第七章应力状态和强度理论06

第七章应力状态和强度理论§7-1概述§7-2平面应力状态的应力分析·主应力§7-3空间应力状态的概念§7-4应力与应变间的关系§7-5空间应力状态下的应变能密度§7-6强度理论及其相当应力§7-8各种强度理论的应用一、一点的应力状态

1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面上的应力情况。

2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和切应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。§7-1概述二、研究应力状态的方法—单元体法

1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。单元体性质—①平行面上，应力相等。

②平行面上，应力均布；xOzydzdxdyXYZOsysyszsztzytyztyztzytyxtyxtxytxysxsxtzxtxztzxtxz①材料单元体上相对坐标面上的应力大小相等、方向相反。②材料单元体上任意方向面上的应力视作均匀分布。txz（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。（2）面的方位用其法线方向表示3.截取原始单元体的方法、原则①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体②单元体各个面上的应力已知或可求；③几种受力情况下截取单元体方法：2.单元体上的应力分量PMeMePPMeMe弯曲Ctss扭转B轴向拉伸与压缩As=P/Ast=Me/WnABCBCAPCABtBtCsCsCsAsA三、应力状态的分类主平面：单元体上切应力为零的面；主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对主平面；主应力：主平面上的正应力．（1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零（2）平面应力状态：若三个主应力中有两个不为零（3）空间应力状态：三个主应力都不等于零

1.主平面和主应力2.应力状态的分类平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态。规定：主应力采用符号：一、斜截面上的应力§7-2

平面应力状态的应力分析·主应力

sytyxtxysxsxsxtxysysysxtyxsxtxysysysxtyxABxyantasαtαsxtxytyxsyxdAsxsytxytyx

得

符号规定：a角—以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负s—拉为正，压为负t—使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负２.主应力及其方位：

①由主平面定义，令tα

=0，得：

可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。②令得：即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。一个面上为极大值，另一个面上为极小值。

③主应力大小：④由s'、s"、0按代数值大小排序得出：s1≥s2≥s3

⑤判断s'、s"作用方位(与两个a0如何对应)

txy箭头指向第几象限(一、四)，则s'(较大主应力)在第几象限，即先判断s'大致方位，再判断其与算得的a0相对应，还是与a0+90o相对应。

⑥txys's"a0*txys"s'a0*4.极值切应力：

①令：，可求出两个相差90o

的

a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。②极值切应力：③(极值切应力平面与主平面成45o)例图示悬臂梁上A点的应力状态如图所示。①求单元体上指定截面上的应力；②求A点主平面和主应力(用主单元体表示)。解：①求指定截面应力②求主应力=角度确定了，大靠大，小靠小。例

分析受扭构件的破坏规律。解：1.确定危险点并画其原始单元体2.求极值应力txyCtyxTCxyOtxytyx3.破坏分析低碳钢铸铁1.应力圆方程(1)(2)整理可得：(3)圆心坐标：半径：二、应力圆sxsxtxytyxtxytyxsysyOstxynaC2a0A1s'B1s"2a(sa,ta)EG1t'G2t"

D'(sy,tyx)BAD(sx,txy)sata２.应力圆的绘制：②取x面，定出D()点；取y面，定出D‘()点；③连DD'交s轴于C点，以C为圆心，DD1为直径作圆；①定坐标及比例尺；

3.应力圆的应用①点面对应关系：应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力；②角度对应关系：应力圆上半径转过2a，单元体上坐标轴转过a;③旋向对应关系：应力圆上半径的旋向与单元体坐标轴旋向相同；④求外法线与x轴夹角为a斜截面上的应力，只要以D为起点，按a转动方向同向转过2a到E点，E点坐标即为所求应力值。⑤用应力圆确定主平面、主应力：由主平面上切应力t=0，确定D转过的角度；D转至s轴正向A1点代表s‘所在主平面，其转过角度为2，转至s轴负向B1点代表s"所在主平面；⑥确定极值切应力应力及其作用面：应力圆上纵轴坐标最大的G1点为t’，纵轴坐标最小的G2点为t”，作用面确定方法同主应力。例用应力圆法。求：1)a=30o斜截面上的应力；2)主应力及其方位；3)极值切应力。sOtD(30,-20)D'(-40,20)C60o(29.8,20.3)35.3-45.329.8o403020单位：MPaxasata40.3-40.3

例几种特殊应力状态的应力圆。45单向拉伸ABDxDyC0DxDy单向压缩0–0max=0DxDy纯剪切0D1D20045min=01.概念123九个应力分量六个独立主单元体§7-3空间应力状态的概念三个主应力都不为零的应力状态2.空间应力状态的应力圆由三向应力圆可以看出：3210§7-4应力与应变间的关系1.广义胡克定律－叠加法++“1”方向应变广义胡克定律：同理，可求出，即有：2.广义胡克定律的一般形式§7-5空间应力状态下的应变能密度1.有关概念：

①应变能(变形能)：伴随弹性体的变形而储存在弹性体的能量。用V表示；②应变能密度：单位体积的应变能，用vε表示；③取主应力状态，假定三个主应力按某一比例由零增加到最终值，则该单元体所储存的应变能为：应变能密度：

