山东省青岛市20232023学年度高三数学第一次

山东省青岛市2007-2023学年度高三数学第一次质量检测试题第Ⅰ部分（满分160分，答卷时间120分钟）一、填空题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．把答案填写在答题纸相应位置上．1．复数z＝（m－1）i＋m2－1是纯虚数，则实数m的值是．2．化简：＝．3．设则f（f（2））的值是．左视图主视图俯视图10812（第7题）484．若数列{an}的通项公式an＝，记，试通过计算，，左视图主视图俯视图10812（第7题）485．函数y＝cosx的图象在点（，）处的切线方程是．6．已知α，β均为锐角，且，，则．7．已知某个几何体的三视图如下（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是cm3．8．某海域上有A，B，C三个小岛，已知A，B之间相距8nmile，A，C之间相距5nmile，在A岛测得∠BAC为60°，则B岛与C岛相距nmile．9．某班级共有学生54人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号，29号，42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是．1,3,510．若经过点P（－1，0）的直线与圆相切，则这条直线在y轴上的截距是．1,3,5二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．11．集合A＝{x||x|＜2＝，B＝{x|x2－5x－6＜0＝，则A∩B＝ （）A．（－2，6）B．（－2，－1）C．（－1，2）D．（2，3）12．直线l1∥l2的一个充分条件是 （）A．l1，l2都平行于同一个平面 B．l1，l2与同一个平面所成的角相等C．l1平行于l2所在的平面 D．l1，l2都垂直于同一个平面13．下列各函数中，最小值为2的函数是 （）A．B．，C．D．14．依据下列算法的伪代码： x←2i←1s←0Whilei≤4s←s×x＋1i←i+1EndWhilePrints运行后输出的结果是 （）A．3 B．7 C．15 D．17三、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别是1，2，3，4，5，6．（1）将这颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，问两数之和是3的倍数的概率是多少？（2）将这颗骰子先后抛掷3次，观察向上的点数，问三数之和为16的概率是多少？（第16题）ABCA1（第16题）ABCA1B1C1D已知直三棱柱ABC－A1B1C1各边长都等于a，点D为BC的中点．求证：（1）平面AC1D⊥平面BCC1B1；（2）A1B∥平面AC1D．17．（本题满分15分）已知向量a=（3sinα，cosα），b=(2sinα,5sinα－4cosα)，α∈（），且a⊥b．（1）求tanα的值；（2）求cos()的值．18．（本题满分15分）已知双曲线过点（3，－2），且与椭圆有相同的焦点．（1）求双曲线的标准方程；（2）求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．19．（本题满分16分）已知各项均为正数的等差数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn＝an2＋5an＋6；等比数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a3，b3＝a15；数列{cn}满足cn＝anbn．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{cn}的前n项和Tn．20．（本题满分16分）已知函数．（1）若函数在（，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，求实数a的值；（2）是否存在正整数a，使得在（，）上既不是单调递增函数也不是单调递减函数？若存在，试求出a的值，若不存在，请说明理由．1,3,5第Ⅱ部分（满分40分，答卷时间30分钟）1,3,5一、填空题：本大题共6小题，其中第3题~第6题为选做题，只要在这四题中任选两题作答，如果多做，则按所做题的前两题记分．每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．1．计算：．2．若ξ的分布列为：ξ01Pmn其中m∈（0，1），则Eξ＝．3．（选修4－1：几何证明选讲）过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA，PB，切点为A，B，若AB＝8cm，AB的弦心距为3cm，则PA＝cm．4．（选修4－2：矩阵与变换）矩阵的属于特征值－1的一个特征向量是．5．（选修4－4：坐标系与参数方程）若曲线的极坐标方程为，则这条曲线化为直角坐标方程为．6．（选修4－5：不等式选讲）设|a＋b|＜－c，给出下列四个不等式：①a＜－b－c；②a＋b＞c；③|a|＋c＜|b|；④a＋c＜b．其中成立的不等式是．二、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．解答下列各题必须写出必要的步骤．7．在某市的一次调研测试中，8道填空题中有4道必做题和4道选做题，某考生按规定做4道必做题和2道选做题．（1）该考生有多少种选题方案？（2）若该考生必做题不放在最后做，他可以选择多少种不同的答题顺序？AOECB（第8题）8．如图，已知三棱锥O－ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OCAOECB（第8题）（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求二面角A－BE－C的余弦值．参考答案第I部分（满分160分，答卷时间120分钟）一、填空题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．把答案填写在答题纸相应位置上．1．－12．3．04．5．＝06．7．640＋80π8．79．1610．1二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1,3,511．C12．D13．D14．C1,3,5三、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别是1，2，3，4，5，6．（1）将这颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，问两数之和是3的倍数的概率是多少？