第6章线性系统的校正方法

第六章线性系统的校正方法第六章线性系统的校正方法

6.1校正的基本概念

6.2线性系统的基本控制规律

6.3常用校正装置及其特性6-4校正装置设计的方法和依据

6.5串联校正

6.6反馈校正

6.7复合校正

小结6.1校正的基本概念

在研究系统校正装置时,为了方便,将系统中除了校正装置以外的部分,包括被控对象及控制器的基本组成部分一起,称为“原有部分”(亦称固有部分或不可变部分)。因此,控制系统的校正,就是按给定的原有部分和性能指标,设计校正装置。

在系统中引入一些附加装置来校正系统的暂态性能和稳态性能，使其全面满足性能指标的要求。这些为校正系统性能而有目的地引入的装置称为校正装置。

由控制对象和控制器的基本组成部分构成的反馈控制系统性能一般比较差。设计的任务：根据所要求的性能指标和技术条件选择校正装置，确定校正装置的类型并计算出具体参数。校正中常用的性能指标包括稳态精度、相对稳定裕量以及响应速度等。(1)稳态精度指标:包括静态位置误差系数Kp,静态速度误差系数Kv和静态加速度误差系数Ka。

(2)稳定裕量指标:通常希望相角裕量γ=45°~60°,增益裕度Kg≥10dB,谐振峰值Mr＝1.1～1.4,超调量σ＜25%,阻尼比ζ＝0.4～0.8。

等等,只要考虑得当,这些关系亦可用来指导高阶系统的设计。

(3)响应速度指标:包括上升时间tr,调整时间ts,剪切频率ωc,带宽BW,谐振频率ωr。

校正装置接入系统的形式主要有两种:一种是校正装置与被校正对象相串联,如图6-1(a)所示，这种校正方式称为串联校正；简单、容易实现。6-1(a)串联校正校正装置Gc(s)原有系统Go(s)C(s)R(s)+­从被校正对象引出反馈信号,与被校正对象或其一部分构成局部反馈回路,并在局部反馈回路内设置校正装置，这种校正方式称为局部反馈校正或并联校正,如图6-1(b)所示。改善系统的性能，抑制系统参数的波动和减低非线性因素的影响。

(b)反馈校正原有部分Go(s)校正装置Gc(s)

-+

-R(s)C(s)+为提高性能,也常采用如图(c)所示的串联反馈校正。图(d)所示的称为前馈补偿或前馈校正。在此,反馈控制与前馈控制并用,所以也称为复合控制系统。可以在保证系统稳定性的前提下，减小稳态误差，抑制可以测得的扰动。图6-1校正装置在控制系统中的位置一般来说,串联校正简单,较易实现。目前多采用有源校正网络构成串联校正装置。串联校正装置常设于系统前向通道的能量较低的部位,以减少功率损耗。反馈校正的信号是从高功率点传向低功率点,故通常不需采用有源元件。采用反馈校正还可以改造被反馈包围的环节的特性,抑制这些环节参数波动或非线性因素对系统性能的不良影响。复合控制则对于既要求稳态误差小,同时又要求暂态响应平稳快速的系统尤为适用。综上所述,能够满足性能指标的校正方案不是唯一的。在进行校正时还应注意,性能指标不是越高越好,因为性能指标太高会提高成本。另外当所要求的各项指标发生矛盾时,需要折衷处理。6.2线性系统的基本控制规律图6-2控制系统1.比例(P-proportion)控制规律具有比例控制规律的控制器,称为比例(P)控制器，则Gc(s)＝Kp,称为比例控制器增益。比例控制(Proportionalcontrol)、微分控制(Derivativecontrol)、积分控制(Integralcontrol)比例控制器实质上是一个具有可调增益的放大器。在串联校正中,加大控制器增益Kp,可以提高系统的开环增益,减小系统的稳态误差,从而提高系统的控制精度,但会降低系统的相对稳定性,甚至可能造成闭环系统不稳定。因此,在系统校正设计中,很少单独使用比例控制规律。特点：输出能够无失真地，按比例复现输入。按偏差产生即时的控制作用。对改变零极点分布的作用有限。以二阶系统为例。开环传递函数为

系统为Ⅰ型，稳态速度误差系数为：要想减小稳态误差则要增大Kp。后果是可能使系统暂态响应有很大的超调量和剧烈振荡。

2.比例-微分(PD)控制规律

具有比例-微分控制规律的控制器,称为比例-微分(PD)控制器，则图6-3中的Gc(s)＝Kp＋KDs,其中Kp为比例系数,KD为微分系数，单位为s。图6-3比例-微分控制系统开环传递函数为增加了一个零点-KP/KD，根轨迹向左偏移。闭环系统的传递函数特征方程为化为根轨迹向左方移动。为减小稳态误差增大Kp时，可以选择适应的KD以改善暂态性能。在会合点处：KD=0时，起始于复数极点。

