中级计量五章 离散选择变量(20090202)1

第五章离散选择模型第一节模型的基础与对应的现象一、问题的提出在研究社会经济现象时，常常遇见一些特殊的被解释变量，其表现是选择与决策问题，是定性的，没有观测数据所对应；或者其观测到的是受某种限制的数据。1、被解释变量是定性的选择与决策问题，可以用离散数据表示，即取值是不连续的。例如，某一事件发生与否，分别用1和0表示；对某一建议持反对、中立和赞成5种观点，分别用0、1、2表示。由离散数据建立的模型称为离散选择模型。2、被解释变量取值是连续的，但取值的范围受到限制，或者将连续数据转化为类型数据。例如，消费者购买某种商品，当消费者愿意支付的货币数量超过该商品的最低价值时，则表示为购买价格；当消费者愿意支付的货币数量低于该商品的最低价值时，则购买价格为0。这种类型的数据成为审查数据。再例如，在研究居民储蓄时，调查数据只有存款一万元以上的帐户，这时就不能以此代表所有居民储蓄的情况，这种数据称为截断数据。这两种数据所建立的模型称为受限被解释变量模型。有的时候，人们甚至更愿意将连续数据转化为上述类型数据来度量，例如，高考分数线的设置，就把高出分数线和低于分数线划分为了两类。下面是几个离散数据的例子例5.1研究家庭是否购买住房。由于，购买住房行为要受到许多因素的影响，不仅有家庭收入、房屋价格，还有房屋的所在环境、人们的购买心理等，所以人们购买住房的心理价位很难观测到，但我们可以观察到是否购买了住房，即“ [1,购买Y=< t0, 不购买我们希望研究买房的可能性，即概率P(Y=1)的大小。例5.2分析公司员工的跳槽行为。员工是否愿意跳槽到另一家公司，取决于薪资、发展潜力等诸多因素的权衡。员工跳槽的成本与收益是多少，我们无法知道，但我们可以观察到员工是否跳槽，即

“[1,跳槽=<0,不跳槽例5.3对某项建议进行投票。建议对投票者的利益影响是无法知道的,但可以观察到投票者的行为只有三种,即I支持=<2,反对3弃权研究投票者投各种票的可能性，即P(Y=j),j=1,2,3。从上述被解释变量所取的离散数据看,如果变量只有两个选择,则建立的模型为二元离散选择模型,又称二元型响应模型；如果变量有多于二个的选择,则为多元选择模型。本章主要介绍二元离散选择模型。离散选择模型起源于Fechner于1860年进行的动物条件二元反射研究。1962年，Warner首次将它应用于经济研究领域，用于研究公共交通工具和私人交通工具的选择问题。70-80年代,离散选择模型被普遍应用于经济布局、企业选点、交通问题、就业问题、购买行为等经济决策领域的研究。模型的估计方法主要发展于20世纪80年代初期。(参见李子奈，高等计量经济学，清华大学出版社，2000年，第155页-第156页)二、线性概率模型对于二元选择问题，可以建立如下计量经济模型。1、线性概率模型的概念。设家庭购买住房的选择主要受到家庭的收入水平，则用如下模型表示Y=p+pX+ui12ii其中X为家庭的收入水平，Y为家庭购买住房的选择，即ii[1 家庭已购买住房Y=<0 家庭无购买住房Y01概率1-PP由于Y是取值为0和1的随机变量，并定义取Y值为1的概率是p，则Y的分布为 则Y的数学期望为E(Y)二0x(1—p)+lxp显然P(Y二1X)二p二E(Y)i从而E(Y/X)二B+pX二pTOC\o"1-5"\h\zI 1 2i上述数学模型的经济学解释是，因为选择购买住房变量取值是1，其概率是p，并且这时对应p的表示是一线性关系，因此，Y在给定X下的条件期望E(Y|X)I I可解释为在给定X下，事件(家庭购买住房)将发生的条件概率为P(Y=1|X),I I I亦即家庭选择购买住房的概率是家庭收入的一个线性函数。我们称这一关系式为线性概率函数。2、线性概率函数的估计。对线性概率函数的估计存在以下困难：(1)随机误差项的非正态性表现。u二Y—P—PXTOC\o"1-5"\h\zii1 2i二1,u二1—P—PX\o"CurrentDocument"i i 1 2i二0,u二—P—PX\o"CurrentDocument"i i 1 2i表明u服从两点分布。i(2)u的异方差性。事实上，iVar(u)=E(u一E(u))2=E(u2)i i i i=(一卩一卩X)2(1—p)+(1一卩-卩X)2p1 2i 1 2i=p2(1—p)+(1—p)2p=p(1—p)[p+1—p]=p(1—p)上式中，p随着i的变动是一个变动的量，则u的方差不是一个固定常数。i(3)利用加权最小二乘法修正异方差。取权数为v'W+~p(T^~p)寻申2X)(气书2X)可以证明具有同方差。在具体估计线性概率模型时，用f作为P的估计来计可以证明i算权数w的估计W。3、可决系数R2的非真实性。由于，被解释变量Y只取值1或0不可能有估计的线性概率模型能很好地拟合这些点，所以，这时计算的R2会比1小许多,在大多数例子中，R2介于0.2与0.6之间。4、0WE(Y\X)W1不成立。克服这一问题可直接从对线性概率模型的估计,I i求出Y，用人工的方法定义当Y>1时，取F=1；当Y<0时，取Y=0。但要比较i i i i i好地解决这类问题，只能考虑采用新的估计方法，这就是将要介绍的Logit模型和Probit模型。

