大学物理 2、刚体转动

第二章刚体转动2战国时期开始，辘轳在作战器械、井中提水、生产劳动中广泛应用，它们的共同特征是什么呢？引言3转动在生活、生产上的应用。引言4转动在军事、生活中的应用。引言5

这章学习方法:对比法将刚体转动与质点力学对比

刚体：形状与大小都不变的物体(理想模型)刚体是特殊的质点系-----质点之间的距离与相对位置都保持不变。因此,第一章的质点系的所有规律都可用于刚体！引言6目录2-1转动的描述2-2力矩与转动定律2-3角动量与角动量守恒定律2-4

刚体绕定轴转动的动能定理2-5

工程中的刚体转动7刚体的运动分为：平动和转动。2-1

转动的描述参考线一、平动与转动1、平动刚体中所有点的运动轨迹完全相同，或刚体上的直线在运动过程中总是保持平行。82-1

转动的描述平动特点：各点运动状态一样，如位移、轨迹、速度、加速度等都相同。刚体作平动运动时，可将刚体看成一个质点放在质心，刚体平动运动看成质心质点运动。9刚体中所有质点都绕同一直线做圆周运动。转动又分定轴转动和非定轴转动。

2、转动2-1

转动的描述定轴转动：转轴方向不随时间变化。非定轴转动：转轴方向随时间变化。10

3、刚体的一般运动是平动和转动的合成一般情况下，刚体的运动既有平动，又有转动，转轴的位置或方向都随时间变化。例如汽车行驶过程中，车轮的运动是车轮平动和车轮绕定轴转动的叠加合成。2-1

转动的描述平动定轴转动车轮边缘质点的轨迹11二、刚体转动的角量描述参考平面2.角位移

1.角位置3.角速度参考轴角速度大小：角位置对时间求导：2-1

转动的描述在时间内,角位置的变化刚体上任意质点的位置矢量与参考方向的夹角：12角速度方向：角速度方向与刚体转动方向满足右手螺旋法则。2-1

转动的描述右手四指沿转动方向，大姆指是角速度方向，沿转轴。4.角加速度角加速度大小：角速度对时间求导：角加速度方向：角速度矢量变化方向。角速度矢量变化在时间内,角速度矢量变化13角加速度和角速度变化

Δ

同方向。2-1

转动的描述ΔΔ减速转动加速转动5.定轴转动的特点1）刚体上各质点均作半径不同的圆周运动；2）各质点运动

均相同，但不同；14

刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动刚体转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动。由匀变速圆运动得到刚体匀变速转动的公式：刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比2-1

转动的描述三、匀变速转动15

例题1

一飞轮半径为0.2m、转速为150r·min-1，因受制动而均匀减速，经30s停止转动。求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后

t=6s时飞轮的角速度；（3）t=6s时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度。解：（1）

t=30s

时，设。飞轮做匀减速运动：时，

t=0s

2-1

转动的描述16飞轮30s

内转过的角度转过的圈数（2）时，飞轮的角速度2-1

转动的描述17（3）时，飞轮边缘上一点的线速度大小飞轮边缘上一点的切向加速度和法向加速度大小为2-1

转动的描述18

石磨一般包含上下两个石头磨盘，在上面的磨盘上装有一横杆作为把手，当人用力推动把手时，上面的磨盘就会转动，通过两个磨盘之间的摩擦就可以研磨食物了。

2-1

转动的描述思考题1

人们为什么要装一个横杆而不是直接推动磨盘？人在什么位置推把手才能使磨盘转动的迅速？人在什么位置推把手更省力？19目录2-1转动的描述2-2力矩与转动定律

2-3角动量与角动量守恒定律2-4刚体绕定轴转动的动能定理2-5工程中的刚体转动20P*O

刚体绕Oz

轴旋转,外力作用在刚体上点P,

力的作用点P的位矢。

一、力矩

对转轴Z产生力矩为:

力矩大小：:力臂2-2力矩与转动定律=:切向力21P*O力矩方向：位矢和力的方向满足右手螺旋2-2力矩与转动定律法则。右手四指由位矢方向转到力

方向，大姆指是力矩方向，沿转轴。22O2-2力矩与转动定律二、转动定律刚体内任意质点

j受外力

，内力将刚体分为大量质量元（质点）！内力是刚体其它质点给的力。外力

和内力

对转轴产生力矩为：F外jt+F内jt=Δmjɑjt=Δmjrjα

Mj=F外jtrj+F内jtrj在切向方向，由牛顿第二定律得：（a）（b）23O2-2力矩与转动定律Mj=Δmjrj2α

由上面二式（a）和（b）得质点

j受力矩为：将上式对刚体的所有质量元求和得刚体的受力矩为：M=ƩMj=ƩΔmjrj2α

jjM=(ƩΔmjrj2)α

j定义刚体的转动惯量为：（c）24

上式（c）变为2-2力矩与转动定律所以由上式（d）（e）和（f）得刚体转动定律：M=(ƩΔmjrj2)α=Jα

jM=ƩMj是刚体各质元受所有外力和所有内力产生合外力矩和合内力矩的和。即：M=M合外力矩+M合内力矩

因为刚体各质元受所有内力产生合内力矩为零：M合内力矩

=0（d）（e）（f）25O2-2力矩与转动定律因为刚体的任意两质元间的内力是等大反向，两个内力的力臂d相同，两个内力对转轴产生力矩相互抵消！M合内力矩

=0证明：26转动定律与牛顿第二定律对比，有：合外力矩M

对应合外力F

转动惯量J

对应质量

m

角加速度

对应加速度a转动定律：刚体转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比

，与刚体的转动惯量成反比。2-2力矩与转动定律27三、转动惯量

1、转动惯量物理意义：转动惯量反映刚体转动惯性的大小。由得：转动惯量的大小取决于刚体的1）质量，2）形状，3）转轴的位置刚体转动惯量的定义：2、转动惯性的计算方法2-2力矩与转动定律28

1）质量分离分布刚体的转动惯量为

2）质量连续分布刚体的转动惯量为：任意质量元求和变积分：任意质量元到转轴的距离2-2力矩与转动定律29O´O解：棒的线密度为，距离转轴OO´

为处的任意质元的质量。转动惯量为例题2

一质量为

、长为

的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。O´O讨论：转轴过端点垂直于棒，转动惯量为2-2力矩与转动定律30

补例1.

一质量为、半径为的质量均匀或非均匀分布细圆环，求通过圆环中心O并与圆环垂直的轴的转动惯量。O解：圆环对轴的转动惯量为薄圆筒的转动惯量也为2-2力矩与转动定律任意质元31质量为

的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为

，则对任一与质心轴平行，相距为

的转轴的转动惯量为：CO2-2力矩与转动定律四、平行轴定理32

薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直典型的几种刚体的转动惯量2-2力矩与转动定律lr圆柱体转轴沿几何轴33l

细棒转轴通过中心与棒垂直l

细棒转轴通过端点与棒垂直2-2力矩与转动定律342r球体转轴沿直径2r球壳转轴沿直径2-2力矩与转动定律35五、刚体定轴转动定律的应用解题方法和步骤：1、选取物体；2、分析物体的运动(物体作匀变速或变速运动)；3、分析物体的受力和力矩（隔离物体分析受力）；4、选运动方向为正方向，列方程；5、联立求解方程。2-2力矩与转动定律36例题3.

一长为质量为均匀细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动。由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O

转动。求：细杆转动到与竖直线成

角时角加速度和角速度。解：细杆受重力和铰链对杆的约束力，约束力通过转轴O，不产生力矩，重力产生力矩。由转动定律得杆受合力矩为2-2力矩与转动定律37杆的转动惯量为由上式得杆转动到时的角加速度：由角加速度的定义得：得杆转动到时的角速度上式积分得：2-2力矩与转动定律38m1m2mR补例2

已知：两物体m1、m2（m2m1)，滑轮m、R,可看成质量均匀的圆盘，

绳与滑轮无相对滑动。求:

物体的加速度及绳中张力。2-2力矩与转动定律39对m1有：对m2有：以加速度方向为正方向。【解】物体m1，m2，圆盘受力如图。

T1-m1g=m1a

----（1）

m2g-T2=m2a

----（2）2-2力矩与转动定律物体m1，m2作匀加速直线运动，圆盘作匀加速转动。40对圆盘m，由转动方程得：--（3）---（4）联立式(1)—-(4)解得：因为绳与圆盘间无相对滑动，所以绳的速度等于圆盘边缘质点的切向速度：2-2力矩与转动定律上式对时间求导得绳的加速度等于圆盘边缘质点的切向加速度，即：41讨论