微分控制是一种“预见”性控制，有利于改善动态性能。微分控制也可以改善稳态精度，条件是稳态误差是随时间变化的。

例6-1

试分析PD控制器对系统性能的影响。

解无PD控制器时,系统的特征方程为Js2+1=0显然,系统的阻尼比等于零,系统处于临界稳定状态,即实际上的不稳定状态。接入PD控制器后,系统的特征方程为Js2+Kpτds+Kp=0其阻尼比 ,因此闭环系统是稳定的。Kp(1+Tds)R(s)+

­C(s)E(s)21Js

需要注意的是,因为微分控制作用只对动态过程起作用,而对稳态过程没有影响,且对系统噪声非常敏感,所以单一的微分控制器在任何情况下都不宜与被控对象串联起来单独使用。通常,微分控制器总是与比例控制器或比例-积分控制器结合起来,构成组合的PD或PID控制器,应用于实际的控制系统。

3.积分(I_integral)控制规律具有积分控制规律的控制器,称为积分(I)控制器。则Gc(s)＝KI/(s),其中KI为可调比例系数。由于积分控制器的积分作用,当输入信号消失后,输出信号有可能是一个不为零的常量。在串联校正时,采用积分控制器可以提高系统的型别(Ⅰ型系统,Ⅱ型系统等),有利于系统稳态性能的提高,但积分控制使系统增加了一个位于原点的开环极点,使信号产生90°的相角滞后,对系统的稳定性不利。因此,在控制系统的校正设计中,通常不宜采用单一的积分控制器。4.比例积分(PI)控制开环传递函数为增加了在原点处的极点和一个零点-KI/KP，积分控制把系统变成Ⅱ型，改善稳态误差。增加零点可以改善暂态响应。闭环特征方程为：KP=0，系统将不稳定。选定KP，增大KI系统将不稳定。稳定的充要条件为：KP，KI过大，会出现很大的超调；若小则响应速度很慢。采用PID控制可以兼顾稳态和暂态性能。＋＋＋－R(s)C(s))2(2nnsszww+KpKI/s

例6-2

设比例-积分控制系统如图6-4所示,试分析PI控制器对系统稳态性能的改善作用。图6-4比例-积分控制系统R(s)+

­E(s)Kp(1+)sτi1)1(+τssKC(s)解接入PI控制器后,系统的开环传递函数为可见,系统由原来的Ⅰ型系统提高到Ⅱ型系统。若系统的输入信号为单位斜坡函数,则无PI控制器时,系统的稳态误差为1/K;接入PI控制器后,稳态误差为零。表明Ⅰ型系统采用PI控制器后,可以消除系统对斜坡输入信号的稳态误差,控制准确度大为改善。其中,参数τ,

τi,K,Kp都是正数。由劳斯判据可知,τi·KKp

τi＞ττi·KKp,即调整PI控制器的积分时间常数τi,使之大于被控对象的时间常数τ,

可以保证闭环系统的稳定性。采用PI控制器后,系统的特征方程为(4)并联支路反馈控制通过改善固有部分局部环节的特性(如二阶振荡环节)来改善整个系统的性能，提高抗扰性及其它非线性因素的影响。

5.比例-积分-微分(PID)控制规律

具有比例-积分-微分控制规律的控制器,称为比例-积分-微分(PID)控制器。则Gc(s)=Kp[1+1/(τis)+τds]。

式中,若4τd/τi＜1,则6.3常用校正装置及其特性校正装置分为有源和无源装置。校正网络可以视为滤波器，将引入一定的相移。比例微分校正装置比例积分校正装置比例积分微分校正装置根据引入的相位情况，可分为：超前校正装置、滞后校正装置、超前-滞后校正装置。是一高通滤波器，产生正相移；是一低通滤波器，产生负相移；无疑是由其参量决定的带通滤波器。6.3.1相位超前校正装置零点：极点：无源装置使用条件：输入信号源内阻为零，输出端的负载阻抗为无穷大。比例微分u1R2R1u2Cu1R2R1u2CRCRr校正装置jω×-1/τ-1/ατσ0nextα<1演示U2=U1·R2/(Rn+R2)U1R2R1U21/SCRnRn=(1/SC)//R1=R1/(1+SR1C)G=U2/U1=R2/(Rn+R2)ωL(ω)/dB0dBω0°φ(ω)20lgα相位超前校正网络的Bode图-10dB-20dB1/τ1/ατφmωm20°40°[+20]开环放大倍数下降α倍，可能导致稳态误差增加。相频特性则表明：在ω由0至∞的所有频率下，φ(ω)均为正值，即网络的输出信号在相位上总是超前于输入信号的。相位超前网络的相角为：令：解得：也可以写成：

