第6章弯曲变形

11广州塔山西应县木塔赵州桥北京理工大学研制材料力学2

作业习题：P1916-2(d),3(c)思考：P1866-5,6,7,8复习：第六章w向上为正逆时针为正截面形心在力方向上有位移，垂直于x方向上有纵向线位移截面绕中性轴转过的角度横截面，在力的作用下，发生了纵向位移的同时产生了转角挠曲线挠度转角弯曲变形的力学描述上次课内容挠曲线微分方程：弯曲变形的数学意义挠曲线近似微分方程：适用范围：线弹性、小变形积分一次转角方程：积分二次挠曲线方程：积分常数，由梁的约束条件决定上次课内容抗弯刚度悬臂梁：xw2、梁的边界条件——约束L§6-3

用积分法求梁的变形不能产生线位移不能产生角位移固定端不能动简支梁：xwL2、梁的边界条件§6-3

用积分法求梁的变形固定铰和可动铰都可动都限制线位移，不限制角位移转角转角水平方向微小位移，铅垂不许位移水平、铅垂方向均不许位移3、连续性条件CPABaLxw边界条件；光滑、连续性条件：挠曲线的连续性光滑性§6-3

用积分法求梁的变形例：简支梁上作用有集中力控制界面：3个；梁分成：2段；弯矩方程：2个；挠曲线：2个ABLaCMxw特别强调：中间铰两侧转角不同，挠度是唯一的连续不光滑§6-3

用积分法求梁的变形边界条件：连续性条件：4、静定多跨梁中间铰处连续、不光滑例：写出梁的边界条件、连续性条件。xwkCPABaL边界条件：光滑连续性条件：§6-3

用积分法求梁的变形例：写出梁的边界条件、连续性条件。hEACPABaL边界条件：光滑连续性条件：§6-3

用积分法求梁的变形讨论：挠曲线分段（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系为两部分间的相互作用力，故应作为分段点§6-3

用积分法求梁的变形（4）凡分段点处应列出连续条件根据梁变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转角；在中间铰两侧转角不同，但挠度是唯一的。例：悬臂梁受力如图所示。求wA和A。xwx解：建坐标系1、列写弯矩方程2、代入挠曲线近似微分方程中积分一次：积分二次：转角方程挠曲线方程AqBL§6-3

用积分法求梁的变形3、确定常数C、D边界条件：AqBL§6-3

用积分法求梁的变形4、计算A截面的挠度和转角小结：积分法描述了梁内各个截面的变化规律，是基本方法，但是繁杂。CFABaLxw例：一简支梁受力如图所示。试求(x),w(x)

和A,wmax。1、求支座反力2、分段列出梁的弯矩方程bBC段AC段xx§6-3

用积分法求梁的变形3、代入各自的挠曲线近似微分方程中4、各自积分§6-3

用积分法求梁的变形5、确定积分常数边界条件：连续条件：§6-3

用积分法求梁的变形FaLxwCABBC段AC段7、求转角6、挠曲线方程§6-3

用积分法求梁的变形8、求wmax

求wmax的位置值x§6-3

用积分法求梁的变形FaLxwCAB代入得：若则：在简支梁情况下，不管F作用在何处（支承除外），wmax可用中间挠度代替，其误差不大，不超过3%。§6-3

用积分法求梁的变形

一、叠加原理在小变形，材料服从胡克定律的情况下，挠曲线的近似微分方程是线性的弯矩M(x)与载荷之间的关系是线性的，对应于几种不同的载荷，弯矩可以叠加，近似微分方程的解也可以叠加计算弯矩时，使用变形前的位置——原始尺寸原理§6-4用叠加法求梁的变形设弯矩

挠曲线分别满足各自的近似微分方程两个微分方程叠加分别计算出每一载荷单独引起的变形，将所得的变形叠加即为载荷共同作用下引起的变形——叠加原理总的近似微分方程：§6-4用叠加法求梁的变形二、叠加原理的限制条件叠加原理仅适用于线性函数，要求挠度、转角是载荷的线性函数。(1)弯矩与载荷成线性关系，梁发生小变形，忽略各载荷引起梁的水平位移；(2)曲率1/与弯矩成线性关系，梁处于线弹性范围内，满足虎克定律；