当圆盘质量为零时:m=0，由上式得：（与中学作过的一致！）2-2力矩与转动定律由上式得两边绳的张力不相等：42补例3

已知：如图，R=0.2m，m=1kg，vo=o，h=1.5m，匀加速下落时间t=3s,、绳与轮无相对滑动，轴光滑。求：轮对转轴的转动惯量J=？定轴0Rthmv0=0绳α·Rma2-2力矩与转动定律【解】物体m，轮受力如图。物体m作匀加速直线运动，轮作匀加速转动。以加速度方向为正方向。43（1）·Rm（2）（3）（4）联立式(1),(2),(3),(4)解得轮的转动惯量：对滑轮m，由转动方程得对物体m，由牛2方程得2-2力矩与转动定律

m由静止出发作匀加速运动，下落的距离为因为绳与圆盘间无相对滑动，所以绳的加速度等于轮边缘质点的切向加速度，即：44

补例4.

质量为物体A静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为的物体B上。滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计。求：（1）两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体B从静止落下距离

时，其速率是多少？ABC2-2力矩与转动定律45（1）（2）2-2力矩与转动定律【解】物体mA,，mB，轮受力如图。物体mA，mB作匀加速直线运动，轮作匀加速转动。以加速度方向为正方向。对mA有：对mB有：46对轮mC,

由转动定律得：（4）（3）2-2力矩与转动定律因为绳与轮间无相对滑动，所以绳的加速度等于轮边缘质点的切向加速度，即：47(2)B由静止出发作匀加速运动，下落的速率为联立式(1),(2),(3),(4)解得：2-2力矩与转动定律48哪种握法转动惯量大？2-2力矩与转动定律思考题349目录2-1转动的描述2-2力矩与转动定律2-3角动量与角动量守恒定律

2-4刚体绕定轴转动的动能定理2-5工程中的刚体转动502-3角动量与角动量守恒定律众所周知，一个恒星系中，行星会绕恒星做椭圆轨道运动，地球也因太阳的万有引力存在于太阳系中。芭蕾舞演员通过展示各种优美的动作，使人们心旷神怡。在星系与芭蕾舞演员之间似乎很难看得出有什么联系，事实上两者的运动都遵从相同的物理规律。512-3角动量与角动量守恒定律为什么行星总能保持同样的运动轨道、并总能在轨道上的某一点按时出现呢？芭蕾舞演员又是怎样做到动作变换的？两者存在着怎样的联系呢？

52平动冲量动量的改变转动冲量矩角动量的改变

力对时间积分冲量、动量、动量定理。力矩对时间积分冲量矩、角动量、角动量定理。2-3角动量与角动量守恒定律一、角动量1、质点的角动量53

质量为的质点以速度在空间运动，某时刻对参考点O

的位矢为，质点对于参考点O的角动量矢量定义为角动量大小：角动量方向：位矢

和速度

的方向满足右手螺旋法则。2-3角动量与角动量守恒定律54补例1.质点以角速度作半径为

的圆运动，质点对圆心的角动量大小为2-3角动量与角动量守恒定律角动量方向：垂直圆面向上，不变。注意：质点作同一运动，对不同参考点O的角动量不同！因为θ=π/2，得质点对圆心的角动量大小为：552、刚体的角动量刚体由大量质点组成，根据质点的角动量定义得刚体转动的角动量为刚体上所有质点的角动量的和，即2-3角动量与角动量守恒定律O刚体转动惯量为：刚体的角动量为二、角动量定理刚体的角动量和角速度同方向。562-3角动量与角动量守恒定律1、质点的角动量定理质点受合外力为由上式两边叉乘位矢

得：××质点受合力对参考点O产生的力矩，等于质点对参考点O

的角动量随时间的变化率。由，得：57在时间内，质点受的冲量矩，合外力矩对时间积分。质点的角动量定理：质点受对参考点O的冲量矩等于质点对参考点O的角动量增加量。2、刚体的角动量定理2-3角动量与角动量守恒定律上式对时间积分得：58将质点的角动量定理推广到刚体，得刚体定轴转动的角动量定理为将刚体的角动量定理推广到非刚体，得非刚体定轴转动的角动量定理为2-3角动量与角动量守恒定律非刚体的角动量定理：非刚体受对转轴的冲量矩等于非刚体对转轴的角动量增加量。59质点的角动量守恒：质点受对参考点O