所提供的超前相角也即φm越大，α越小，网络增益的衰减也越剧烈。

超前网络相当于一个高通滤波器，过小的α值对抑制噪声不利。α一般大于0.05。此时最大超前相角？

超前校正的主要作用是产生超前角,可以用它部分地补偿被校正对象在截止频率ωc附近的相角迟后,以提高系统的相角裕度,改善系统的动态性能。6.3.2相位滞后校正装置

零点：极点：比例积分jω×-1/βτ-1/τσ0ωL(ω)/dB0dBω0°φ(ω)20lg1/β相位滞后校正网络的Bode图-10dB-20dB1/τ1/βτφmωm-20°-40°[-20]低频开环增益不变，ω=1/τ后开环增益下降β倍。相频特性则表明：在ω由0至∞的所有频率下，φ(ω)均为负值，即网络的输出信号在相位上总是滞后于输入信号的。

相频特性φc(ω)在转折频率ω1=1/βτ和ω2=1/τ之间存在最大值φm。

由于网络的相角滞后，校正后可能对系统的相角裕度带来不良的影响。因此，采用滞后校正装置对系统进行串联校正时，应力图避免使其最大滞后角φm出现在校正后系统的ωc的附近。为此，通常使ω2＝1/τ远小于ωc

。一般取此时

极点比零点更靠近坐标原点。从根轨迹的角度看，如果τ值足够大，则滞后网络将提供一对靠近坐标原点的开环偶极子，其结果是：在不影响远离偶极子处的根轨迹前提下，大大提高了系统的稳态性能。如何记忆两种装置的零极点分布及影响？jω×-1/τ-1/ατσ0jω×-1/βτ-1/τσ0超前滞后ωL(ω)/dB0dBφ(ω)20lgα相位超前校正网络的Bode图-10dB-20dB1/τ1/ατωm[+20]ωL(ω)/dB0dB20lg1/β相位滞后校正网络的Bode图-10dB-20dB1/τ1/βτωm[-20]6.3.3相位滞后-超前校正装置设R1C1=τ1，R2C2=τ

2，R1C2=τ

12。如果令β>1且具有滞后校正的性质。具有超前校正的性质。-1/τ2-β/τ2超前可以求得当时，相角为零。滞后部分有利于提高稳态性能。超前部分有利于提高动态性能。ImRe-1/τ1-1/βτ1滞后ImReImReIm-1/βτ1ReIm-1/τ1-1/βτ1ReIm-1/τ1-1/βτ1ReImImRe-1/τ1-1/βτ1ImReImReIm-1/βτ1ReIm-1/τ1-1/βτ1ReIm-1/τ1-1/βτ1ReImωL(ω)/dB0dBω20°φ(ω)20lg1/β相位滞后-超前校正网络的Bode图-10dB-20dBω1-0°-20°[-20]1/τ11/βτ11/τ2β/τ2

超前校正装置可增加频带宽度,提高快速性,但损失增益,不利于稳态精度;迟后校正装置则可提高平稳性及稳态精度,但降低了快速性。若采用滞后-超前校正装置,则可全面提高系统的控制性能。PID控制器是一种滞后-超前校正装置。

6.3.4有源校正装置1.实际的无源校正网络很难达到预期的效果，原因是输入阻抗不为零，输出阻抗也不为无穷大。2.无源校正网络具有衰减特性。有源校正装置利用运算放大器及输入端和反馈电路中的无源网络构成，具有良好的特性。

理想运算放大器的特性：输入阻抗为∞；输出阻抗为零；电压增益为∞；带宽为∞；输入与输出间存在线性关系；输入与输出之间无相移。

实际的运算放大器：输出存在饱和值；高频段是急剧衰减的；为使放大器稳定工作，内部有校正装置。实际有源比例微分校正装置特性分析比例微分校正装置式中10102103104105106107108ω/s-12040①②③④-20dB/dec20dB/dec配置参量K=1，令τ=0.1s选择运放的输出饱和电压±10VL(ω)/dBUi=sin(wt)

①Ui=0.1sin(wt)

②6.4校正装置设计的方法和依据设计校正装置的方法系统的分析方法：时域法和频域法时域法：单纯的时域法是以描述系统运动规律的微分方程作为基础的。微分方程不能直观地显示出系统的结构和参量，更难直接从中找出系统结构和参量与性能的关系。根轨迹法：根轨迹分析系统结构已定，某一参量变化是系统闭环极点形成的轨迹。在设计校正装置时，首先确定系统闭环极点的位置，其次要由开环极点出发的某一参量变化轨迹，当所要求的闭环极点不在此根轨迹上，就要设计校正装置加入系统。这就存在如何选择装置和参量，使问题复杂。使用什么方法哪？就目前看，对于单变量定常线形系统校正装置的设计，使用频率特性法比较方便。频域法①伯德图绘制容易②直观地显示出系统的结构参量及其性能