EVievs-[Equation:EQ02Torkfile:GUARATIPP549\Untit]IIIFileEditObjectViewFrocQuickOji+iunsWindowHelpViewIProcIObjectIPrintINameIFreezeIEstimateIFore匚於11StatsIResidsID即endentVariableYWMethodLeastSquaresDate:02/07/09Time:20:58Sample(adjusted)240Includedobservations:28afteradjustmentsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProbW1-1.2455920120566-10.3321100000XW0.119589000686217.4543800000R-squared0981050Meandependentvar2.191518AdjustedR-squared0980321SD.dependentvar3.556681SEcif「Eg「Essicm0.498942AkaikeinfocritE「ion1516095Sumsquaredresid6.472517Schwarzcriterion16112S2Loglikelihood19.22533Durbin-Watsonstat1882836第二节Logit模型一、Logit模型的产生1、 产生Logit模型的背景。由上述介绍可知，对于线性概率模型来说，存在一些问题，有的问题尽管可以用适当的方法加以弥补，但并不完善和理想。古典假定不再成立，如异方差性，可用加权OLS方法加以弥补。在线性概率模型中，对于不满足OWE(Y|X)W1的情况，用人工的方I i法处理，即当Y>1时，取Y=1ii当Y<0时，取Y=0ii虽然能够弥补不足，但仍然具有较强的主观因素。(3)经济意义也不能很好地得到体现。在线性概率模型E(Y,；X)=B+pX=p中，概率P(Y=1)会随着X的变化而线性变化，但这与实i 1 2i i际情况通常不符。例如购买住房，通常收入很高或很低，对于购买住房的可能性都不会有太大的影响，而当收入增加很快时，对购买住房的影响将会很大。显然，购买住房的可能性与收入之间应该是一种非线性关系。2、 Logit模型的含义。综合上述讨论，我们所需要的是具有如下二分性质的模型：随着X的减小，p趋近0的速度会越来越慢；反过来随着X的增大,i i ip接近1的速度也越来越慢，而当X增加很快时，p的变化会比较快。故p与Xi i i i i之间应呈非线性关系。p的变化始终在0和1之间。i因此，一个很自然的想法是采用随机变量的分布函数来表示p与X的这种ii非线性关系。从几何图形看，所需要的模型有点像图5.1那样，概率位于0与1之间，并随着X非线性地变化。

