在y轴上的椭圆．<><4>eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>与eq\f<y2,a2>＋eq\f<x2,b2>＝1<a>b>0>的焦距相同．<>[例2]已知方程eq\f<x2,5－m>＋eq\f<y2,m＋3>＝1表示椭圆,则m的取值范围为<>A．<－3,5>B．<－3,1>C．<1,5>D．<－3,1>∪<1,5>[变式1]"－3<m<5"是"方程eq\f<x2,5－m>＋eq\f<y2,m＋3>＝1表示椭圆"的<>A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[变式2]方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是_______.[变式3]〔2017•南开区模拟已知椭圆长轴在x轴上,若焦距为4,则m等于〔A．4B．5C．7D．8[变式4]〔2013秋•西山区校级期末已知椭圆方程为x2+4y2=16,求出其顶点、焦点坐标及离心率．题型二椭圆的标准方程第一类定义法求轨迹方程[例1]AOBPAOBPxy[例2]设动圆与圆外切,与内切,求动圆圆心的轨迹方程.[变式1]已知圆C：<x－3>2＋y2＝100及点A<－3,0>,P是圆C上任意一点,线段PA的垂直平分线l与PC相交于点Q,求点Q的轨迹方程．[变式2]<eq\a\vs4\al<2013·全国课标Ⅰ>>已知圆M：<x＋1>2＋y2＝1,圆N：<x－1>2＋y2＝9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C,则C的方程为____________．第二类椭圆的标准方程[例1]已知椭圆经过点P〔2,0和点,求椭圆的标准方程.[例2]已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆有相同的焦点,并且经过点〔3,－2,求此椭圆的方程.[变式1]两个焦点的坐标是〔0,－2、〔0,2,并且椭圆经过点[变式2]已知椭圆的中心在原点,经过点P〔3,0且a=3b,求椭圆的标准方程.[例3]〔2016•河东区一模已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,且经过点M<1,>,过点P〔2,1的直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B．求椭圆C的方程；[变式3]〔2016秋•灌南县校级期中求适合下列条件的椭圆的标准方程：〔1焦点在x轴上,a=6,e=；〔2焦点在y轴上,c=3,e=．[例3]〔2016春•伊宁市校级期中已知椭圆的两焦点为F1〔0,-1、F2〔0,1,直线y=4是椭圆的一条准线．求椭圆方程．[例4]〔2016秋•XX期末在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为,过F1的直线l交C于A、B两点,且△ABF2的周长是16,求椭圆C的方程．[变式4]〔2015秋•霍邱县校级期末已知椭圆的中心在原点,它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直,且此焦点和x轴上的较近端点的距离为4〔-1,求椭圆方程．[例5]〔2015秋•永年县期末已知F1,F2是椭圆的两个焦点,现有椭圆上一点M到两焦点的距离之和为20,且|MF1|、|F1F2|、|MF2|成等差数列,试求该椭圆的标准方程．[变式5]〔2016•天津设椭圆的右焦点为F,右顶点为A,已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率．求椭圆的方程；题型三椭圆的焦点三角形性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径<垂直于焦点的弦>最短,通径为性质二：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则.性质三：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则[例1]若P是椭圆上的一点,、是其焦点,且,求△的面积.[例2]已知、是椭圆的两个焦点,椭圆上一点使,求椭圆离心率的取值范围。[变式1]已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2＝60°.求椭圆离心率的范围[变式2]椭圆上一点P与椭圆两个焦点、的连线互相垂直,则△的面积为〔A.20B.22C.28D.24[变式3]椭圆的左右焦点为、,P是椭圆上一点,当△的面积为1时,的值为〔A.0B.1C.3D.61.〔2017•崇明县一模如图,已知椭圆C的中心为原点O,F〔-2,0为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=4,则椭圆C的方程为〔A．B．C．D．2.已知椭圆的焦点是F1<0,－1>、F2<0,1>,P是椭圆上一点,并且PF1＋PF2＝2F1F2,则椭圆的标准方程是________．3.已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆有相同的焦点,并且经过点〔3,－2,求此椭圆的方程。4.