③根据系统的性能指标要求确定出系统的期望开环伯德图，根据差异，大致确定附加何种控制规律的校正装置和配置的参量数值。设计校正装置的依据设计系统的校正装置的过程：（1）已知控制系统固有部分的结构、特征及参量，并绘制系统固有部分的开环伯德图；（2）列出控制系统需要满足的性能指标；（3）从性能指标要求去确定系统校正后的开环伯德图，亦称期望特性或预期特性；（4）求得校正装置的伯德图并按此予以实现。稳态性能和暂态性能系统要求性能指标？系统类型决定稳态误差，根据稳态误差要求选取系统类型和有关参量。前提：系统闭环是稳定的。暂态性能指标：（1）以系统的单位阶越响应为基础提出的性能指标有调整时间ts最大超调量Mp%峰值时间tp（2）以系统的闭环频率特性（伯德图）为基础提出的性能指标有带宽频率ωb；谐振峰值Mr；峰值频率ωr。（3）以系统的开环幅频特性（伯德图）为基础提出的性能指标有系统开环伯德图的剪切频率ωc；系统的相角裕量γ，或称相对稳定性。带宽频率ωb：对系统性能起重要影响，确定ωb受诸多因素制约。（1）为使控制系统能够尽可能无失真地复现输入中的有关信号，同时又尽可能强有力地抑制噪声和干扰，建议系统的带宽频率ωb可按5ωs<ωb<ωn/2

输入信号有用带宽频段是0~ωs

，噪声和干扰信号集中起作用的频段为ωn~ωh

。ωM(jω)oω|R(jω

)|o|N(jω

)|M(0)ωbωsωnωh|R(jω

)||N(jω

)|（2）以上确定系统带宽频率ωb只考虑了如何能更好地复现输入和更好地抑制噪声，但在机电系统中仅此尚有不足。此时考虑机械部件运动的谐振频率ωm影响，一般选定ωb≤ωm/5相对于系统开环伯德图而言，希望尽可能使剪切频率ωc距ωm远一些。（3）人们希望设计出既能满足性能指标要求又尽可能简单易于实现的校正装置。如果系统的固有部分数学模型阶数高且结构复杂，则设计得到的必是数学模型阶次高而且极难实现的校正装置。简化固有部分的数学模型期望的开环频率特性类型开环传递函数伯德图0型I型II型ωωωL(ω)/dBL(ω)/dBL(ω)/dB0000-20-40-20-20-40-40-40校正装置的实现其它因素的影响(非线性、噪声干扰)经济、实用特别是微分校正装置6.5串联校正的设计利用频率特性设计设计指标为频域参量：相角裕度γ，谐振峰值Mr，闭环系统带宽ωb，开环对数频率特性的剪切频率ωc，开环增益。将时域参量转换成频域参量给定时域参量时，怎么处理？设计要求期望特性低频段的增益满足稳态误差的要求;期望特性高频段应尽可能迅速衰减，以抑制噪声的不良影响。期望特性中频段的斜率（剪切率）一般为-20dB/dec，并且具有所要求的剪切频率ωc;6.5.1超前校正问题的提出例：系统如图所示，要求1.在单位斜坡输入下稳态误差ess≤0.1；2.开环剪切频率3.相角裕度幅值裕度问是否需要校正，怎样校正？解：首先进行稳态计算给定系统是Ⅰ型系统K=10可以满足稳态误差要求。未校正前系统的开环传函为ωL(ω)/dB40dBω0°φ(ω)-0dB-20dBφmωc-90°[-20]20dB-40dB[-40]101100-90°-180°未校正系统：γL0(ω)问题：相角裕度小剪切频率小校正后系统：6.5.2超前校正设计方法引入超前校正。其影响为：1.提供一个正的相角，改善相角裕度，降低系统响应的超调量；2.超前校正导致剪切频率增加，可以提高快速性。接上题，设计校正后开环剪切频率ωc′=4.4rad/s。令超前校正网络在ωc′处提供最大相角φm，所以ωm=ωc′=4.4。要使ωc′为校正后的剪切频率，校正网络在ωc′处的幅值应为6dB.此时原系统在ωc′处的相角裕度校正后的相角裕度为确定超前校正的两个转折频率求超前校正网络的传递函数。为满足静态性能指标K=10，校正网络传递系数须提高1/α=4倍。得到校正网络的传递函数为得到校正后系统的开环传递函数为校核系统的性能指标确定无源网络的元件参数串联超前校正的步骤：1.根据稳态误差的要求，确定开环传递系数K；2.确定在K值下的系统开环伯德图，并求出未校正系统的相角裕度和幅值裕度。3.确定校正后系统的ωc′和γ′值。(1)若先对校正后的系统的ωc′提出要求，则按选定的ωc′确定L0(ωc′)。取ωm=ωc′使超前网络在ωm处的幅值10lg1/α满足L0(ωc′)+10lg1/α=0求出超前网络的α值。(2)若未对校正后的系统的ωc′提出要求，则可由给出的γ′值求出网络的最大超前相角：