如图5.1所示的S型曲线，就是随机变量的一个累积分布函数（CDF）。因此，当回归中的被解释变量是取0和1的二分变量时，并且概率值的变化与解释变量X之间有上述变化特征，则可用CDF去建立回归模型。在二分被解释变量i的研究中可使用多种分布函数（Cox,1970）。但最常用的是Logistic分布函数和标准正态分布函数，前者导出Logit模型，后者导出Probit模型。3)设11+e一(卩］+卩2x,)式中，Z=p+PX。并且在该表达式中，有如下变动规律,i1 2i当ZT+8时，pT1；ii当ZT—g时，pT0；ii1当Z二0时，p=oi i2(4)Logit模型。1+e1+e—Zi11+ez.p 1+eZii 1—p1+e—Z..(*)/.ln( .—)=Z=B+PX(*)1—p.12..其中一J为机会概率比（简称机会比，下同），即事件发生与不发生所对应的概1—p.率之比。称（*）式为Logit模型。3、Logit模型的特点。随着p从o变到i(亦即z从—g变到a),nL从—g变到a。可TOC\o"1-5"\h\zi i—p以看出，在LPM中概率必须在0与1之间，但在Logit模型并不受此约束。ln(—L)对X为线性函数。i—p i当ln(—L)为正的时候，意味着随着X的增加，选择1的可能性也增i—p i大了。当In(丄)为负的时候，随着X的增加，选择1的可能性将减小。换言之,\o"CurrentDocument"1—p i当机会比由1变到0时，ln(—L)会变负并且在幅度上越来越大；当机会比由11—p变到无穷时，In(丄)为正，并且也会越来越大。1—p二、Logit模型的估计为了估计Logit模型，除了X夕卜，我们还应有In(丄)的数值。由于p只取i 1—p i值为1和0,使得ln(—1)无意义，所以直接对Logit模型进行估计有困难。这1—p时，通常有以下估计方法。1、根据数据类型选用OLS方法。可通过市场调查获得分组或重复数据资料，用相对频数p=2作为p的估in ii计。以购买住房为例，将购买住房的情况分组，假设第i组共有n个家庭，收入i为X，其中有r个家庭已购买住房，其余未购买。则收入为X的家庭，购买住i i i房的频率为rp=-i-ini将其作为p的估计，并代入对数机会比，有i1—p 1—pii于是，样本回归函数为八In（出）=P+PX1—p12ii对上式可直接运用OLS法估计未知参数了。具体应用可参见DamodarN.Gujarati《计量经济学基础》(第四版)下册，中国人民大学出版社，2005年。第559页-第560页。2、最大似然估计方法。在线性回归中估计总体未知参数时主要采用OLS方法，这一方法的原理是根据线性回归模型选择参数估计，使被解释变量的观测值与模型估计值之间的离差平方值为最小。而最大似然估计方法则是统计分析中常用的经典方法之一，在线性回归分析中最大似然估计法可以得到与最小二乘法一致的结果。但是，与最小二乘法相比，最大似然估计法既可以用于线性模型，又可以用于非线性模型，由于Logit回归模型是非线性模型，因此，最大似然估计法是估计Logit回归模型最常用的方法。下面，以单变量为例，说明具体的估计方法。假设有n个样本观测数据(X,Y),i=1,2,,n，由于样本是随机抽取,所以,ii在给定X条件下得到的Y=1和Y=0的概率分别是p和1-p。于是，一个观测i i i i i值的概率为P(Y)=pYi(—pi-)i i i其中，Y二1或Y二0。因为，各项观察相互独立，贝h次观察所得的样本数据的ii联合分布可表示为各边际分布的连乘积l(p,卩)=Hp(y)=npYi(1—p)(1—Yi)1 2 i i ii=1 i=1称上式为n次观察的似然函数。由最大似然估计法的原理知，最大似然估计就是求解出具有最大可能取所给定的样本观测数据的参数估计。于是，最大似然估计的关键是估计出p和p,使得上述表达式取得最大值。将上式两端取对数得12