已知P为椭圆上的一点,是两个焦点,,求的面积.我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质1.椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a,|y|≤b.2.椭圆的对称性对于椭圆标准方程,把x换成-x,或把y换成-y,或把x、y同时换成-x、-y,方程都不变,所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心.3.椭圆的顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点.②椭圆〔a＞b＞0与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为A1〔-a,0,A2〔a,0,B1〔0,-b,B2〔0,b.③线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,|A1A2|=2a,|B1B2|=2b.a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.4.椭圆的离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e表示,记作.②因为a＞c＞0,所以e的取值范围是0＜e＜1.e越接近1,则c就越接近a,从而越小,因此椭圆越扁；反之,e越接近于0,c就越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆.当且仅当a=b时,c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为x2+y2=a2.要点诠释：椭圆的图象中线段的几何特征〔如下图：〔1,,；〔2,,；〔3,,；5．椭圆的第二定义、准线当点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时,这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数是椭圆的离心率．对于椭圆,相应于焦点的准线方程是．根据对称性,相应于焦点的准线方程是．对于椭圆的准线方程是．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比,这就是离心率的几何意义．由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为；左焦半径公式为．题型一椭圆简单的几何性质[例1]求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标,并用描点法画出这个椭圆.[变式1]求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.[例2]已知椭圆的离心率为,求的值．[例3]求椭圆的右焦点和右准线；左焦点和左准线．[变式2]求椭圆方程的准线方程．题型二椭圆的离心率[例1]〔2017•河东区模拟椭圆的离心率为_______.[变式1]〔2017•XX区模拟椭圆的离心率等于_______.[例2]〔1已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为的两段,求其离心率；〔2已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4,求其离心率.[例3]从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为,则此椭圆的离心率为.[变式1]椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是〔[变式2]已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率.[例4]椭圆上一点到两焦点的距离分别为,焦距为,若成等差数列,则椭圆的离心率为________.[例5]已知m,n,m+n成等差数列,m,n,mn成等比数列,则椭圆的离心率为.[变式3]已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则椭圆的离心率是.[例6]已知椭圆〔>0,>0的左焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,若BF⊥BA,则称其为"优美椭圆",那么"优美椭圆"的离心率为。[例7]在ABC中,,,如果一个椭圆过A、B两点,它的一个焦点为C,另一个焦点在AB上,求这个椭圆的离心率.[变式4]以、为焦点的椭圆＝１〔上一动点P,当最大时的正切值为2,则此椭圆离心率e的大小为。[变式5]如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时,其离心率为,此类椭圆被称为"黄金椭圆".类比"黄金椭圆",可推算出"黄金双曲线"的离心率e等于.[变式6]如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为.1.