γ为校正前系统的相角裕度，ε为校正网络的引入使ωc′增大而造成的相角裕度减小的补偿量。一般取5°～20°。求出φm后就可根据求出α。然后在未校正系统的L0(ωc′)

特性上查出其值等于-101g(1/α)所对应的频率，这就是校正后系统新的剪切频率ωc′且

ωm=ωc′4.确定校正网络的传递函数根据求得的φm和α值得到τ。5.画出校正后系统的伯德图，并校验，如不满足可改变φm或ωc′重新计算，直到满足指标为止。6.确定电气网络的参数值。例：系统如图所示，要求1.稳态速度误差系数KV=20s-1；2.相角裕度幅值裕度设计校正装置。解：首先将传递函数化为K=10可以满足稳态误差要求。(1)静态速度误差系数ωL(ω)/dB40dBω0°φ(ω)-0dB-20dBφmωc-90°[-20]20dB-40dB[-40]101100-90°-180°未校正系统：γL0(ω)校正后系统：(2)确定校正后的剪切频率ωc′和α值。故有-101g(1/α)=-101g(1/0.238)=-6.2dB得到L0(ωc′)

特性上查出其值等于-101g(1/α)所对应的频率就是校正后系统新的剪切频率ωc′由(3)确定校正网络参数校正网络的传递函数为校正后开环系统的传递函数为校验(4)校正网络的实现BodeDiagramFrequency(rad/sec)-100-50050Magnitude(dB)10-1101102103-180-135-90-45045Phase(deg)100

System:G

PhaseMargin(deg):18

DelayMargin(sec):0.0508

Atfrequency(rad/sec):6.17

ClosedLoopStable?Yes

System:G1

PhaseMargin(deg):50.7

DelayMargin(sec):0.0993

Atfrequency(rad/sec):8.91

ClosedLoopStable?Yes阶跃响应图校正前校正后StepResponseTime(sec)Amplitude012345600.20.40.60.811.21.41.61.8StepResponseTime(sec)Amplitude00.10.20.30.40.50.60.70.80.900.20.40.60.811.21.4超前校正的基本原理是利用超前校正网络的相角超前特性去增大系统的相角裕度,以改善系统的暂态响应。因此在设计校正装置时应使最大的超前相位角尽可能出现在校正后系统的剪切频率ωc处。用频率特性法设计串联超前校正装置的步骤大致如下:(1)根据给定的系统稳态性能指标,确定系统的开环增益K;(2)绘制在确定的K值下系统的伯德图,并计算其相角裕度γ0;(3)根据给定的相角裕度γ,计算所需要的相角超前量φ0:因为考虑到校正装置影响剪切频率的位置而留出的裕量,上式中取ε=15°~20°；自学（与前面的比较）

(4)令超前校正装置的最大超前角φm=φ0,并按下式计算校正网络的系数α值:如φm大于60°,则应考虑采用有源校正装置或两级超前网络串联;

(5)将校正网络在ωm处的增益定为10lgα,同时确定未校正系统伯德曲线上增益为－10lgα处的频率即为校正后系统的剪切频率ωc=ωm;

(6)确定超前校正装置的交接频率:

(7)画出校正后系统的伯德图,验算系统的相角稳定裕度。如不符要求,可增大ε值,并从第(3)步起重新计算;(8)校验其他性能指标,必要时重新设计参量,直到满足全部性能指标。例6-3

设Ⅰ型单位反馈系统原有部分的开环传递函数为要求设计串联校正装置,使系统具有K＝12及γ0＝40°的性能指标。

解当K＝12时,未校正系统的伯德图如图6-11中的曲线Go,可以计算出其剪切频率ωc1。由于伯德曲线自ω=1s-1开始以－40dB/dec的斜率与零分贝线相交于ωc1,故存在下述关系:故 。于是未校正系统的相角裕度为图6-11例6-3的伯德图幅频特性为使系统相角裕量满足要求,引入串联超前校正网络。在校正后系统剪切频率处的超前相角应为φ0=40°-16.12°+6.12°=φm

因此在校正后系统剪切频率ωc2=ωm处校正网络的增益应为10lg4.60＝6.63dB。

根据前面计算ωc1的原理,可以计算出未校正系统增益为－6.63dB处的频率即为校正后系统之剪切频率ωc2,即校正网络的两个交接频率分别为为补偿超前校正网络衰减的开环增益,放大倍数需要再提高α＝4.60倍。经过超前校正,系统开环传递函数为其相角裕度为γ2=180°-90°+arctg5.07/2.66-arctg5.07-arctg5.07/10.87=48.47°＞40°符合给定相角裕度40°的要求。用MATLAB求得ωc2=4.67s-1,γ2=49.18°,其程序如下：sys=tf(conv([12],[1/2.661]),conv(conv([10],[11]),[1/10.871]));margin(sys)