In[l(P,P)]=InH12pYi(1-pIn[l(P,P)]=InH12pYi(1-p)(1-Yi)iii=1=yn[Yinp+(1-Y)in(1-p)]i=1=yniii=1i=1Yln(—)+ln(l-p)i 1-p iiY(p+pX)+in(1—刖"疤)

i1 2i 1+ep1+p2Xi称上式为对数似然函数。为了估计能使in[L（p,p）]有最大的总体参数估计p和112P,先分别对P,P求偏导数，然后令其为0,得212aink(p,p)]y12 =dapaink(p,p』=yi=1ep1+p2XiY-i 1+ep1+p2Xiep1+p2Xiap2i=1Y-i 1+epi+柑Xi在线性回归中，似然函数是通过把偏离差平方和分别对P,P求偏导数得到，它12对于未知参数都是线性的，因此，很容易求解。但是对于Logit回归中的上述两个方程是关于p,p的非线性函数，求解十分困难。随着现代计算机技术的发展，12许多计量经济学和统计学的软件包均有Logit回归的参数最大似然估计值，常用的EViews软件就含有该估计方法。Logit回归最大似然估计的统计性质（1） 参数估计具有一致性，即当样本观测增大时，模型的参数估计值将比较接近参数的真值。（2） 参数估计为渐近有效，即当样本观测增大时，参数估计的标准误相应减小。（3） 参数估计满足渐近正态性，即随着样本观测的增大，估计的分布近似于正态分布。这意味着，可以利用这一性质对未知参数进行假设检验和区间估计了。有关证明可参见Aidrich,John&ForrestD.Nelson.1984.LinearProbability,Logit,andProbitModels.NewburyPark,SagePubiications三、Logit回归模型的评价和参数的统计检验与一般线性回归模型一样，在得到Logit回归模型的参数估计后，还应对模型进行评价和相应的统计检验。1、模型的拟合优度检验。模型估计完成以后，需要对模型是否有效地描述了模型与观测数据的匹配程度进行评价。如果模型的预测值能够与对应的观测值有较高的一致性，就认为该模型能拟合数据，否则，将不接受这一模型。对Logit回归模型的评价有多种方法，不同的计算软件给出的评价结果也有差异。这里，我们将根据EViews软件，介绍模型拟合优度的检验方法。(1)McFaddenR2在前面的介绍中，已经提到对于离散选择模型，通常的拟合优度R2没有多大意义。在EViews软件里，有一种方法即McFaddenR2，简记为R2。其计McF算公式为R2McF1R2McF丄— ur-LIF式中，LIF为模型中包含所有解释变量的无约束对数似然函数值，LIF为模型ur r中仅含有截距项的有约束的对数似然函数值。从概念上讲，LIF和LIF分别等ur r价于普通线性回归模型中的TSS和RSS。R2与R2一样，也在0到1之间变动。McF(2)期望-预测表检验。该方法的原理是，在模型参数估计后，选取适当的截断值p(0<p<1)，将观测数据分成两组，一组为1/(1+e-z)Wp，另一组为1/(1+e-z)>p，其中，Z=0+(3X。如果样本中的一个观测数据的Y数值为0,并且该样本属于第1i12i组，或者一个观测数据的Y数值为1，并且属于第2组，就称这个观测数据是分

