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文档简介

第五讲高阶线性微分方程高阶线性微分方程一、高阶微分方程的概念二、线性微分方程的结构高阶线性微分方程一、高阶微分方程的概念二、线性微分方程的结构引例例1设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为m的物体.当物体处于静止状态时，作用在物体上的重力与弹性力大小相等、方向相反.物体的初始速度为阻力的大小与运动速度成正比、方向相反，确定物体的振动规律.齐次方程通解Y

非齐次

齐次一阶线性方程通解:非齐次方程特解二阶线性微分方程形式：特点：n阶线性微分方程形式：特点：为一次关于为一次关于分类：对比：推广：高阶线性微分方程一、高阶微分方程的概念二、线性微分方程的结构高阶线性微分方程一、高阶微分方程的概念二、线性微分方程的结构二、线性微分方程解的结构（一）线性齐次方程解的结构（二）线性非齐次方程解的结构二、线性微分方程解的结构（一）线性齐次方程解的结构（二）线性非齐次方程解的结构(叠加原理)

定理1注是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解例:不一定是所给二阶方程的通解.是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.则为任意常数)若函数是定义在区间I

上的

n

个函数,则称这n个函数在I

上线性相关,

否则称为线性无关.例如：在(,)上：故它们在任何区间I

上都线性相关;若在某区间

I上必需全为0,在任何区间I

上都线性无关.使得若存在不全为0的常数线性相关与线性无关定义：两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使线性无关常数线性无关可微函数是二阶线性齐次方程的两个线性无关的特解

方程特解常数,通解推论定理2

则

是该方程的通解.

（C1、C2是任意常数）例是n

阶齐次方程的n

个线性无关解,则方程的通解为若为任意常数)二、线性微分方程解的结构（一）线性齐次方程解的结构（二）线性非齐次方程解的结构二、线性微分方程解的结构（一）线性齐次方程解的结构（二）线性非齐次方程解的结构则是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)

是相应齐次方程的通解,是非齐次方程的通解.定理3定理4

(非齐次方程解的叠加原理)

分别是方程的特解,是方程的特解.设则给定n阶非齐次线性方程是对应齐次方程的

n

个线性无关特解是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为

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