综上所述,串联相位超前校正装置使系统的相角裕度增大,从而降低了系统响应的超调量。与此同时,增加了系统的带宽,使系统的响应速度加快。6.5.3、串联相位滞后校正滞后校正问题的提出。例：闭环系统如图所示1.稳态速度误差系数KV=30s-1；2.相角裕度幅值裕度分析应该如何校正系统。未校正系统的伯德图-120-100-80-60-40-200204060Magnitude(dB)

System:G

GainMargin(dB):-6.02

Atfrequency(rad/sec):7.07

ClosedLoopStable?No10-1100101102103-270-225-180-135-90Phase(deg)

System:G

PhaseMargin(deg):-17.2

DelayMargin(sec):0.612

Atfrequency(rad/sec):9.77

ClosedLoopStable?NoBodeDiagramFrequency(rad/sec)g¢L¢系统不稳定!能否采用超前校正？如果采用串联超前校正，超前网络至少要提供40+17.27+5=62.26的最大超前角。可求得α=0.06，对抑制高频干扰、提高系统的信噪比是很不利的。解：(1)根据静态速度误差系数确定K值。另一方面，系统经超前校正后，其截止频率必会升高(右移)。原系统相位在ωc附近急剧下降，很大程度上抵消了校正网络带来的相角超前量。要求的截止频率ωc′比校正前原系统的ωc

小，可以在保持低频段不变的前提下，适当降低其中、高频段的幅值，这样，截止频率必然左移(减小)，相角裕度将显著增大。串联滞后网络正好具备这种特性。校正方法：(1)根据校正后系统相角裕度不少于40°的要求，考虑到校正网络在校正后系统的ωc′处会产生一定相角滞后的副作用。其值通常在-15°～-5°之间，现假定为-6°，作为网络副作用的补偿量。本例取γ′=46°。由校正前的频率特性图知当ω=2.7时，γ=46.5°(自己计算)可选择ωc′=2.7>2.3(2)可选择ωc′=2.7时，未校正系统的幅值为L0(ωc′)=21dB。欲使校正后L(ω)曲线在ωc′=2．7处通过零分贝线，幅频特性就必须往下移21dB。所以滞后网络本身的高频段幅值应是β=11.2(3)求校正网络的传递函数取校正网络的第二个转折频率为校正网络为(4)校正后系统的传递函数为(5)求电气元件参数满足要求。？校正后系统的伯德图Lc(ω)L(ω)Lo(ω)阶跃响应图校正前校正后滞后校正的结果：降低了剪切频率，从而提高了相角裕度。应用场合：系统快速性要求不高，但对抗扰性要求较高。具有满意的动态性能但稳态性能不理想。串联滞后校正网络的设计步骤：（1）根据稳态误差的要求，确定开环放大倍数K。绘制未校正系统的伯德图，确定ωc、γ、Lg等参量。（2）确定校正后系统的剪切频率ωc′，原系统在新的剪切频率ωc′处具有相角裕度应满足

γ′—为要求达到的相角裕度。Δ′—是为补偿滞后网络的副作用而提供的相角裕度的修正量，一般取5°～15°。原系统中对应γ(ωc′)处的频率即为校正后系统的剪切频率ωc′。（3）求滞后网络的β值。未校正系统在ωc′的对数幅频值为L0(ωc′)应满足由此式求出β值。（4）确定校正网络的传递函数。选取校正网络的第二个转折频率由τ和β可以得到校正网络的传递函数（5）校验是否满足性能指标。

不满足进一步左移ωc′。（6）确定校正网络元件值。例控制系统如图所示试分析闭环系统性能，并设计校正装置。分析：原系统的相角裕度约为52°，幅值裕度为14dB。具有很好的动态性能。但稳态速度误差系数很小。如何在不改变动态性能的情况下提高稳态性能？10-210-1100101102103-270-225-180-135-90

System:L0

PhaseMargin(deg):55.6

DelayMargin(sec):1.08

Atfrequency(rad/sec):0.898

ClosedLoopStable?YesPhase(deg)-150-100-50050100Magnitude(dB)BodeDiagramFrequency(rad/sec)125K提高10倍后，剪切频率约为4rad/s，相角裕度约为-10°系统不稳定。可采用滞后网络，使中、高频段下移，从而剪切频率左移，相角裕度增加。选滞后网络的相角滞后补偿量原系统在新的剪切频率ωc′处应具有的相角裕度为：因此由相角公式可以得时，而此时L1(ω)＝23dB。为了使校正后的幅频特性在ω＝ωc′＝0.7时穿越0dB线，L1(ω)应在中高频段衰减23dB。为此23＋20lg(1/β)＝0解得β＝14.1若选择滞后网络第二个转折频率为：τ=1/0.14=7.1βτ

