概率论课件 第2章第4讲随机变量的数字特征

§2.4

随机变量的数字特征分布列能够完整地描述随机变量的统计特性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的某些特征，因而不需要求出它的分布函数.例如：评定某企业的经营能力时，只要知道该企业人均赢利水平；研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平均粒数及每粒的平均重量；检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，又要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好;考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小.由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写随机变量的平均取值——

数学期望随机变量取值平均偏离平均值的情况——方差本节内容定义:设离散型随机变量X的分布列为若无穷级数绝对收敛，则称其和为随机变量X的数学期望记为1.数学期望的定义一数学期望解例1

例2

解常见随机变量的数学期望分布期望概率分布参数为p的0-1分布pB(n,p)npP()2.数学期望的性质证明：仅就证性质（4）解引入随机变量

例7一民航送客车载有20位旅客从机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车次数，求EX（设每位旅客在各车站下车时等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）则有

故

（次）

例8按规定，某车站每天8：00~9:00,9:00~10:00都恰巧有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立，其规律为解3.随机变量函数的数学期望X13P3/41/4Y0123P1/83/83/81/8X103/83/8031/8001/8Y0123解例9已知（X,Y）的联合分布列为为普查某种疾病,n个人需验血,可采用两种方法验血：分别化验每个人的血,共需化验n次；

验血方案的选择3、数学期望的简单应用设某地区化验呈阳性的概率为p，且每个人是否为阳性是相互独立的.试说明选择哪一种方法可以减少化验次数.

将k个人的血混合在一起化验，若化验结果为阴性,则此k个人的血只需化验一；若为阳性,则对k个人的血逐个化验，找出有病者,这时k个人的血需化验k+1次.解为简单计，设n是k的倍数，设共分成n/k组第i组需化验的次数为XiXi

P

1k+1若则EX<n例如，二方差引例

检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样5只,测得使用寿命(单位:小时)如下:A:2000150010005001000B:15001500100010001000试比较这两批灯泡质量的好坏计算得:平均寿命分别为:A:1200B:1200观察得:A中使用寿命偏离较大,B中使用寿命偏离较小,所以,B产品质量较好数学期望方差

1.方差的定义(X-EX)2——随机变量X的取值偏离平均值的情况,是X的函数,也是随机变量

E(X-EX)2——随机变量X的取值偏离平均值的平均偏离程度——数注:方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度若

X

为离散型随机变量，概率分布为若X为连续型随机变量，概率密度为f(x)常用的计算方差的公式：

2.方差的性质例1设X~P(),求DX解

3.方差的计算例2设X~B(n,p)，求DX解一仿照上例求DX解二

引入随机变量相互独立，故常见随机变量的方差分布方差概率分布参数为p的0-1分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P()例8设X表示独立射击直到击中目标n次为止所需射击的次数，已知每次射击中靶的概率为p，求EX,DX解令Xi表示击中目标i-1次后到第i次击中目标所需射击的次数，i=1,2,…,n相互独立,且故仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布