非寿险第四章.2

§4.2风险的异质性

有限扰动信度理论假设历史经验数据的误差纯粹是由随机性引起的。但实际情况有可能不是这样的。历史经验数据的误差除了由随机性引起外，还有可能与某些因素有关。1、风险异质2、结构函数3、索赔次数数据的风险异质性的识别4、索赔次数数据风险异质时的结构函数(4-8)随机变量X——某一险种的实际损失X可以代表该险种的索赔次数，索赔频率或赔款额。X的风险大小一般用来度量，称为风险参数犹如Poisson分布中的。若风险同质，取某个固定的值；若风险异质，服从某个分布，其密度记为。4.2.2结构函数在服从连续型分布时，表示密度函数。信度理论中：——称为结构函数(structurefunction)，贝叶斯统计推断中：——称为先验分布。在服从离散型分布时，表示分布律；在信度理论中，给定后，X的条件概率密度记为，并称X的边际密度：为混合分布。如果是离散型取值，其中的积分应理解为求和。同时人们发现取伽玛分布为结构函数能很好地描述风险的异质性。

结构函数是描述和处理风险异质性的一个重要方法。结构函数的选取，取决于我们对实际情况和贝叶斯统计推断的了解程度。比如关于索赔次数数据，通常假设在给定后，X的条件分布为Poisson分布。根据贝叶斯统计推断的理论，人们取的结构函数为伽玛分布。必须指出的是，这里的风险指的是索赔次数，不是赔款额。

索赔次数的分布往往假设为Poisson分布，而赔款额的分布有多种假设。

不同的险种有不同的赔款额的分布假设，所以赔款额数据的风险异质性问题的讨论较索赔次数复杂和困难。不讨论索赔额问题。由于赔款额数据常常和索赔次数数据在一起，所以通过讨论索赔次数数据，可以在一定程度上识别和处理赔款额数据的风险异质性问题。4.2.3索赔次数数据的风险异质性的识别在风险异质时，按贝叶斯统计推断的理论，Poisson分布称为在给定后，索赔次数X的条件分布，记为：(4-7)则：的结构函数记为，则所以在风险异质时，方差比均值大。根据定理4.2.1，我们有：

定理4.2.1

风险异质时，总的方差等于条件方差的期望与条件期望的方差之和：而在风险同质时，取某个固定的值，比如。风险服从Poisson分布，则，所以在风险同质时，方差等于均值。所以识别风险异质性的问题可以转化为方差是否比均值大的问题。若方差比均值大，则认为风险有异质性。方差比均值大，还是方差等于均值，这是风险异质和同质的一个显著区别。根据统计假设检验的理论，我们只有在样本方差比样本均值显著地大的时候，才认为方差比均值大。

我们在水平下，认为方差比均值大，风险有异质性。如4.1节所述，是标准正态分布的分位点。在时，，，。(4-8)

首先给定检验的水平

，。常取

为一些标准化的数，如0.10，0.05，0.01等。如果：4.2.4索赔次数数据风险异质时的结构函数下面讨论在索赔次数数据具有异质性时如何构造结构函数的问题。的结构函数可取为离散型分布，也可取为连续型分布。若取的结构函数为连续型分布，则由贝叶斯统计推断的理论，我们将这个连续型分布取为伽玛分布,其密度函数如式(4-6)。基于历史经验数据计算伽玛分布参数和的估计值的过程相当简单。因此在索赔次数数据具有异质性时，的结构函数通常取为伽玛分布。(4-6)此时，由式(4-6)和式(4-7)，索赔次数等于k的边际分布列为：

，(4-9)这是负二项分布，是索赔次数X的混合分布。(4-7)则有递推迭代计算公式：，即：(4-10)，令：在风险异质，的结构函数取为伽玛分布时，观察数据来自于Poisson分布的混合，即负二项分布。负二项分布(见式(4-9))的均值和方差为：

负二项分布均值方差表4.2.3根据