组恰当的，否则就称这个观测数据是分组不恰当的。如果模型估计与实际观测数

据比较一致，则大多数的观测数据应该是分组恰当的，反之，如果分组不恰当的

观测数据所占的比重很大，说明模型估计与实际观测数据的拟合程度较差，模型

需要调整。因此，该方法的思想是利用分组恰当与否，得到观测数据占总样本的

比重来检验模型的拟合优度。利用软件EViews进行期望-预测表检验的步骤如下：第一步，在估计好模型的窗口中按此路径选择View/ExpectationPredictionTable。第二步，出现一个对话框，在对话框里输入一个截断值p(0<p<1),系统默认的截断值是0.5。第三步，点击OK后可生成对应的期望-预测表。这时便可利用该表进行拟合优度的判断。有关Logit回归模型的拟合优度其它检验方法，可参见相关文献，如王济川、郭志刚，Logistic回归模型——方法与应用，高等教育出版社，2001年。2、参数的显著性检验。2、参数的显著性检验。对模型中参数的显著性检验，就是决策判断某个解释变量对事件的发生(即选取Y=1)是否有显著性影响。如果检验结果表明该解释变量对选取Y=1的发生有显著性影响，则认为将该解释变量放入Logit回归模型中是恰当的。否则，需要对模型进行适当的调整。(1)Z检验。以一元Logit回归模型为例，设模型为P(Y=P(Y=11X)=i11+e-(Pj+P2x.)1+exp(-P-PX)12.对该模型中的参数P的显著性检验的原假设为H:P二0，即解释变量X对事件202.Y=1发生的概率没有显著性影响。根据参数的最大似然估计性质可知，在大样本条件下，P渐近服从正态分布，于是，在H:P二0成立的前提下，检验统计202量为Z=JLse(p)2渐近服从标准正态分布。式中，se(P)为最大似然估计P的标准误差。因此，22

可按常规查标准正态分布表，对原假设进行判断，从而检验模型中参数的显著性。(2)Wald检验对模型中参数显著性检验还可使用Wald检验，其检验统计量为八W二(2)2se(0)2在H:0=0下，W渐近服从自由度为1的咒2分布。因此，可根据咒2分布表，02在给定的显著性水平a下，得到相应的临界值，从而判断参数的显著性。可参阅Hauck,W.W.&A.Donner.1977.Wald'testsasappliedtohypothesesinlogitanalysis.JournaloftheAmericanStatisticalAssociation,Vol.72:851-853(3)似然比检验。统计学上已经证明，在大样本情况下，两个模型之间如果具有嵌套关系，则两个模型之间的对数似然值乘以-2的结果之差近似服从X2分布。这一统计量就是似然比统计量。该检验的思想是，假设一个模型记为Model、中有解释变量X，另一个模型j记为Model2包含了Modell中所有其它解释变量，而没有包含X，则称Model2嵌j套于Modell，亦即Modell中包含了Model2。通过这一模型之间嵌套关系，我们实际上需要判断的是X出现在模型中是否合适。Hanushek&Jackson,1977;jAldrich&Nelso,1984;Greene,1990;Long,1997分别证实了似然比统计量为LR=(-2liL( -))-(L2ln(moedl2 meold=-2ln^moed^2 )的最大似然函数moedl1的最大似然函数其中，ln(L )为所设定的原模型(即包含了所有解释变量)model1的对数值，ln(的对数值，ln(L )为省略模型(即省略了解释变量X.)的最大似然函数的model2 j对数值，两者之间的差乘以-2近似地服从X2分布，其自由度为省略了的解释变量的个数。接下来，可根据X2分布表，在给定的显著性水平a下，得到临界值,从而判断参数的显著性。例分析某种教学方法对成绩影响的有效性，被解释变量GRADE为接受新

教学方法后成绩是否改善，如果改善取1,否则取0；GPA为平均分数；TUCE为测验得分；PSI为是否接受新教学方法，如果接受取1，否则取0。运用EViews软件中Logit模型估计方法得到如下结果E¥ie<s-[Equation:EQ01Torkfile:GREEHP204\GreFileEditObjectViewFrocQuickOptionsWindowHelp