梁处于小变形条件下§6-4用叠加法求梁的变形(3)挠曲线二阶导数w′′与1/成线性关系几种载荷共同作用下某截面的挠度和转角，等于每种载荷单独作用下引起的同一截面挠度、转角的向量和。三、叠加原理的特征§6-4用叠加法求梁的变形1、载荷叠加法：查表法——教材P172(1)载荷分解：均布载荷，集中力，集中外力偶(2)查表P172：求单独载荷作用下梁的变形注意设正：w向上为正，逆时针为正应用于多个载荷作用(3)变形叠加例：已知简支梁长l，抗弯刚度EIz，受均布载荷q，集中力ql，集中外力偶ql2，求：yC

，B§6-4用叠加法求梁的变形z1、载荷叠加法wC

,B(1)载荷分解qlql2q§6-4用叠加法求梁的变形zqlql2q(2)查表P172：单独载荷作用下梁的变形§6-4用叠加法求梁的变形P174：9号P174：7号P174：5号3、变形叠加§6-4用叠加法求梁的变形z例：抗弯刚度EI为常量，用叠加法确定C和yC

。L/2L/2qCBA§6-4用叠加法求梁的变形qqq1、载荷分解qq§6-4用叠加法求梁的变形刚体刚性的角位移§6-4用叠加法求梁的变形wz

2、逐段刚化法(1)将梁的挠曲线分成几段(2)除所研究的梁段发生变形外，其余各段均视为刚体(3)分别计算各段梁的变形在需求处引起的挠度和转角(4)然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移§6-4用叠加法求梁的变形例：用叠加法确定wCABalFC(1)考虑AB段变形引起的C截面的挠度(BC段看作刚体)外力向研究的AB段上简化ABalCFFaF：作用在支座上，不产

生变形Fa：使AB梁产生变形§6-4用叠加法求梁的变形ABalCFFaFa引起梁的变形形状为AB段上凸§6-4用叠加法求梁的变形考虑AB段变形引起

的C截面的挠度

(BC段看作刚体)(2)考虑BC段变形引起C截面的挠度，AB段看作刚体ABalFCaFBCC截面的总挠度§6-4用叠加法求梁的变形B段简化为固定端例：图示中悬臂梁，二段为同种材料制成。材料的弹性模量为E，求自由端C端的挠度。PIz1L1Iz2L2ABC§6-4用叠加法求梁的变形弯曲变形的刚度条件：[w]——许用挠度[]——许用转角1、工程中,[w]常用梁的计算跨度l的若干分之一表示对于桥式起重机梁：对于一般用途的轴：2、在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：§6-4弯曲变形的刚度计算一、改善结构、减小弯矩1、合理安排支座；2、合理安排受力；3、集中力分散；4、

w一般与跨度有关，l3成正比，故可减小跨度；5、增加约束，采用超静定结构§6-5提高梁刚度的措施尾顶针、跟刀架或加装中间支架；较长的传动轴采用三支撑；桥梁增加桥墩；5、增加约束：采用超静定结构§6-5提高梁刚度的措施超长车辆增加车轮提高车身的抗弯刚度。改变支座形式§6-5提高梁刚度的措施F改变载荷类型Fq=F/L二、选择合理的截面形状A几乎不变，大部分分布在远离中性轴处的工字形、槽钢等§6-5提高梁刚度的措施起重机大梁常采工字形或箱形截面§6-5提高梁刚度的措施四、不宜采用高强度钢，各种钢材E大致相同三、加强肋集装箱§6-5提高梁刚度的措施1、y’’=M(x)/EI在

条件下成立？A：小变形；B：材料服从虎克定律；C：挠曲线在XOY面内；D：同时满足A、B、C。2、等直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率在最大

处一定

最大。A：挠度；B：转角；C：弯矩；P3、细长工件，加