平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外,因此,平面上的点与椭圆的位置关系有三种,任给一点M〔x,y,若点M〔x,y在椭圆上,则有；若点M〔x,y在椭圆内,则有；若点M〔x,y在椭圆外,则有.2.直线与椭圆的位置关系将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组,消元转化为关于x或y的一元二次方程,其判别式为Δ.①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点<或两个公共点；②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点<或一个公共点>；③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．3.直线与椭圆的相交弦设直线交椭圆于点两点,则==同理可得这里的求法通常使用韦达定理,需作以下变形：[例1]若直线与椭圆恒有公共点,求实数的取值范围.[例2]对不同实数m,讨论直线与椭圆的公共点的个数.[变式1]直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆x2/9+y2/m=1总有公共点,求实数m的取值范围是〔A.1/2≤m＜9B.9＜m＜10C.1≤m＜9D.1＜m＜9[变式2]直线y=mx+1与椭圆x2+4y2=1有且只有一个交点,则m2=〔A.B.C.D.题型二弦长[例1]求直线x－y＋1=0被椭圆截得的弦长[变式1]已知椭圆及直线．〔1当为何值时,直线与椭圆有公共点？〔2若直线被椭圆截得的弦长为,求直线的方程．[例2]〔2016秋•仙桃校级期末已知椭圆,过左焦点F1倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点．求弦AB的长．[变式2]〔2016秋•黄陵县校级期末已知椭圆C：的一个顶点为A〔2,0,离心率为．直线y=x-1与椭圆C交于不同的两点M,N．〔1求椭圆C的标准方程；〔2求线段MN的长度．题型三点差法[例1]已知点P〔4,2是直线被椭圆所截得线段的中点,求直线的方程.[变式1]已知椭圆的一条弦的斜率为3,它与直线的交点恰为这条弦的中点,求点的坐标.[例2]已知椭圆E：eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>的右焦点为F<3,0>,过点F的直线交E于A,B两点．若AB的中点坐标为<1,－1>,则E的方程为<>A.eq\f<x2,45>＋eq\f<y2,36>＝1 B.eq\f<x2,36>＋eq\f<y2,27>＝1C.eq\f<x2,27>＋eq\f<y2,18>＝1 D.eq\f<x2,18>＋eq\f<y2,9>＝1[例3]过点M<1,1>作斜率为－eq\f<1,2>的直线与椭圆C：eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________．[变式2]过椭圆内一点引一条弦,使弦被点平分,求这条弦所在直线的方程。[变式3]已知双曲线,经过点能否作一条直线,使与双曲线交于、,且点是线段的中点。若存在这样的直线,求出它的方程,若不存在,说明理由。椭圆综合1.〔2016春•XX校级期末已知椭圆M：eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>的离心率为,短轴的长为2．〔1求椭圆M的标准方程〔2若经过点〔0,2的直线l与椭圆M交于P,Q两点,满足＝0,求l的方程．2.〔2016秋•龙海市校级期末已知椭圆C：eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>的焦距为,椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．〔Ⅰ求椭圆C的方程；〔Ⅱ设直线l：y=kx-2与椭圆C交于A,B两点,点P〔0,1,且|PA|=|PB|,求直线l的方程．3.〔2016秋•万州区校级期末已知命题p：方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；命题q：关于实数t的不等式.〔1若命题p为真,求实数t的取值范围；〔2若命题p是命题q的充分不必要条件,求实数a的取值范围．4.〔2016秋•邻水县期末已知椭圆C：eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>的离心率为,左焦点为F〔-1,0,过点D〔0,2且斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点．〔1求椭圆C的标准方程；〔2求k的取值范围.5.〔2016秋•尖山区校级期末已知椭圆eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>的离心率为,且．〔1求椭圆的方程；〔2直线l：x-y+m=0与椭圆交于A,B两点,是否存在实数m,使线段AB的中点在圆x2+y2=5上,若存在,求出m的值；若不存在,说明理由．第二节双曲线1.双曲线的定义在平面内,到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数〔大于0且的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点,两焦点的距离叫作双曲线的焦距.