View|P「uiz|Object|P「int|Name|F「e^E^|Estimate|Fu「亡cast|Stats|Reside|DependentVariableGRADEMethodML-BinaryLogit(Quadratichillclimbing：Date:06/04/06Time:22:11Sample:132Includedobservations:32Convergenceachievedafter5iterationsCovariancematrixcomputedusingsecondderivatives由表格写出估MeandependentvarSEofregressionresid034375003847164.144171-12.88963-2059173SDdependentvarAkaikeinfocriterionSchwarzcriterionHannan-Quinncriter-■1 由表格写出估MeandependentvarSEofregressionresid034375003847164.144171-12.88963-2059173SDdependentvarAkaikeinfocriterionSchwarzcriterionHannan-Quinncriter-■1 ::: '4'：：：latestrloglikelihoodP^(Y曲1*GPA,TUCE,PSI)二McFaddenR-squared1+e-z0.482569105560212388191116333-0.4028010374038VariableCoefficientStdErrorz-StatisticProbC-13.021364.931317-2.64064100083GPA2.82611312629402.23772600252TUCE009515801415640.67223506014PSI2.37868810646632.23442600256ObswithDep=1 11四、Logit模型回归系数的解释由前面的推导可知，将事件发生的条件概率定义为P(Y=11X)二p，则我们ii可得到如下模型P(Y=11P(Y=11X)=i11+e-(Pj+P2x.)1+exp(一卩-PX)12.进一步，在发生比的基础上，我们还可得到如下模型ln(—)=P+PX1-p12..对此模型，由于等式右端为一线性表示，则可完全按照线性回归模型系数那样来解释。一个解释变量的作用如果是增加对数发生比的话，也就增加了事件发生的概率。具体来讲，Logit模型的系数如果是正的并且统计显著，则在控制其它变量的情况下，对数发生比随对应的解释变量值增加而增加，相反，一个显著的负

系数代表对数发生比随对应解释变量的增加而减少。如果系数的统计性质不显著，说明对应解释变量的作用在统计上与0无差异。1、按发生比率来解释Logit模型的系数。对Logit模型的回归系数进行解释时，很难具体把握以对数单位测量的作用幅度，所以通常是将Logit作用转换成对应的发生比来解释。设模型为ln(—=卩+卩X1—p 1 2ii转换成发生比的形式p 1+eZi—二 -二ez.二eP,+P2x；二eP,xeP2x；i12i12i1—p1+e—Z；；式中，截距P可以作为基准发生比的对数。基准的意思是指当Logit模型中没有1任何解释变量时所产生的发生比。或者，除了常量外，所有解释变量都取0值时所产生的发生比。对于解释变量的作用的解释，由上式看出，各项作用之间已经由加法的关系转变为乘法关系。因此，系数P的作用可解释为，当P为正值时,22eP2将大于1,则在其它条件不变的情况下，X每增加一个单位值时发生比会相；应增加；当P为负值时，eP2将小于1,说明X每增加一个单位值时发生比会相2；应减少；而当P为0时，eP2将等于1，那么X不论怎样变化发生比都不会变化。2；例如，在新教学方法采纳的分析中，已估计的方程可按指数运算法则转变为P(Y=11GPA,P(Y=11GPA,TUCE,PSI)=11+e-z1+e—(—13.0214+2.8261GPA+0.0952TUCE+2.3787PSI)=e—(—13.0214+2.8261GPA+0.0952TUCE+2.3787PSI)1—p=e13.0214xe2.8261GPAXe0.0952TUCEXe2.3787PSI由上述表达式可以看出，由于GPA>0,则e2.826卜1，因此，在其它条件不变的情况下，平均分数每增加一个单位，将导致接受新教学方法后成绩有所改善的发生比会相应提高。同理，对于变量TUCE也可作类似的讨论；由于PSI为虚拟解释变量，表示是否接受新教学方法，如果接受取1，否则取0，因此，在其它条件

