数学中的符号化思想方法

数学中的符号化思想方法

第一节

数学符号概述

1、符号的产生源于“给予意义”的行为。

例如“叶落知秋”，于是飘落的一片黄叶成为秋天的

符号。

2、符号已深入到人类生活的方方面面。

著名语言学家皮埃尔.吉罗说“我们生活在符号之

间”。

3、符号包括“符号形式”（能指）和“符号内容”（所

指）两个方面。

例如：形式：⊙、≌、△；

内容：圆、全等于和三角形。

“没有形式的内容或”没有“内容的形式”都不是符号。一、符号是人们约定用来指称一定对象的标志物，是用以表达和交换思想的工具。

二、数学符号是传播数学思想的媒介。数学语言系统符号化系统=数学符号的特征：

1、物质性：以一定的物质形式为背景，可感知。

2、抽象性：数学符号是一种抽象化了的的思想材料。3、精确性：数学主要依靠严格的推理来演绎证明”，

意义不能含糊不清。

4、规范性：具有相对的稳定性，便于交流。

5、开放性：数学符号系统随着数学自身的发展不断

完善。第二节、数学符号简史

关数学发展史可以追溯到古希腊时代，至今已有3000年历史，数学符号的发展时间只有400余年，而大多数数学符号的历史甚至不到400年。数学符号发展的400余年，大致可以分为五个阶段。一、建立自然数和分数的符号体系。1、人类早期的记数方法。

实物记数、结绳记数、刻痕记数、用身体某个部分来表示数。2、早期的文明产生了各自的记数符号。如：数字符号0——9用的是印度.阿拉伯数码；古埃及人用象形文字记数，但不知道位值记数；古巴比伦人有位值思想，但没有适当的零号；古代中国人用算筹记数，形成了较完善的记数方法；3、1450年，活版印刷的发明促进了记数符号的规范化。现行的10进制记数法和数字符号才于16世纪以后的欧洲通行。4、位值制记数法是人类智慧的结晶。

中美洲的玛雅人用二十进制；

古代中国人用过十六进制，最早用十进制；

古巴比伦人用六十进制；5、“0”表示“零，最早于公元4世纪左右产生于中印边界一带”。完善的“0”符号的出现。形成了完整的位值记数法；完成了自然数的符号系统6、分数是在运算过程中产生的，表示两个整数的商。二、建立代数符号体系。

代数学发展的关键是要建立一套有效的符号系统。

1、古代的代数基本上都用文辞或缩写的形式表示。

如：“x2+10x=39”在阿拉伯人阿尔.花拉子模的《代

数学》中说成“一个数的平方及其根的十倍等于39”2、符号代数到16世纪才开始在西欧出现，17世纪开

始流行。3、韦达对多项式进行了改进。在韦达那里，“Acubus+AplanuminA3aequaturDsolido”就是现在的“A3+3BA=D”4、笛卡尔是提出用字母表后面的字母“x、y、z”表

示已知数，用前面的字母“a、b、c”表示已知数。５、莱布尼兹创造了点乘号“.”；拉恩使用了除号“÷”；奥特里德用了“×”，加号“＋”和减号“－”开始是作为“超过”和“不足”引入的；代数符号到１７世纪基本完善三、与微积分学的产生相联系的符号的发展。

微积分是由牛顿和莱布尼兹大体上完成的——是人类精神上的伟大胜利。１、牛顿和莱布尼兹最伟大的功绩是将两上看似貌不相关

的的问题联系起来，一个是求积问题，一个切线问题，形成了“牛顿——莱布尼兹公式”２、牛顿和莱布尼各兹引进了一些导数、微分、积

分等有关符号。

如：牛顿把“d”拉长，用作微分符号；莱布尼兹把“s”拉长为∫，用作只分记号；３、微积分符号的建立克服了对极限、连续等一系列重要概念描述的含糊不清，大力推动了微积分的发展。三、集合论和数理逻辑符号在数学中的发展和渗透。

现代数学中，集合论已构成全部数学的基础，它的概念和方法几乎渗透到数学的各个分支乃到其它学科。１、集合论和数理逻辑符号逐步向数学领域发展和渗透。

如:集合符号A、B、C；并集∪;交集∩;属于∈;2、集合论和数理逻辑符号的引入使数学语言更加简便;第三节、符号对数学发展的影响。

数学的发展推动了数学符号的发展，同时数学符号的发展又促进了数学的发展。

“数学的一切进步都是对引入符号的反应”；

数学符号与数学方法论有密切关系所以数学中的符号化思想受到数学方法论研究的格外重视。一、符号对数学发展的影响。１、欧洲在阿拉伯数字输入以前，使用罗马数码，由于不

是进位制的，一个简单的数要写成一长串，使得做加减

法已经困难，会乘除就可称专家了。

如：“235×4”要写成

CCCCCCCC

XXXXXXXXXXXX

YYYY

DCCD

CXX

XX

再进一步合并为“DCCCCXL”2、中国长期不用阿拉伯数字，是因为与算筹式数码计数法相比，阿拉伯数定并无明显优势。但是，迟迟不用阿拉伯数字，对我国数学发展有一定影响。3、微积分的发展史也是数学符号的发展史；

