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计算方法§5.6范数及误差分析2/3/20231定义1.

5.6向量和矩阵的范数2/3/20232--------(1)--------(2)--------(3)2/3/20233显然并且由于--------(4)2/3/202342/3/20235例1.求下列向量的各种常用范数解:2/3/20236定义2.2/3/20237不难验证其满足定义2的4个条件称为Frobenius范数,简称F-范数--------(5)类似向量的2-范数2/3/20238根据向量的常用范数可以得到常用的矩阵算子范数--------(6)--------(7)--------(8)2/3/20239例3.求矩阵A的各种常用范数解:由于2/3/202310特征方程为2/3/202311容易计算计算较复杂对矩阵元素的变化比较敏感较少使用使用最广泛性质较好2/3/202312定义6.--------(9)显然定理21.--------(10)2/3/202313

5.7误差分析简介2/3/202314即有--------(11)2/3/202315--------(12)--------(13)--------(14)所以又因为可得(12)和(13)两式相乘,得相对误差2/3/202316(14)式表明,由常数项产生的误差,最多可将解的相对误差放大倍--------(15)2/3/202317如果假设则由定理21,可知且(15)式化为--------(16)--------(17)2/3/202318--------(18)定义8.--------(19)2/3/202319显然即任意矩阵的条件数必不小于1根据算子范数的不同也有不同的条件数:2/3/202320--------(20)--------(21)根据定义8的定义,(14)式和(18)式可表示为-----(22)2/3/202321条件数的性质2/3/2023222/3/2023232/3/2023242/3/2023252/3/202326“病态”方程的经验判断2/3/2023

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