要点诠释：1.双曲线的定义中,常数应当满足的约束条件：,这可以借助于三角形中边的相关性质"两边之差小于第三边"来理解；2.若去掉定义中的"绝对值",常数满足约束条件：〔,则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若〔,则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3.若常数满足约束条件：,则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线〔包括端点；4.若常数满足约束条件：,则动点轨迹不存在；5.若常数,则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程1.当焦点在轴上时,双曲线的标准方程：,其中；2.当焦点在轴上时,双曲线的标准方程：,其中题型一双曲线的定义[例1]已知点F1<－4,0>和F2<4,0>,曲线上的动点P到F1、F2距离之差为6,则曲线方程为〔A.B.＝1<y>0>C.或D.<x>0>[例2]已知点P<x,y>的坐标满足,则动点P的轨迹是〔A．椭圆B．双曲线中的一支C．两条射线D．以上都不对[变式1]"ab<0"是"曲线ax2＋by2＝1为双曲线"的〔A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[变式2]〔2015•南市区校级模拟已知M〔-2,0、N〔2,0,|PM|-|PN|=4,则动点P的轨迹是〔A．双曲线 B．双曲线左边一支C．一条射线 D．双曲线右边一支[例3]已知方程表示双曲线,则k的取值范围是〔A．－1<k<1B．k>0C．k≥0D．k>1或k<－1[变式3]〔2014•XX二模如果方程表示双曲线,则m的取值范围是〔A．〔2,+∞B．〔-2,-1C．〔-∞,-1D．〔1,2[变式3]已知双曲线8kx2－ky2=2的一个焦点为,则k的值等于〔A．－2B．1C．－1D．题型一双曲线的标准方程类型一定义法求双曲线的标准方程[例1]一动圆过定点A<－4,0>,且与定圆B：<x－4>2＋y2＝16相外切,则动圆圆心的轨迹方程为________[例2]动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切,则动圆圆心的轨迹为<>A．双曲线的一支B．圆C．抛物线D．双曲线[变式]已知圆C1：<x＋3>2＋y2＝1和圆C2：<x－3>2＋y2＝9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为____________．类型二求双曲线的标准方程[例1]求适合下列条件的双曲线的标准方程：〔1已知两焦点,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8.〔2双曲线的一个焦点坐标为,经过点.[例2]求中心在原点,对称轴为坐标轴,且虚轴长与实轴长的比为,焦距为10的双曲线的标准方程.[变式1]对称轴为坐标轴,经过点P<3,2eq\r<7>>,Q<－6eq\r<2>,7>。[例3]求与双曲线有公共焦点,且过点的双曲线的标准方程.[变式2]求中心在原点,对称轴为坐标轴,且顶点在轴,焦距为10,的双曲线的标准方程.焦点三角形：性质1：若则特别地,当时,有.性质2：双曲线焦点三角形的内切圆与F1F2相切于实轴顶点；且当P点在双曲线左支时,切点为左顶点,且当P点在双曲线右支时,切点为右顶点。性质3：双曲线离心率为e,其焦点三角形PF1F2的旁心为A,线段PA的延长线交F1F2的延长线于点B,则.性质4：双曲线的焦点三角形PF1F2中,当点P在双曲线右支上时,有当点P在双曲线左支上时,有[例1]已知F1,F2是双曲线eq\f<x2,4>－y2＝1的两个焦点,P是双曲线上一点,且∠F1PF2＝90°,则△F1PF2的面积是<>．A．1B．eq\f<\r<5>,2>C．2D．eq\r<5>[变式1]已知双曲线eq\f<x2,9>－eq\f<y2,16>＝1的左、右焦点分别为F1、F2,若双曲线上一点P使∠F1PF2＝90°,则△F1PF2的面积是<>A．12B．16C．24D．32[例2]双曲线焦点三角形的内切圆与相切于点,则.[例3]设双曲线,、是其两个焦点,点在双曲线右支上一点若离心率,则.[例4]双曲线离心率为,其焦点三角形的旁心为,线段的延长线交的延长线于点,若,,则离心率.1.双曲线两个标准方程几何性质的比较标准方程图形性质焦点,,焦距范围,,对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点轴实轴长=,虚轴长=离心率渐近线方程要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数,如果x2项的系数是正的,那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的,那么焦点在y轴上.对于双曲线,a不一定大于b,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上.2.双曲线的渐近线〔1已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为,则其渐近线方程为已知双曲线方程,将双曲线方程中的"常数"换成"0",然后因式分解即得渐近线方程.