“数学分析的语言，是所有数学语言中最完善的语言”。4、牛顿是微积分发明的先行者（早莱布尼兹10年），但莱布尼兹较早（3年）公布成果，其原因是莱布尼兹使用的符号更为优越。以上例子说明：数学符号的发展对数学本身发展的推动作用——形式对本质的反作用。一、数学符号导致新数学分支的产生。

数学符号不仅影响了数学发展的进程，同时也导致新的数学分支的产生。1、韦达用字母表示数，使得代数能够逐渐成为一门正式的学科而独立出来。2、坐标体系的建立和用“x”“y”表示变元，直接促进了解析几何学的发展。3、数学符号与传统逻辑相结合，促使了数理逻辑的诞生。。4、布尔试图把初等代数与形式逻辑相结合，通过语言的符号化来达到逻辑的严格化，即逻辑的代数化；庞加莱试图使数学逻辑化，把数学大厦建立在一个统一的基础之上。但是，罗素悖论的发现终止了这两项努力和希望。5、意大利数学家皮亚诺提出：

（1）不采用自然语言，采用符号语言；

（2）把数学推理写成符号公式；其实质是：

（1）每一数学理论只包含少数几个原始概念，可以用原始符号来代表；

（2）每一数学理论只包含少数几条原始命题，可以用符号写出的公式来表述；

（3）数学理论的逻辑展开，完全变成符号公式的数学推演。现今所沿用的数理逻辑记号大体上是由皮亚诺确定的。符号化思想数学是符号加逻辑掌握系统、完整的数学数学语言定律法则公式……符号是数学语言的基本词汇由符号构成构成了数学语言的基本语法规则文字图式符号数学语言数学模型三种形态文字语言：●有时无法准确描述数学概念。●有时因汉语语义的丰富性，容易产生岐义。●有时因翻译的原因，在汉语中找不到合适的字词进行表述。●有时因缺乏形象支持，更使概念变得抽象难懂。且用词量较大，缺乏简洁性。符号语言：当给予符号特定的、统一的含义后，使得其更具简洁性，也更便于表述与交流。图式语言：既是图形，也是符号。故同时具备了形象性与抽象性的特点，更具有简洁性。数学语言的发展更倾向于图式与符号符号化思想对数学发展起的作用

⒈以约定的语言规范的形式表达与交流促进发展⒉以浓缩形式进行数学思维速度加快,排除语言含糊不清,更清晰准确.⒊在数学发展中质的作用，建立新理论符号化在教材中体现

⒈符号化对教师的要求重视符号教学搞懂教材中数学符号含义和实质。⒉常用符号：元素符号，运算符号，关系符号，结合符号，约定符号。⒊数学符号教学应注意：使学生正确理解数学符号含义和性质重视规范书写符号化思想在小学数学中的渗透

⒈变元思想（）□代替变元符号x，有一定的取值范围。⒉用字母表示数的思想：更深刻的发掘规律，更准确简捷地表达数学规律。字母可以表示任何数，无穷多个数。⒊列方程解应用题思想：代数设想：未知数与已知数同时参与计算代数翻译：解代数方程：常用数学符号的分类

1.元素符号。（1）阿拉伯数字：1、2、3、4、……（2）表示数的字母：一般是用拉丁字母前面的字母表示已知数，如a、b、c、……用后面的字母表示未知数，如x、y、……（3）表示常数的字母。如π。（4）表示几何形体的。如线段用AB，表示角用∠，2.运算符号。常用的运算符号有“+”、“-”、“×”、“÷”。3.关系符号。表示数、式、图形等之间的关系的符号叫做关系符号。常用的关系符号有：“=”等号，“≈”近似等号；不等号“＜”（小于号）、“＞”（大于号）；表示直线、平面之间的平行或垂直关系的符号有“∥”、“⊥”4.结合符号。表示某些数先结合而后运算的。如圆括号（），方括号［］，花括号｛｝，括线——等。5.约定符号。规定某种符号表示某种特定含义的符号为约定符号。比如“∵”表示因为，“∴”表示所以。6.性质符号。表示数或形的性质的符号叫性质符号。比如“+”是正号，“-”是负号等。符号感的含义