-古典概型与几何概型

一、古典概型§1.4古典概型与几何概型二、几何概型1.古典概型定义一、古典型概率如果一个随机试验E具有如下特征：(1)试验所有可能的结果是有限个，设为n个，

(2)每一个结果在一次实验中发生的可能性相同,则称该随机试验为等可能概型(或古典概型).

设试验E的样本空间由n个样本点构成,A为E的任意一个事件,且包含

m个样本点,则事件A出现的概率记为:2.古典概型中事件概率的计算公式称此为概率的古典定义.

解例1

计数基本原理乘法原理完成一项任务需分两个阶段，第一阶段有m种方式,式，第一类方式含有m种，完成一项任务有两类方式，有n种,第二阶段有n种方则完成这项任务共有mn

种方式.第二类方式含则完成这项任务共m+n

种方式.加法原理例2

掷两颗均匀的骰子,求出现点数之和为8的概率.P(A)=则A={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}所以,所求事件概率为设A={点数之和为8},解则S中有36个样本点.例3(摸球问题)

一个口袋中装有4个白球6个红球,从中任取两个,求

{取到的两个球中一个是白球一个是红球}的概率；{两个球均为白球}的概率；{至少有一个是红球}的概率.

一般模型：有N个球,其中M个红球.现从中任取

n个,则恰有k（k≤M）个红球的概率为A

例4(分房问题)设有n个人,每个人被分配到个间房中的任一间是等可能的(每个房间的容量不限)，试求下列各事件的概率：(1)每个间房至多有一人的概率

(2)指定的n个房间各有一人的概率

(3)某个指定的房间恰有人的概率

解先求样本空间中所含样本点的个数。首先，把n个人分到N间房中去共有种分法，其次，求每种情形下事件所含的样本点个数。解

设A={指定的n个盒子各有一球},

B={n个球恰好分到n个盒子中}类似问题：分球入盒问题将n个球随机地放入N(N≥n)个盒子中去,求（1）指定的n个盒子各有一球的概率;（2）恰有n个盒子各有一球的概率.在N件产品中抽取n件,其中恰有m件次品的取法共有于是所求的概率为解在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有例5（1）每人取一个,取后不放回(称为不放回抽样)；例6(抽签问题)（2）每人取一个,看过颜色后再放回(称为有放回抽样).例7

在1~99中任取一个整数,求：（1）这个数能被2整除但不能被3整除的概率；（2）这个数能被2或3整除的概率；

（3）这个数既不能被2也不能被3整除的概率.例8

将

15名新生随机地平均分配到三个班级中去,这15名新生中有3名是优秀生.问(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3名优秀生分配在同一个班级的概率是多少?解15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:(1)每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有因此所求概率为(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种,对于每一种分法,其余12名新生的分法有因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有因此所求概率为

把有限个样本点推广到无限个样本点的场合,人们引入了几何概型.由此形成了确定概率的另一方法

——几何方法.古典概率只适用于样本空间中样本点有限的情况,有明显的局限性.如果样本空间中的样本点有无限个就不适用了.二、几何型概率若试验E具有如下特征：（1）试验所有可能的结果是S中的点的全体，其中S为直线、平面或空间中度量有限的区间或区域；（2）试验结果出现在某区域

中可能性的大小与D的测度成正比,而与D的位置及形状无关.则称试验E为几何概型.说明

:当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概率.其中区域的度量在一维空间中是长度,二维空间中是面积,三维空间中是体积.那末两人会面的充要条件为例1

甲、乙两人相约在0到T这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间t(t<T)后离去.设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.会面问题解故所求的概率为若以x,y

表示平面上点的坐标,则有那末例2

甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内到达的时间是等可能的,如果甲船停泊的时间是一小时,乙船停泊的时间是两小时,求它们中