〔2已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为,则可设双曲线方程为,根据已知条件,求出即可.〔3与双曲线有公共渐近线的双曲线与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为〔,焦点在轴上,,焦点在y轴上〔4等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直,为,因此等轴双曲线可设为.3.双曲线的焦点到渐近线的距离为.题型一双曲线简单的几何性质[例1]求双曲线的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率.[变式1]双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于<>A． B．－4 C．4 D.[例2]已知双曲线方程,求渐近线方程：〔1；〔2[变式2]求下列双曲线方程的渐近线方程：〔1；〔2；〔3[变式3]中心在坐标原点,离心率为的圆锥曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为〔A．B．C．D．[例3]根据下列条件,求双曲线方程.〔1与双曲线有共同的渐近线,且过点；〔2一渐近线方程为,且双曲线过点[变式4]过点<2,-2>且与双曲线有公共渐近线的双曲线是〔A.B.C.D.[变式5]设双曲线的渐近线方程为,则的值为〔A．4B．3C．2D．1[变式6]双曲线与有相同的〔A．实轴B．焦点C．渐近线D．以上都不对[例4]双曲线的焦点到渐近线的距离等于______．[变式7]双曲线的焦点到渐近线的距离等于〔A．2B．3C．4D．5题型二双曲线的离心率[例1]已知双曲线EQ\f<x\S<2>,a\S<2>>－\f<y\S<2>,b\S<2>>＝1的一条渐近线方程为y＝EQ\f<4,3>x,则双曲线的离心率为.[变式1]已知双曲线的一条准线为,则该双曲线的离心率为.[例2]已知双曲线的两条渐近线的夹角为eq\f<π,3>,则双曲线的离心率为.[例3]已知F1、F2是双曲线的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是.[变式2]已知双曲线<a>0,b>0>的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是.[变式3]已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为60°,则双曲线C的离心率为.[例4]已知双曲线,且PF1⊥PF2,｜PF1｜｜PF2｜＝4ab,则双曲线的离心率是.[例5]设和为双曲线<>的两个焦点,若,是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为.[变式4]过双曲线<a＞0,b＞0>的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于.[变式5]设双曲线的一个焦点为,虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为.[例6]已知双曲线的左,右焦点分别为,点P在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率e的最大值为.[例7]双曲线〔a＞0,b＞0的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为.[变式6]双曲线〔,的左、右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为.1.直线与双曲线的位置关系将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组,消元转化为关于x或y的一元二次方程,其判别式为Δ.若即,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点；若即,①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交,有两个交点；②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切,有一个公共点；③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离,无公共点．直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。2.直线与双曲线的相交弦设直线交双曲线于点两点,则==同理可得这里的求法通常使用韦达定理,需作以下变形：题型一直线与双曲线的位置关系[例1]直线l过点<1,1>,与双曲线只有一个公共点,则满足条件的l有〔A.1条B.2条C.4条D.无数条[例2]已知双曲线x2－y2=4,直线l：y=k<x－1>,讨论直线与双曲线公共点个数.[例3]过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条,分别求出它们的方程。