正弦定理知识点

1．1．1正弦定理课上讲解：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即=2R其中R为三角形外接圆半径。2.正弦定理的基本作用：①已知三角形的随意两角及其一边可以求其他边，如；②已知三角形的随意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。3.常用变形：①②③题型一：已知两角和一边（唯一确定）例1.已知在.变式练习1：1.已知ΔABC，已知A=600，B=300，a=3；求边b=（）:A.3B.2C.D.2.已知ΔABC已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（）A.8B.4C.4-3D.8-83.已知a+b=12，B=450，A=600则a=_____，b=_____题型二：已知两边和其中一边所对的角（两种状况，由y=sinx的性质确定）例2.在变式练习1：变式练习2：变式练习3：在中，已知角，则角A的值是A.B.C.D.或变式练习4：在中，若，则A=。题型三：外接圆问题例3.试推导在三角形中===2R其中R是外接圆半径变式练习1：在△ABC中，,则k为()A2RBRC4RD(R为△ABC外接圆半径)变式练习2：在中，，则为（）A, B, C, D,变式练习3：在中，（）A, B,C, D,变式练习4：设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB＝4，∠C＝45°，则R＝________．题型四：比例问题例4.在中,已知推断的形态．变式练习1：已知ABC满意条件，推断ABC的类型。变式练习2：△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为()A直角三角形B等腰直角三角形C等边三角形D等腰三角形变式练习3：在三角形ABC中，A为锐角，，则三角形ABC是（）A,等腰三角形B,等边三角形C,直角三角形D,等腰直角三角形例5.在中，三个内角之比，则等于____变式练习1：在△ABC中,变式练习2：在△ABC中,A:B:C=4:1:1,则a:b:c=()A4:1:1B2:1:1C:1:1D:1:1变式练习2：在中，B=135，C=15，a=5则此三角形的最大边长为_____变式练习3：已知在ΔABC中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分别为________变式练习4：在△ABC中,6:5:4，则(2b+c):(3c+a):(a+4b)=_______________变式练习5：△的三个内角,,所对的边分别为,,，．求例6.在中，已知，求的度数变式练习1：在△ABC中，若a=2bsinA，则∠B为()A.B.C.或D.或技巧的应用：例7.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且.(1)求∠A的大小；(2)若a=，b+c=3，求b和c的值.变式练习1：△ABC中，若sin(A+B)sin(A-B)=sin2C，则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形变式练习2：若△ABC的三内角A，B，C满意sinA2sinCcosB，则△ABC为_______三角形.变式练习3：已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,A+C=2B,则sinC=.变式练习4：在中，，1）求的值；2）设,求的面积.题型五：面积问题例8.在△ABC中，,则三角形ABC的面积为变式练习1：在△ABC中，b=8，c=，S△ABC=，则∠A等于()A.30ºB.60ºC.30º或150ºD.60º或120º变式练习2：已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为()A．9 B．18C．9D．18变式练习3：若△ABC的三边长分别为4，5，7，则△ABC的面积，内切圆半径.变式练习4：如图△ABC中，点D在边BC上，且BD=2，DC=1，∠B=60°，∠ADC=150°，求AC的长及△ABC的面积.提高题：1.如图，在ΔABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：AABCD高考真题：1.（2011·浙江高考文科·Ｔ5）在中，角所对的边分别为.若，则2,（2011·新课标全国高考理科·Ｔ16）在中，，则的最大值为.3,（2011·北京高考理科·T9）在中，若，则；4,（2011·北京高考文科·T9）在中，若，则=.5,(2009·广东高考)已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝eq\r(6)＋eq\r(2)，且∠A＝75°，则b＝6,在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则eq\f(AC,cosA)的值等于______，AC的取值范围为________．7,在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，则△ABC肯定是三角形8,.在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝eq\f(π,6)，则△ABC的面积等于9,锐角△ABC中，若A＝2B，则eq\f(a,b)的取值范围是；10,(浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满意coseq\f(A,2)＝eq\f(2\r(5),5)，·＝3.求△ABC的面积11,已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(eq\r(3)，－1)，n＝(cosA，sinA)，若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角B＝________.12,（2011·安徽高考文科·Ｔ16）在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，，求边BC上的高.13.（2011·辽宁高考文科·Ｔ17）（本小题满分12分）△的三个内角，，所对的边分别为,,，．求；14,（2011·山东高考文科·Ｔ17）（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.求的值；15,（2011·湖南高考理科