OAOABCA1B1C1（第16题）D问三数之和为16的概率是多少？解：（1）P（A）＝；…………7分（2）P（B）＝．答：两数之和是3的倍数的概率是；三数之和为16的概率是．…………14分16．（本题满分14分）已知直三棱柱ABC－A1B1C1的各边长都等于a，点D为BC的中点．求证：（1）平面AC1D⊥平面BCC1B1；（2）A1B∥平面AC1D．证明：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱BB1⊥平面ABC又BB1平面BCC1B1，∴侧面BCC1B1⊥平面ABC．在正三角形ABC中，D为BC的中点，∴AD⊥BC．由面面垂直的性质定理，得AD⊥平面BCC1B1．又AD平面AC1D，∴平面AC1D⊥平面BCC1B1．……7分（2）连A1C交AC1于点O，四边形ACC1AO是A1C的中点．又D是BC的中点，连OD中位线定理，得A1B1∥OD．∵OD平面AC1D，A1B平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D．…14分17．（本题满分15分）已知向量a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα,5sinα－4cosα)，α∈（），且a⊥b．（1）求tanα的值；（2）求cos()的值．解：（1）∵a⊥b，∴a·b＝0．而a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα,5sinα－4cosα)，故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．……2分由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα＝．……………6分∵α∈（），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．…………7分（2）∵α∈（），∴．由tanα＝－，求得，＝2（舍去）．∴，…………12分cos()＝＝＝．………………15分18．（本题满分15分）已知双曲线过点（3，－2），且与椭圆有相同的焦点．（1）求双曲线的标准方程；（2）求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．解：（1）由题意，椭圆的焦点为（），…………2分即c＝，设所求双曲线的方程为．………………4分∵双曲线过点（3，－2），∴．∴，或（舍去）．…………7分∴所求双曲线的方程为．……………………8分（2）由（1），可知双曲线的右准线为．设所求抛物线的标准方程为，则．……12分∴所求抛物线的标准方程为．…………15分19．（本题满分16分）已知各项均为正数的等差数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn＝an2＋5an＋6；等比数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a3，b3＝a15；数列{cn}满足cn＝anbn．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{cn}的前n项和Tn．解（1）∵10Sn＝an2＋5an＋6，①∴10a1＝a12＋5a1解之，得a1＝2，或a1＝3．……………2分又10Sn－1＝an－12＋5an－1＋6（n≥2），②由①－②，得10an＝（an2－an－12）＋6（an－an－1），即（an＋an－1）（an－an－1－5）＝0．∵an＋an－1＞0，∴an－an－1＝5（n≥2）．………………5分当a1＝3时，a3＝13，a15＝73．a1，a3，a15不成等比数列，∴a1≠3．当a1＝2时，a3＝12，a15＝72，有a32＝a1a15．…………∴数列{bn}是以6为公比，2为首项的等比数列，bn＝2×6n－1．……9分（2）由（1）知，an＝5n－3，cn＝2（5n－3）6n－1．∴Tn＝2[2＋7×6＋12×62＋…＋（5n－3）6n－1]，……11分6Tn＝2[2×6＋7×62＋12×63＋…＋（5n－3）6n]，∴－5Tn＝2[5×6＋5×62＋…＋5×6n－1]＋4－2（5n－3）6n………13分＝＋4－2（5n－3）6n＝（8－10n）6n－8．Tn＝．…………………16分20．（本题满分16分）已知函数．（1）若函数在（，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，求实数a的值；（2）是否存在正整数a，使得在（，）上既不是单调递增函数也不是单调递减函数？若存在，试求出a的值，若不存在，请说明理由．解（1）∵在（，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，∴f′（x）＝3x2＋2ax－2，……………2分f′（1）＝0，∴a＝－．………………6分（2）令f′（x）＝3x2＋2ax－2＝0．∵△＝4a2＋24＞0，∴方程有两个实根，………………8分分别记为x1x2．由于x1·x2＝－，说明x1，x2一正一负，即在（，1）内方程f′（x）＝0不可能有两个解．…………………10分故要使得在（，）上既不是单调增函数也不是单调减函数的充要条件是f′（）·f′（）＜0，即（＋a－2）（＋a－2）＜0．………13分解得．………………………15分∵a是正整数，∴a＝2．………………16分第Ⅱ部分（满分40分，答卷时间30分钟）1．ln22．n3．eq\f(20,3)4．5．6．①②③二、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．解答下列各题必须写出必要的步骤．7．在某市的一次调研测试中，8道填空题中有4道必做题和4道选做题，某考生按规定做4道必做题和2道选做题．（1）该考生有多少种选题方案？（2）若该考生必做题不放在最后做，他可以选择多少种不同的答题顺序？解（1）＝6（种）．…………………5分（2）解法一：第一步选择2道选做题，有=6种方法，第二步，先确定最后解答的一题，有=2种方法，第三步，确定其它各题的解答顺序。有=120种方法，综上所述，该同学共有6×2×120=1440种选择．答：（1）该考生有6种选题方案；（2）他可以选择1440种不同的答题顺序．……10分解法二：先确定最后解答的一题，有=4种方法，再确定必做题的解答顺序，有=120种方法，最后确定另一道选做题，有=3种方法．综上所述，该同学共有4×120×3=1440种选择．答：（1）该考生有6种选题方案；（2）他可以选择1440种不同的答题顺序．……10分8．如图，已知三棱锥O－ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求二面角A－BE－C的余弦值