的合外力矩为零时，质点对该参考点O的角动量为恒矢量。

三、角动量守恒定律1、质点的角动量守恒定律质点的角动量定理为当合力矩为零时，由上式得：2-3角动量与角动量守恒定律60非刚体的角动量守恒：非刚体受对转轴的合外力矩为零时,非刚体对转轴的角动量为恒量。非刚体的角动量定理为当合外力矩为零时，有或2-3角动量与角动量守恒定律2、刚体和非刚体的角动量守恒定律3、说明

1）角动量守恒条件：2）角动量守恒：刚体转动惯量

不变，刚体角速度

不变。非刚体转动惯量

变，非刚体角速度

变。3）角动量守恒定律是自然界的一个基本定律。有许多现象都可以用角动量守恒来说明。2-3角动量与角动量守恒定律人是典型的非刚体，当人旋转时，通过变化自己的动作，来改变人体的转动惯量，进而达到变化旋转速度的目的，这是利用角动量守恒定律。622-3角动量与角动量守恒定律芭蕾舞蹈演员跳舞时，他或她张开两臂，并绕通过足尖的垂直转轴以旋转，当迅速把两臂和腿向内收拢，这时由于转动惯量变小，演员的角速度会增大，因而快速旋转，表演出优美的旋转动作。再如跳水运动员进行高台跳水比赛时，运动员在空中蜷缩身体，使人体转动惯量变小，导致他在空中的翻转加速，有尽可能多的时间调整姿态和节奏，而当运动员快入水时，他则舒展身体，增加自身的转动惯量，尽量停止翻转使身体能垂直入水。63例题4.彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上。问：（1）系统的角动量是否守恒？（2）近日点与远日点的速度谁大？解：在彗星绕太阳转动时，受万有引力指向太阳（参考点O

）。万有引力对参考点O产生外力矩为零：2-3角动量与角动量守恒定律彗星绕太阳运动时，彗星对参考点O的角动量守恒：（参考点O）O64近日点远日点由质点的角动量定义得：即2-3角动量与角动量守恒定律彗星在近日点与远日点的角动量相等：（参考点O）O65补例1

已知卫星在近地点和远地点时到地心的距离分别为R1和R2。求卫星的近地点和远地点的速度v1，v2。R2R1v2=?v1=?解：卫星绕地球运动时，机械能守恒：2-3角动量与角动量守恒定律系统：卫星和地球。卫星绕地球运动时，卫星对对地心O角动量守恒：OR1R2

R1mv1=R2mv266R2R1v2=?v1=?两方程联立解出卫星的近地点和远地点的速度：2-3角动量与角动量守恒定律O67补例2

一长为

l,质量为

的杆可绕支点O自由转动。一质量为、速率为的子弹射入杆内距支点为处。求：杆的角速

ω?解：系统：子弹和杆。子弹射入杆中时，子弹和杆受的向下重力通过转轴，对转轴O产生的合外力矩为零，子弹射入杆前后，系统对转轴O的角动量守恒。解得杆的角速为2-4刚体绕定轴转动的动能定理

ω子弹射入杆前角动量子弹射入杆后角动量68补例3

转盘上站立一人，开始人和转盘静止，当人沿边缘以角速度ω运动。求:转盘运动的角速度Ω

。解：系统：人＋转盘。人和转盘受向下重力平行转轴，对转轴的合外力矩为零，人运动前后，系统对转轴Z的角动量守恒：解得转盘运动的角速度为z2-3角动量与角动量守恒定律地人运动后角动量人运动前角动量69目录2-1转动的描述2-2力矩与转动定律2-3角动量与角动量守恒定律2-4刚体绕定轴转动的动能定理2-5工程中的刚体转动70力作功力对路程的积分