＝0.14×7.1＝100于是，滞后网络的传递函数为：校正后开环系统的传递函数为：校验后

与Kv=1时相比，动态性能不变，速度误差系数增大了10倍，从而减小了稳态误差，提高了稳态性能。23dBLc(ω)L(ω)L0‘(ω)例

设Ⅰ型系统,原有部分的开环传递函数为试设计串联校正装置,使系统满足下列性能指标:K≥5,γ≥40°,ωc≥0.5s-1。解以K＝5代入未校正系统的开环传递函数中,并绘制伯德图。可以算得未校正系统的剪切频率ωc1。由于在ω=1s-1处,系统的开环增益为20lg5dB,而穿过剪切频率ωc1的系统伯德曲线的斜率为－40dB/dec,所以伯德图幅频特性10.01wc1­20dB/dec0.120lg5­40dB/dec410L(w)(dB)50403020100­10­20­30­40­60dB/decwWc1=51/2=2.24s-1γ=-5.1°相应的相角稳定裕度为γ0=180°-90°-arctgωc1-arctg0.25ωc1=90°-arctg2.24-arctg0.56=-5.19°说明未校正系统是不稳定的。计算未校正系统相频特性中对应于相角裕度为γ2=γ+ε=40°+15°=55°时的频率ωc2。由于γ2=180°-90°-arctgωc2-arctg0.25ωc2=55°或arctgωc2+arctg0.25ωc2=35°即解得此值符合系统剪切频率ωc≥0.5s-1的要求,故可选为校正后系统的剪切频率。伯德图幅频特性10.0013w10.01wc1Gc­20dB/dec0.1GO20lg5­40dB/dec410L(w)(dB)50403020100­10­20­30­40­60dB/decGcGowwc3wc2Wc1=2.24s-1γ=-5.1°-20lgβ当ω=ωc2=0.52s-1时,令未校正系统的开环增益等于20lgβ,从而求出串联迟后校正装置的系数β。由于未校正系统的增益在ω＝1s-1时为20lg5,故有故选β＝10。选定ω2=1/τ=ωc2/4=0.13s-1,则于是,迟后校正网络的传递函数为故校正后系统的开环传递函数为系统的相角稳定裕度为γ=180°-90°+arctg7.7ωc2-arctg77ωc2-arctgωc2-arctg0.25ωc2=42.53°＞40°还可以计算迟后校正网络在ωc2时的迟后相角从而说明,取ε=15°是正确的。伯德图幅频特性10.0013w10.01wc1Gc­20dB/dec0.1GO20lg5­40dB/dec410L(w)(dB)50403020100­10­20­30­40­60dB/decGcGowwc3wc2Wc1=2.24s-1γ=-5.1°20lgβ6.5.4、滞后－超前校正超前网络改善动态性能，滞后网络改善稳态性能。设计方法：(1)根据对系统稳态性能的要求，确定系统应有的开环传递系数K，并以此值绘制未校正系统的伯德图。(2)选择一个新的截止频率ωc′，使在这一点上能通过校正网络的超前环节提供足够的相角超前量，使系统满足相角裕度的要求；又能通过网络的滞后环节，把这一点原幅频特性L(ωc′)衰减至0dB。（3）确定滞后部分的转折频率1/τ2

和1/(βτ

2)。β值的选择依据有二：一是能把ω=ωc′处的原幅频值L0(ωc′)衰减到0dB，另一方面使超前网络在ω=ωc′处能提供足够的相角超前量。（4）确定超前部分的转折频率1/τ1

和β/τ

1。（5）画出校正后系统的Bode图，验证性能指标。设某单位反馈系统的传递函数为要求静态速度误差系数Kv=10，相角裕度γ′＝50°,设计一个相位滞后——超前校正装置。解：（1）根据静态指标有：得到K＝20.画出K＝20时的开环频率特性。从Bode图上可以看出在剪切频率ωc＝2.7rad/s处，相角裕度γ=-32°系统不稳定。ωc=2.7γ=-32°[-20][-40][-60]12γ′＝50°ωc′=1.51/τ1=0.7β/τ

1=71/τ

2=0.151/βτ2=0.015γ＝50°Lg=16dB-13dB（2）确定校正后系统的剪切频率ωc′若没有对ωc′提出明确要求，可选择在φ0(ω)＝180°处，此时ωc′＝1.5，原系统γ＝0°。此时L0(1.5)=13dB,φ0(1.5)＝180°（3）确定滞后部分的转折频率1/τ2