[变式1]"直线与双曲线有唯一交点"是"直线与双曲线相切"的〔A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件[变式2]若直线y=kx+1与曲线x=有两个不同的交点,则k的取值范围是〔A.-<k<B.-<k<-1C.1<k<D.k<-或k>[变式3]直线y=<x―>与双曲线的交点个数是〔A.0个B.1个C.2个D.4个题型二弦长[例1]求直线被双曲线截得的弦长.[例2]垂直于直线的直线被双曲线截得的弦长为,求直线的方程.[变式1]斜率为2的直线l被双曲线截得的弦长为2,则直线l的方程是〔A.y=2x±B.y=2x±C.y=2x±D.y=2x±[变式2]过双曲线16x2-9y2=144的右焦点作倾斜角为的弦AB,则|AB|等于.题型三点差法在双曲线〔＞0,＞0中,若直线与双曲线相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则.同理可证,在双曲线〔＞0,＞0中,若直线与双曲线相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则.[例1]已知双曲线,过点作直线交双曲线C于A、B两点.若P恰为弦AB的中点,求直线的方程.[例2]已知双曲线与点〔1斜率为且过点P的直线与C有两个公共点,求的取值范围；〔2是否存在过点P的弦AB,使得AB的中点为P？〔3试判断以为中点的弦是否存在.[例3]设双曲线的中心在原点,以抛物线的顶点为双曲线的右焦点,抛物线的准线为双曲线的右准线．〔Ⅰ试求双曲线C的方程；〔Ⅱ设直线与双曲线交于两点,求；〔Ⅲ对于直线,是否存在这样的实数,使直线与双曲线的交点关于直线<为常数>对称,若存在,求出值；若不存在,请说明理由．[变式1]已知双曲线中心在原点且一个焦点为,直线与其相交于M、N两点,MN的中点的横坐标为,则此双曲线的方程为〔A.B.C.D.[变式2]设A、B是双曲线上两点,点是线段AB的中点.求直线AB的方程。[变式3]已知双曲线,过点作直线交双曲线于A、B两点.〔1求弦AB的中点M的轨迹;〔2若点P恰好是弦AB的中点,求直线的方程和弦AB的长.双曲线综合1.〔2016秋•宁城县期末已知命题p：k2-8k-20≤0,命题q：方程表示焦点在x轴上的双曲线．〔Ⅰ命题q为真命题,求实数k的取值范围；〔Ⅱ若命题"p∨q"为真,命题"p∧q"为假,求实数k的取值范围．2.〔2016秋•泉港区校级期末若抛物线的顶点是双曲线x2-y2=1的中心,焦点是双曲线的右顶点〔1求抛物线的标准方程；〔2若直线l过点C〔2,1交抛物线于M,N两点,是否存在直线l,使得C恰为弦MN的中点？若存在,求出直线l方程；若不存在,请说明理由．3.〔2016春•内江期末〔1若双曲线的离心率e∈〔1,2,求实数m的取值范围；〔2若方程表示椭圆,求实数t的取值范围．第三节抛物线1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l<l不经过点F>的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线．2.抛物线的标准方程顶点在坐标原点,焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为：y2＝2px<p>0>；顶点在坐标原点,焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为：y2＝－2px<p>0>；顶点在坐标原点,焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为：x2＝2py<p>0>；顶点在坐标原点,焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为：x2＝－2py<p>0>．注意：定义的理解和方程中p的意义<1>定义的实质可归纳为"一动三定",一个动点,设为M；一个定点F,叫做抛物线的焦点；一条定直线l,叫做抛物线的准线；一个定值,即点M到点F的距离和它到直线l的距离的比值等于1.<2>p的几何意义是焦点到准线的距离.[例1]若动圆与定圆:相外切,且与直线相切,求动圆圆心的轨迹方程.[变式1]平面上动点P到定点F〔1,0的距离比P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程。[变式2]若点M到定点F〔4,0的距离比它到直线l：x+6=0的距离小2,求点M的轨迹方程。[例2]求适合下列条件的抛物线的标准方程：〔1过点<-2,3>；〔2焦点在直线3x-4y-12=0上；〔3准线过点<2,3>；〔4焦点在y轴上,抛物线上一点到焦点的距离等于5。[例3]已知抛物线关于y轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点,求它的标准方程。[变式3]求过点的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程.[变式4]抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点<－5,2eq\r<5>>到焦点的距离是6,则抛物线的方程为<>A．y2＝－2x B．y2＝－4xC．y2＝2x D．