正余弦定理知识点经典题有复习资料

正余弦定理1.定理内容：（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即（2）余弦定理：三角形中随意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。即：（3）面积定理：2.利用正余弦定理解三角形：（1）已知一边和两角：（2）已知两边和其中一边的对角：（3）已知两边和它们所夹的角：（4）已知三边：正弦定理1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于()A.eq\r(6)B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2eq\r(6)2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于()A．4eq\r(2)B．4eq\r(3)C．4eq\r(6)D.eq\f(32,3)3．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，A＝60°，a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，则角B为()A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()A．1∶5∶6B．6∶5∶1C．6∶1∶5D．不确定解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6.5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝eq\r(2)，则c＝()A．1B.eq\f(1,2)C．2 D.eq\f(1,4)6．在△ABC中，若eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形7．已知△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),2)或eq\r(3)D.eq\f(\r(3),4)或eq\f(\r(3),2)8．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c＝eq\r(2)，b＝eq\r(6)，B＝120°，则a等于()A.eq\r(6)B．2C.eq\r(3)D.eq\r(2)9．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a＝1，c＝eq\r(3)，C＝eq\f(π,3)，则A＝________.10．在△ABC中，已知a＝eq\f(4\r(3),3)，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形态为________．13．在△ABC中，A＝60°，a＝6eq\r(3)，b＝12，S△ABC＝18eq\r(3)，则eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝________，c＝________.14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则eq\f(a－2b＋c,sinA－2sinB＋sinC)＝________.15．在△ABC中，已知a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，则b＝________.16．在△ABC中，b＝4eq\r(3)，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．17．如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若a＝2eq\r(3)，sineq\f(C,2)coseq\f(C,2)＝eq\f(1,4)，sinBsinC＝cos2eq\f(A,2)，求A,B及b,c.(2009年高考四川卷)在△ABC中，A,B为锐角，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，且cos2A＝eq\f(3,5)，sinB＝eq\f(\r(10),10).(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝eq\r(2)－1，求a，b，c的值．△ABC中，ab＝60eq\r(3)，sinB＝sinC，△ABC的面积为15eq\r(3)，求边b的长．余弦定理1．在△ABC中，假如BC＝6，AB＝4，cosB＝eq\f(1,3)，则AC等于()A．6B．2eq\r(6)C．3eq\r(6)D．4eq\r(6)2．在△ABC中，a＝2，b＝eq\r(3)－1，C＝30°，则c等于()A.eq\r(3)B.eq\r(2)C.eq\r(5)D．23．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋eq\r(3)bc，则∠A等于()A．60°B．45°C．120°D．150°4．在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c，若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，则∠B的值为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)5．在△ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边，则acosB＋bcosA等于()A．aB．bC．cD．以上均不对6．假如把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形态为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度确定7．已知锐角三角形ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝1，△ABC的面积为eq\r(3)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值为()A．2B．－2C．4D．－48．在△ABC中，b＝eq\r(3)，c＝3，B＝30°，则a为()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(3)或2eq\r(3)D．29．已知△ABC的三个内角满意2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．10．△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(eq\r(3)－1)∶(eq\r(3)＋1)∶eq\r(10)，求最大角的度数．11．已知a,b,c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝5eq\r(3)，则边c的值为________．12．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosA∶cosB∶cosC＝________.13．在△ABC中，a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，则b＝________.14．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值为________．15．已知△ABC的三边长分别是a,b,c，且面积S＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，则角C＝________.16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．17．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．18．已知△ABC的周长为eq\r(2)＋1，且sinA＋sinB＝eq\r(2)sinC.(1)求边AB的长；(2)若△ABC的面积为eq\f(1,6)sinC，求角C的度数．19．在△ABC中，BC＝eq\r(5)，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－eq\f(π,4))的值．20．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，确定△ABC的形态．正弦定理1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于()A.eq\r(6)B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2eq\r(6)解析：选A.应用正弦定理得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，求得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\r(6).2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于()A．4eq\r(2)B．4eq\r(3)C．4eq\r(6)D.eq\f(32,3)解析：选C.A＝45°，由正弦定理得b＝eq\f(asinB,sinA)＝4eq\r(6).3．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，A＝60°，a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，则角B为()A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得：sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(2),2)，又∵a>b，∴B<60°，∴B＝45°.4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()A．1∶5∶6 B．6∶5∶1C．6∶1∶5 D．