和1/(βτ2)。考虑到滞后部分对γ值的不良影响，选选β＝10，可以保证超前部分能提供超过50°的相角。且有20lgβ＞13dB。于是滞后部分的传递函数为（4）确定超前部分的转折频率1/τ1

和β/τ

1。过ω=1.5及L(1.5)=-13dB的坐标点做一条斜率为20dB/dec直线，交-20lgβ=-20dB线于ω=0.7处，交0dB线于ω=7处。则：超前部分的传递函数为：（5）整个滞后－超前部分的传递函数为：相角裕度γ＝50°，幅值裕度Lg=16dB，Kv=10。校验6.6反馈校正反馈校正的特点是采用局部反馈包围系统前向通道中的一部分环节以实现校正,其系统方框图所示。图中被局部反馈包围部分的传递函数是G1(s)G2(s)Gc(s)_+R(s)G2c(s)C(s)+_图6-14反馈校正系统(6.21)当时系统特性几乎与被包围的环节G2(jω)无关，只和反馈环节特性有关。当时系统特性几乎与Gc(jω)无关，即反馈环节不起作用。适当地选择校正装置的形式和参数，就能改变校正后系统的频率特性，使系统满足所要求的性能指标。6.6.1利用反馈校正改变局部结构和参数

1.比例反馈包围积分环节则结果：由原来的积分环节转变成惯性环节。(6.22)2.比例反馈包围惯性环节则结果仍为惯性环节,但时间常数和比例系数都缩小很多。反馈系数Kh越大,时间常数越小。时间常数的减小,说明惯性减弱了,通常这是人们所希望的。比例系数减小虽然未必符合人们的希望,但只要在G1(s)中加入适当的放大器就可以补救,所以无关紧要。(6.23)3.微分反馈包围惯性环节则(6.24)结果仍为惯性环节,但时间常数增大了。反馈系数Kh越大,时间常数越大。因此,利用反馈校正可使原系统中各环节的时间常数拉开,从而改善系统的动态平稳性。4.微分反馈包围振荡环节则(6.25)结果仍为振荡环节,但是阻尼系数却显著增大,从而有效地减弱小阻尼环节的不利影响。微分反馈是将被包围的环节的输出量速度信号反馈至输入端故常称速度反馈。速度反馈在随动系统中使用得极为广泛,而且在具有较高快速性的同时,还具有良好的平稳性。当然实际上理想的微分环节是难以得到的,如测速发电机还具有电磁时间常数,故速度反馈的传递函数可取为Khs/(τis+1),只要Ti足够小(10-2~10-4s),阻尼效应仍是很明显的。6.6.2利用反馈校正取代局部结构

图6-14中局部反馈回路G2c(s)的频率特性为(6.26)在一定的频率范围内,如能选择结构参数,使则(6.27)这表明整个反馈回路的传递函数等效为(6.28)和被包围的G2(s)全然无关,达到了以1/Gc(s)取代G2(s)的效果。反馈校正的这种作用有一些重要的优点:

首先,G2(s)是系统原有部分的传递函数,它可能测定得不准确,可能会受到运行条件的影响,甚至可能含有非线性因素等,直接对它设计控制器比较困难,而反馈校正Gc(s)完全是设计者选定的,可以做得比较准确和稳定。所以,用Gc(s)改造G2(s)可以使设计控制器的工作比较简单;而把G2(s)改造成1/Gc(s),所得的控制系统也比较稳定。也就是说,有反馈校正的系统对于受控对象参数的变化敏感度低。这是反馈校正的重要优点。其次,反馈校正是从系统的前向通道的某一元件的输出端引出反馈信号,构成反馈回路的,这就是说,信号是从功率电平较高的点传向功率电平较低的点。因而通常不必采用附加的放大器。因此,它所需的元件数目往往比串联校正少,所用的校正装置也比较简单。还有,反馈校正在系统内部形成了一个局部闭环回路,作用在这个回路上的各种扰动,受到局部闭环负反馈的影响,往往被削弱。也就是说,系统对扰动的敏感度低,这样可以减轻测量元件的负担,提高测量的准确性,这对于控制系统的性能也是有利的。6.7复合校正6.7.1反馈与给定输入前馈复合校正图6-15按输入补偿的复合控制系统在此,除了原有的反馈控制外,给定的参考输入R(s)还通过前馈(补偿)装置Fr(s)对系统输出C(s)进行开环控制。对于线性系统可以应用叠加原理,故有C(s)={[R(s)-C(s)]G1(s)+R(s)Fr(s)}G2(s)或(6.29)如选择前馈装置Fr(s)的传递函数为(6.30)则可使输出响应C(s)完全复现给定参考输入,于是系统的暂态和稳态误差都是零。6.7.2反馈与扰动前馈复合校正图6-16按扰动补偿的复合控制系统