2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习高效演练分层突破第四章第7讲解三角形应用举例Word版解析版

[基础题组练]1．在相距2km的A，B两点处丈量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为()A.6kmB.2kmC.3kmD．2km分析：选A.如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，因此AC＝2，sin60°sin45°因此

AC＝22×

23＝

6(km)．2．如图，丈量河对岸的塔高AB时可以选与塔底

B在同一水平面内的两个测点

C与

D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于( )A．56B．153C．52D．156分析：选D.在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得BC＝30，sin30°sin135°因此BC＝152.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝152×3＝156.3．如图，为了丈量A，C两点间的距离，采用同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为( )A．7kmB．8kmC．9kmD．6km分析：选A.在△ABC及△ACD中，由余弦定理得82＋52－2×8×5×cos(π－∠D)＝AC232＋52－2×3×5×cos∠D，解得cos∠D＝－12，因此AC＝49＝7.4．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )

30BA．102海里

B．103海里C．203海里分析：选A.以下列图，易知，在△ABC

D．202海里中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依据正弦定理得BC＝AB，sin30°sin45°解得BC＝102(海里)．5．如图，从气球A上测得正前面的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于( )A．240(3－1)mB．180(2－1)mC．120(3－1)mD．30(3＋1)m分析：选C.由于tan15°＝tan(60°－45°)＝tan60°－tan45°＝2－3，因此BC＝1＋tan60°tan45°60tan60°－60tan15°＝120(3－1)(m)．6．海上有A，B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是nmile.分析：如图，在△ABC中，AB＝10，A＝60°，B＝75°，C＝45°，由正弦定理，得AB＝BC，sinCsinAAB·sinA10×sin60°因此BC＝sinC＝sin45°＝56(nmile)．答案：567.如图，在塔底

D的正西方

A处测得塔顶的仰角为

45°，在塔底

D的南偏东

60°的

B处测得塔顶的仰角为

30°，A，B间的距离是

84m，则塔高

CD＝

m.分析：设塔高CD＝xm，则AD＝xm，DB＝3xm.又由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，在△ABD中，利用余弦定理，得842＝x2＋(3x)2－23·x2cos150°，解得x＝127(负值舍去)，故塔高为127m.答案：1278．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则此船航行的速度为海里/小时．分析：如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.在△PMN中，MN＝PM，sin120°sin45°32因此MN＝68×＝346(海里)．2又由M到N所用的时间为14－10＝4(小时)，346176因此此船的航行速度v＝4＝2(海里/小时)．176答案：9．渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以153海里/时的速度向正北方向航行，该船在A点处时发此刻北偏东30°方向的海面上有一个小岛，连续航行20分钟到达B点，此时发现该小岛在北偏东60°方向上，若该船向正北方向连续航行，船与小岛的最小距离为多少海里？解：依据题意画出相应的图形，以下列图，过C作CD⊥AD于点D，由题意得：AB＝2060×153＝53(海里)，由于∠A＝30°，∠CBD＝60°，因此∠BCA＝30°，因此△ABC为等腰三角形，因此BC＝53.在△BCD中，由于∠CBD＝60°，CD⊥AD，BC＝53，因此CD＝152，则该船向北连续航行，船与小岛的最小距离为7.5海里．10．如图，为丈量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为丈量观察点．从A点测得点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA60°.已知山高BC＝100m，求山高MN.解：依据题意，AC＝1002m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.ACAM?AM＝1003m.由正弦定理得sin45°＝sin60°在△AMN中，MN＝sin60°，AM因此MN＝1003×3＝150(m)．2[综合题组练]1．以下列图，一座建筑物AB的高为(30－103)m，在该建筑物的正东方向有一座通讯塔CD.在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通讯塔CD的高为( )A．30mB．60mC．303mD．403m分析：选B.在Rt△ABM中，AM＝AB＝30－103＝30－103＝206(m)．过点sin∠AMBsin15°6－24作AN⊥CD于点N，以下列图．易知∠MAN＝∠AMB＝15°，因此∠MAC＝30°＋15°＝45°.又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，因此∠ACM＝30°.在△AMC中，由正弦定理得

MCsin45°

＝206，解得sin30°

MC＝403(m)．在

Rt△CMD

中，CD＝403×sin60°＝60(m)，故通讯塔

CD的高为

60m.2.如图，某住所小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个进出口，且小区里有一条平行于AO的小道CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到

C用了

3分钟．若这人步行的速度为每分钟

50米，则该扇形的半径为

米．分析：连接

OC，由题意知

CD＝150米，OD＝100

米，∠

CDO＝60°.在△COD中，由余弦定理得

OC2＝CD2＋OD2－2CD

·OD

·cos60°，即

OC＝507.答案：507π7，AB⊥BC.3.如图，在四边形，AD∶AB＝2∶3，BD＝ABCD中，∠DAB＝3(1)求sin∠ABD的值；2π(2)若∠BCD＝3，求CD的长．解：(1)由于AD∶AB＝2∶3，因此可设AD＝2k，AB＝3k(k＞0)．π又BD＝7，∠DAB＝，因此由余弦定理，3π得(7)2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos，3解得k＝1，因此AD＝2，AB＝3，ADsin∠DAB＝3＝212×2sin∠ABD＝BD77.21，(2)由于AB⊥BC，因此cos∠DBC＝sin∠ABD＝7因此sin∠DBC＝27BDCD7，因此sin∠BCD＝sin∠DBC，因此CD＝7×2773＝433.24．(应用型)某港湾的平面表示图以下列图，O，A，B分别是海岸线l1，l2上的三个集镇，A位于O的正南方向6km处，B位于O的北偏东60°方向10km处．(1)求集镇A，B间的距离；(2)跟着经济的发展，为缓解集镇O的交通压力，拟在海岸线l1，l2上分别修筑码头M，N，开拓水上航线．勘察时发现：以O为圆心，3km为半径的扇形地域为浅水区，不适合船只航行．请确立码头M，N的地点，使得M，N之间的直线航线最短．解：(1)在△ABO中，OA＝6，OB＝10，∠AOB＝120°，依据余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos120°62＋102－2×6×10×－12＝196，因此AB＝14.故集镇A，B间的距离为14km.(2)依题意得，直线MN必与圆O相切．设切点为C，连接OC(图略)，则OC⊥MN.设OM＝x，ON＝y，MN＝c