不变的情况下，当PSI=1时，则将会使接受新教学方法后，学习成绩改善的发生比有所提高，而当PSI=0时，则将会使接受新教学方法后，学习成绩改善的发生比保持不变。2、用概率来解释Logit模型的系数。除了解释变量对于对数发生比的偏作用外，有时也用事件发生的概率来解释模型中系数的偏作用。对事件发生概率的偏作用可以通过对Logit模型P(P(Y=IIX)=i11+e-(Pj+P2x.)求X的偏导数来加以解释。其求导结果如下ieP1+PeP1+P2XidpdXid(匚三一)1+eP,+P2x.- 2dX (1+eP1+P2Xi)2iPeP1+P2Xi-P2p(1-p)于是，变量X对事件发生概率的偏作用就等于该解释变量的系数P与p(1-p)的i2乘积。偏作用的符号由P决定，因为p(1-p)永远为正值，作用的幅度依赖于P22的幅度和对应于X特定值的概率，而它与模型中所有其它解释变量有关。因此i不同于对发生比作用的解释，对事件发生概率的偏作用是随p值的变化而变化的。这就需要在讨论变量X对事件发生概率的偏作用时，应将概率p值计算出i来后，才能解释其偏作用。3、预测概率。与一般线性回归模型一样，根据Logit模型也可以获得事件发生的预测概率。以一个解释变量的Logit模型为例，如果我们知道参数估计P和P，并确定某一12事件的X(i丰1,2, ,n)，便可将其代入Logit模型，计算预测概率。计算公式为i入 1 eA+^Xp— —Y 入 入 Y 入 入1+e-(P1+P2Xi) 1+eP1+P2Xi在计算预测概率的基础上，还进一步计算在解释变量发生离散变化时预测概率的变化，这种方法被称为概率离散变化法。其计算公式是Ap—P[y—1IX]-P[y—1%]—P[y—AX]i+1 i

e卩i正卩jXjie卩i正卩jXjie j=1(i=1,2,…，n)一(久+^p.X..) p,+^p.X..1+e1 j=i jji1+e1j=ijji相应的对数发生比为ln4^扌p+才pX i•毛1…2,n,)1—p 1 jjii j=1类似多元线性回归模型，在Logit模型中，由于多个解释变量可能会以多个不同的尺度加以测量，这个时候要直接对比不同解释变量对发生比的影响是不行的，因此，需要对解释变量进行标准化变换，将解释变量和被解释变量由非标准化变量转换为标准化变量，从而，才直接对比各个解释变量对发生比的影响大小。其变换方法与多元线性回归模型一样。可参见王济川、郭志刚，Logistic回归模型——方法与应用，高等教育出版社，2001年。第115页-第117页。第三节Probit模型_、Probit模型及参数估计在前面已经看到，由S型曲线，可分别得到累积分布函数和标准正态分布函数，对于后者可建立一个二元选择的Probit模型。单一解释变量X的Probit模i型为p1+p2XiP(Y=11X)=©(p+pX)=112'p(z)dzi12i—g式中①(z),申(z)分别为标准正态分布的分布函数和密度函数。与Logit模型的参数估计相似，对Probit模型的参数估计也可采用最大似然估计方法。有的教科书还介绍了一种运用效用行为选择理论建立Probit模型，并采用群组数据对Probit模型的参数应用OLS方法进行估计(参见DamodarN.Gujarati《计量经济学基础》(第四版)下册，中国人民大学出版社，2005年，

第569页-573页)。这里我们仅根据计算软件Eviews的功能，介绍最大似然估计对Probit模型参数的估计。在样本分布与总体分布一致的前提下，按随机抽样原则抽取样本，对n则抽取样本，对n个样本(X,Y)iii二1,2, ,n，建立对数似然函数ln[Lln[L0P]扌[Y1 2 ii=1)丄邮40(X]1 2i))上述模型的最大似然估计就是使该表达式有最大值时的0、0的估计0、121具体求解过程这里不再赘述。例在前述新教学方法的例子里，运