不确定解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6.5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝eq\r(2)，则c＝()A．1B.eq\f(1,2)C．2 D.eq\f(1,4)解析：选A.C＝180°－105°－45°＝30°，由eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)得c＝eq\f(\r(2)×sin30°,sin45°)＝1.6．在△ABC中，若eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵eq\f(b,a)＝eq\f(sinB,sinA)，∴eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(sinB,sinA)，sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝eq\f(π,2).7．已知△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),2)或eq\r(3) D.eq\f(\r(3),4)或eq\f(\r(3),2)解析：选D.eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，求出sinC＝eq\f(\r(3),2)，∵AB＞AC，∴∠C有两解，即∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°.再由S△ABC＝eq\f(1,2)AB·ACsinA可求面积．8．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c＝eq\r(2)，b＝eq\r(6)，B＝120°，则a等于()A.eq\r(6) B．2C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析：选D.由正弦定理得eq\f(\r(6),sin120°)＝eq\f(\r(2),sinC)，∴sinC＝eq\f(1,2).又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°，△ABC为等腰三角形，a＝c＝eq\r(2).9．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a＝1，c＝eq\r(3)，C＝eq\f(π,3)，则A＝________.解析：由正弦定理得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，所以sinA＝eq\f(a·sinC,c)＝eq\f(1,2).又∵a＜c，∴A＜C＝eq\f(π,3)，∴A＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)10．在△ABC中，已知a＝eq\f(4\r(3),3)，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.解析：由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)⇒sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(4×\f(1,2),\f(4\r(3),3))＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得，a＝eq\f(12×sin30°,sin120°)＝4eq\r(3)，∴a＋c＝8eq\r(3).答案：8eq\r(3)12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形态为________．解析：由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，代入式子a＝2bcosC，得2RsinA＝2·2R·sinB·cosC，所以sinA＝2sinB·cosC，即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC，化简，整理，得sin(B－C)＝0.∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，∴－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°，B＝C.答案：等腰三角形13．在△ABC中，A＝60°，a＝6eq\r(3)，b＝12，C=30°则eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝________，c＝________.解析：由正弦定理得eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(6\r(3),sin60°)＝12，又S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA，∴eq\f(1,2)×12×sin60°×c＝18eq\r(3)，∴c＝6.答案：12614．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则eq\f(a－2b＋c,sinA－2sinB＋sinC)＝________.解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴2R＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(1,sin30°)＝2，又∵a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，∴eq\f(a－2b＋c,sinA－2sinB＋sinC)＝eq\f(2RsinA－2sinB＋sinC,sinA－2sinB＋sinC)＝2R＝2.答案：215．在△ABC中，已知a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，则b＝________.解析：依题意，sinC＝eq\f(2\r(2),3)，S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝4eq\r(3)，解得b＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)16．在△ABC中，b＝4eq\r(3)，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．解析：∵bsinC＝4eq\r(3)×eq\f(1,2)＝2eq\r(3)且c＝2，∴c<bsinC，∴此三角形无解．答案：017．如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？解：在△ABC中，BC＝40×eq\f(1,2)＝20，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC＝eq\f(BC·sin∠ABC,sinA)＝eq\f(20sin30°,sin45°)＝10eq\r(2)(km)．即货轮到达C点时，与灯塔A的距离是10eq\r(2)km.18．在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若a＝2eq\r(3)，sineq\f(C,2)coseq\f(C,2)＝eq\f(1,4)，sinBsinC＝cos2eq\f(A,2)，求A,B及b,c.解：由sineq\f(C,2)coseq\f(C,2)＝eq\f(1,4)，得sinC＝eq\f(1,2)，又C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,6)或C＝eq\f(5π,6).由sinBsinC＝cos2eq\f(A,2)，得sinBsinC＝eq\f(1,2)[1－cos(B＋C)]，即2sinBsinC＝1－cos(B＋C)，即2sinBsinC＋cos(B＋C)＝1，变形得cosBcosC＋sinBsinC＝1，即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝eq\f(π,6)，B＝C＝eq\f(5π,6)(舍去)，A＝π－(B＋C)＝eq\f(2π,3).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得b＝c＝aeq\f(sinB,sinA)＝2eq\r(3)×eq\f(\f(1,2),\f(\r(3),2))＝2.故A＝eq\f(2π,3)，B＝eq\f(π,6)，b＝c＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A,B为锐角，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，且cos2A＝eq\f(3,5)，sinB＝eq\f(\r(10),10).(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝eq\r(2)－1，求a，b，c的值．解：(1)∵A,B为锐角，sinB＝eq\f(\r(10),10)，∴cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(3\r(10),10).又cos2A＝1－2sin2A＝eq\f(3,5)，∴sinA＝eq\f(\r(5),5)，cosA＝eq\f(2\r(5),5)，∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2).又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝eq\f(π,4).(2)由(1)知，C＝eq\f(3π,4)，∴sinC＝eq\f(\r(2),2).由正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)得eq\r(5)a＝eq\r(10)b＝eq\r(2)c，即a＝eq\r(2)b，c＝eq\r(5)b.∵a－b＝eq\r(2)－1，∴eq\r(2)b－b＝eq\r(2)－1，∴b＝1.∴a＝eq\r(2)，c＝eq\r(5).20．