转动动能定理、机械能守恒。动能定理、机械能守恒。力矩作功

力矩对角位置积分

2-4刚体绕定轴转动的动能定理动能、转动动能、71一、力矩作功刚体在力作用下，转动很小角位移

dθ，力对刚体作元功为：刚体从角坐标转到，力对刚体作功为：

2-4刚体绕定轴转动的动能定理OdW=Ftds=Ftrdθ=M合外力矩dθdsds是力作用点移动的路程。72上式又称为外力矩作的功。二、力矩的功率上式又称为外力矩的功率。2-4刚体绕定轴转动的动能定理三、转动动能在很小时间dt内，外力对刚体作功为外力的功率为73四、刚体转动的动能定理刚体的转动动能等于n个质元动能之和为：O刚体由n个质元构成，各质元做圆周运动。任意质元i

的动能为转动惯量2-4刚体绕定轴转动的动能定理74刚体转动的动能定理：合外力（合外力矩）对刚体作功等于刚体的转动动能增加量。O刚体从角坐标转到，力对刚体作功为：

2-4刚体绕定轴转动的动能定理75只有重力产生力矩，且重力矩随摆角变化而变化。杆摆到铅直位置时，重力对杆作功为：解：以杆为研究对象，例题5

一细杆质量为m，长度为l，一端固定在转轴上，静止从水平位置摆下。求细杆摆到铅直位置时的角速度。2-4刚体绕定轴转动的动能定理76杆的末态转动动能：由转动动能定理：本题可用机械能守恒定律计算2-4刚体绕定轴转动的动能定理得：杆的初态转动动能：杆转动惯量为得：杆摆到铅直位置时的角速度为ω77子弹击入杆子弹和杆为系统机械能不守恒。角动量守恒；水平方向动量不守恒；子弹和沙袋为系统水平方向动量守恒；角动量守恒；机械能不守恒。子弹击入沙袋细绳质量不计2-4刚体绕定轴转动的动能定理补例1分析下面各问题中的守恒量。水平力78目录2-1转动的描述2-2力矩与转动定律2-3角动量与角动量守恒定律2-4刚体绕定轴转动的动能定理2-5工程中的刚体转动792-5工程中的刚体转动一、航天器的方向控制器旅行者2号（Voyager

2）是美国国家航空航天局在1977年8月20日发射的无人星际太空船，1981年它通过土星的引力区域后加速飞往天王星和海王星，之后以约15.493公里/秒的速度离开太阳系.对旅行者2号的观测中发现，在1986年它经过天王星时，船身不时地发生转动，使飞船的运动轨迹出现一定的偏离，科学家们觉得很奇怪，这是什么原因导致的呢？802-5工程中的刚体转动

研究发现，飞船的异常转动与飞船中的打印机高速旋转有关。如果将飞船船体和打印机视为一个系统，该系统几乎不受外力矩的作用，系统角动量守恒，在打印机工作时打印机磁鼓快速转动，打印机产生一个角动量的增量，飞船就会自动向打印机磁鼓转动的反方向转动，以保持整个系统的角动量不变。

根据旅行者2号飞船异常转动的分析，使科学家意识到可以利用类似的原理来控制飞船的行驶方向，于是制造出了飞船的方向控制器。81飞轮x如图示为固定地装有一个飞轮的宇宙飞船2-5工程中的刚体转动x方向控制器的核心部件是一个可以旋转的飞轮。若人们需要将飞船运动方向向逆时针方向调整角度，即从方向转向方向，就启动方向控制器中的飞轮，并使其沿顺时针旋转。因为系统角动量守恒，飞船船体将向逆时针方向转动，当飞船转过

后，再停止方向控制器中飞轮转动，这样就实现了改变飞船前进方向的目的。顺时针旋转逆时针旋转822-5工程中的刚体转动1、飞轮的转动惯量为飞船（除开飞轮）的转动惯量为2、飞船正常飞行时，飞轮和飞船不转动。3、当飞轮顺时针旋转，而飞船船体将逆时针方向旋转。飞轮不转动x飞船不转动飞轮和飞船组成系统的总角动量为零。即：L0=0飞船正常飞行832-5工程中的刚体转动飞轮和飞船组成系统的总角动量为4、由飞轮旋转前后系统的角动量守恒得：L0=L飞轮x飞船逆时针旋转飞轮顺时针旋转ωAωB飞轮的角动量飞船的角动量842-5工程中的刚体转动将θ=ωt代入得飞轮和飞船旋转的角为飞船旋转的角θBxθA飞轮旋转的角上式为飞船调整的角度与方向控制器中飞轮需要旋转的角度的关系，由此可以精确地控制飞船的方向。85