y2＝－4x或y2＝－36x[例4]〔2017•XX一模若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则p的值为〔A．-2B．2C．-4D．4[变式5]〔2017•河西区模拟若抛物线y2=2px〔p＞0的焦点坐标为〔1,0,则p的值为〔A．1B．2C．4D．8[变式6]〔2017•和平区模拟抛物线y2=8x的准线方程是〔A．x=2B．y=2C．x=-2D．y=-2[变式7]若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则a的值为〔A．-2 B．2C．-4 D．4[例5]已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M〔m,－3到焦点的距离为5,求m的值、抛物线的方程和准线方程。[变式8]设抛物线的顶点在原点,其焦点F在y轴上,又抛物线上的点<k,－2>与F点的距离为4,则k的值是<>A．4 B．4或－4C．－2 D．2或－21.抛物线的简单几何性质：图形标准方程y2=2px〔p＞0y2=－2px〔p＞0x2=2py〔p＞0x2=－2py〔p＞0顶点O〔0,0范围x≥0,x≤0,y≥0,y≤0,对称轴x轴y轴焦点离心率e=1准线方程焦半径2.抛物线的性质：①焦点坐标是：；②准线方程是：；③焦半径公式：若点是抛物线上一点,则该点到抛物线的焦点的距离〔称为焦半径是：；④抛物线上的动点可设为P或或P3.抛物线焦点弦的性质：焦点弦：线段AB为抛物线y2＝2px<p>0>的焦点弦,A<x1,y1>,B<x2,y2>,则<1>x1x2＝eq\f<p2,4>；<2>y1y2＝－p2；<3>焦半径|AF|＝x1＋eq\f<p,2>；<4>弦长d＝x1＋x2＋p.当弦AB⊥x轴时,弦长最短为2p,此时的弦又叫通径；<5>弦长d＝eq\f<2p,sin2θ><θ为AB的倾斜角>．题型一抛物线简单的几何性质[例]〔1写出抛物线的焦点坐标、准线方程；〔2已知抛物线的焦点为写出其标准方程；〔3已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上,且焦点到准线的距离为3,求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.[变式]已知抛物线的标准方程是,求它的焦点坐标和准线方程.题型二抛物线的焦点弦性质1：设P<x1,y1>,Q<x2,y2>,则y1y2=-p2；.性质2：抛物线焦点弦的长度：=eq\f<2p,sin2>.性质3：三角形OAB的面积公式：．性质4：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.性质5：以抛物线y2=2px<p＞0>,焦点弦PQ端点向准线作垂线,垂足分别为M、N,则FM⊥FN.<其中F为焦点>.性质6：设抛物线y2=2px<p＞0>,焦点为F,焦点弦PQ,则eq\f<1,|FP|>+eq\f<1,|FQ|>=eq\f<2,p><定值>.性质8：如图,A、O、B1和B、O、A1三点分别共线．[例1]斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长．[例2]抛物线y=4x2上的一点M到焦点F的距离为1,则点M的纵坐标为＿＿＿。[例3]以抛物线y2=2px<p>0>的焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线l位置关系为<>A.相交B.相离C.相切D.不确定[变式1]以抛物线y2=2px<p>0>的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系为<>A.相交B.相离C.相切D.不确定[变式2]〔2017•XX一模若抛物线y2=2px〔p＞0上的点A〔x0,到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍,则p等于〔A．B．1C．D．2[例4]〔2017•XX模拟已知抛物线C：y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若,则|QF|=〔A．3B．C．D．[例5]〔2017•XX一模抛物线y2=4x的焦点为F,点A〔3,2,P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则△PAF周长的最小值为〔A．4B．5C．D．[例6]〔2017•XX模拟已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点〔点A在第一象限,若,则直线l的方程为〔A．x-2y-1=0B．2x-y-2=0C．x-y-1=0D．[例7]〔2015•XX如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是〔A．B．C．D．[变式3]〔2017•XX一模已知抛物线C：y2=2px〔p＞0的焦点为F,准线为l,A,B是C上两动点,且∠AFB=α〔α为常数,线段AB中点为M,过点M作l的垂线,垂足为N,若的最小值为1,则α=〔A．B．C．D．[变式4]〔2017•襄阳模拟抛物线y2=2px〔p＞0的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,