△ABC中，ab＝60eq\r(3)，sinB＝sinC，△ABC的面积为15eq\r(3)，求边b的长．解：由S＝eq\f(1,2)absinC得，15eq\r(3)＝eq\f(1,2)×60eq\r(3)×sinC，∴sinC＝eq\f(1,2)，∴∠C＝30°或150°.又sinB＝sinC，故∠B＝∠C.当∠C＝30°时，∠B＝30°，∠A＝120°.又∵ab＝60eq\r(3)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴b＝2eq\r(15).当∠C＝150°时，∠B＝150°(舍去)．故边b的长为2eq\r(15).余弦定理1．在△ABC中，假如BC＝6，AB＝4，cosB＝eq\f(1,3)，则AC等于()A．6 B．2eq\r(6)C．3eq\r(6) D．4eq\r(6)解析：选A.由余弦定理，得AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BCcosB)＝eq\r(42＋62－2×4×6×\f(1,3))＝6.2．在△ABC中，a＝2，b＝eq\r(3)－1，C＝30°，则c等于()A.eq\r(3) B.eq\r(2)C.eq\r(5) D．2解析：选B.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋(eq\r(3)－1)2－2×2×(eq\r(3)－1)cos30°＝2，∴c＝eq\r(2).3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋eq\r(3)bc，则∠A等于()A．60° B．45°C．120° D．150°解析：选D.cos∠A＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－\r(3)bc,2bc)＝－eq\f(\r(3),2)，∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝150°.4．在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c，若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，则∠B的值为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)解析：选D.由(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，联想到余弦定理，代入得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(3),2)·eq\f(1,tanB)＝eq\f(\r(3),2)·eq\f(cosB,sinB).明显∠B≠eq\f(π,2)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2).∴∠B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).5．在△ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边，则acosB＋bcosA等于()A．a B．bC．c D．以上均不对解析：选C.a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＋b·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(2c2,2c)＝c.6．假如把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形态为()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．由增加的长度确定解析：选A.设三边长分别为a，b，c且a2＋b2＝c2.设增加的长度为m，则c＋m＞a＋m，c＋m＞b＋m，又(a＋m)2＋(b＋m)2＝a2＋b2＋2(a＋b)m＋2m2＞c2＋2cm＋m2＝(c＋m)2，∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝1，△ABC的面积为eq\r(3)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值为()A．2 B．－2C．4 D．－4解析：选A.S△ABC＝eq\r(3)＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·sinA＝eq\f(1,2)×4×1×sinA，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)，又∵△ABC为锐角三角形，∴cosA＝eq\f(1,2)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝4×1×eq\f(1,2)＝2.8．在△ABC中，b＝eq\r(3)，c＝3，B＝30°，则a为()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C.eq\r(3)或2eq\r(3) D．2解析：选C.在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即3＝a2＋9－3eq\r(3)a，∴a2－3eq\r(3)a＋6＝0，解得a＝eq\r(3)或2eq\r(3).9．已知△ABC的三个内角满意2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．解析：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝eq\f(π,3).在△ABD中，AD＝eq\r(AB2＋BD2－2AB·BDcosB)＝eq\r(1＋4－2×1×2×\f(1,2))＝eq\r(3).答案：eq\r(3)10．△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(eq\r(3)－1)∶(eq\r(3)＋1)∶eq\r(10)，求最大角的度数．解：∵sinA∶sinB∶sinC＝(eq\r(3)－1)∶(eq\r(3)＋1)∶eq\r(10)，∴a∶b∶c＝(eq\r(3)－1)∶(eq\r(3)＋1)∶eq\r(10).设a＝(eq\r(3)－1)k，b＝(eq\r(3)＋1)k，c＝eq\r(10)k(k＞0)，∴c边最长，即角C最大．由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,2)，又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.11．已知a,b,c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝5eq\r(3)，则边c的值为________．解析：S＝eq\f(1,2)absinC，sinC＝eq\f(\r(3),2)，∴C＝60°或120°.∴cosC＝±eq\f(1,2)，又∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴c2＝21或61，∴c＝eq\r(21)或eq\r(61).答案：eq\r(21)或eq\r(61)12．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosA∶cosB∶cosC＝________.解析：由正弦定理a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，设a＝2k(k＞0)，则b＝3k，c＝4k，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(2k2＋4k2－3k2,2×2k×4k)＝eq\f(11,16)，同理可得：cosA＝eq\f(7,8)，cosC＝－eq\f(1,4)，∴cosA∶cosB∶cosC＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC中，a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，则b＝________.解析：∵cosC＝eq\f(1,3)，∴sinC＝eq\f(2\r(2),3).又S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝4eq\r(3)，即eq\f(1,2)·b·3eq\r(2)·eq\f(2\r(2),3)＝4eq\r(3)，∴b＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)14．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值为________．解析：在△ABC中，cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(49＋25－36,2×7×5)＝eq\f(19,35)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·cos(π－B)＝7×5×(－eq\f(19,35))＝－19.答案：－1915．已知△ABC的三边长分别是a,b,c，且面积S＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，则角C＝________.解析：eq\f(1,2)absinC＝S＝eq\f(a2＋b2－c2,4)＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)·eq\f(ab,2)＝eq\f(1,2)abcosC，∴sinC＝cosC，∴tanC＝1，∴C＝45°.答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k－1，k，k＋1(k≥2，k∈N)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＋k－12－k＋12＜0,k＋k－1＞k＋1))⇒2＜k＜4，∴k＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为eq\f(32＋42－22,2×3×4)＝e