代入虎克定律：2.体积改变能密度vv与形状改变能密度vd1.有关概念：①单元体的变形：体积改变和形状改变。②体积改变能密度：与体积改变相对应的那一部分比能，用vv表示；③形状改变能密度：与形状改变相对应的那一部分比能，用vd表示；④在平均应力作用下，单元体形状不变，体积改变。体积改变能密度：形状改变能密度：单元体的三个主应力之和为零，其体积不变，形状改变。已知应变能密度：§7-6强度理论及其相当应力

1.简单应力状态下材料的强度条件可由实验确定

2.对于复杂应力状态，危险点的应力并不取决于横截面上的应力，也不仅仅取决于最大应力，而需要考虑各个方向的应力的共同作用，不可能通过实验得到强度条件；一、强度理论的概念材料破坏基本类型：a脆性断裂

(材料直到破坏都无明显塑性变形)b塑性屈服

(材料产生显著的塑性变形而使构件丧失正常的工作能力)比如轴向拉压，其强度条件为：介绍各向同性材料在常温、静载条件下的四个常用的强度理论。强度理论：是关于“材料发生强度失效（failurebyloststrength）原因”的假设。通过强度理论，利用单向拉伸实验结果建立各种应力状态下的失效判据和相应的设计准则。强度理论意图：利用简单受力情况的实验结果，建立复杂应力状态下的强度条件。二、四个强度理论两类强度理论：

1.第一类强度理论（以脆性断裂破坏为标志）

2.第二类强度理论（以塑性屈服破坏为标志）认为最大拉应力是材料引起脆性断裂破坏的因素。即无论材料处于什么应力状态，发生脆性断裂的原因是构件内一点处的三个主应力中最大拉应力s1达到材料的极限值su。2.强度条件：

1.破坏条件：（1）最大拉应力理论（第一强度理论）

3.适用范围：符合脆性材料的拉断试验，如铸铁单向拉伸和扭转中的脆断；但未考虑其余主应力影响，且不能用于无拉应力的应力状态，如单向、三向压缩等。（2）最大伸长线应变理论（第二强度理论）

认为最大伸长线应变是材料引起脆性断裂破坏的因素。即无论材料处于什么应力状态，发生脆性断裂的原因是构件内一点处的单元体中的最大伸长线应变e1达到材料的极限值eu。2.强度条件：

1.破坏条件：

3.适用范围：考虑其余两个主应力，形式上更为完善。适用于压应力为主的情况。符合石料、混凝土等脆性材料的轴向压缩破坏。

（3）最大切应力理论（第三强度理论）认为最大切应力是引起材料塑性屈服的主要因素，无论在什么样的应力状态下，材料发生屈服流动的原因都是构件内一点处的最大切应力tmax达到材料屈服时的的极限值tu。1.屈服条件：

2.强度条件：

3.应用范围：使用简单，符合实际，偏于安全，广泛应用。

（4）形状改变能密度理论（第四强度理论）

认为形状改变能密度是引起材料塑性屈服的主要因素。不论应力状态如何，材料发生屈服的原因是构件内一点处的形状改变能密度vd达到材料的极限值vdu。1.屈服条件：

2.强度条件：

3.应用范围：对塑性材料比最大切应力理论理符合试验结果。

三、相当应力：（强度理论的统一形式）

其中，

r—相当应力。18

该理论并不简单假设材料的破坏是由某一个因素达到了其极限值而引起的，而是以各种应力状态下材料的破坏实验结果为依据，建立的带有一定经验性的强度理论。一、莫尔强度理论（修正的最大切应力理论）1.莫尔理论适用于脆性剪断：脆性剪断：在某些应力状态下，拉压强度不等的一些材料也可能发生剪断，例如铸铁的压缩。§7–7莫尔强度理论及其相当应力

2.不考虑σ2的影响，每一种材料可通过一系列的试验，作出极限应力圆，它们的包络线就是曲线，当最大应力圆恰好与包络线相接触时，则材料刚刚达到极限状态；若最大应力圆位于包络线以内时，则它代表的应力状态是安全的。

极限应力圆：材料在破坏时的主应力s1和s3下所作出的应力圆(莫尔圆)。

O1拉伸拉伸纯剪切压缩st压缩O2stOD2D1用单向拉伸和压缩极限应力圆作包络线用单向拉伸、压缩和纯剪切极限应力圆作包络线O1[st][sc]O2D2D1s3s1O3O1PND3stO2.莫尔强度理论：①公式推导：

②强度准则：

[st]—许用拉应力；[sc]—许用压应力。如材料许用拉压应力相同，则莫尔强度理论与最大切应力理论相同。冬天自来水管冻裂而管内冰并未破裂，其原因是冰处于三向压应力状态，而水管处于二向拉应力状态。石料在单向压缩时会沿压力作用方向的纵截面裂开，这与第二强度理论的论述基本一致。危险点接近于三向均匀受拉的塑性材料，应选用第一强度理论进行计算，因为此时材料的破坏形式为脆性断裂。§7-8

各种强度理论的应用各种强度理论的适用范围：

1、不论是脆性或塑性材料，在三轴拉伸应力状态下，均会发生脆性断裂，宜采用最大拉应力理论（第一强度理论）。

2、脆性材料：在二轴拉伸应力状态下，应采用最大拉应力理论；在复杂应力状态的最大、最小拉应力分别为拉、压时，由于材料的许用拉、压应力不等，宜采用莫尔强度理论。

3、塑性材料（除三轴拉伸外），宜采用形状改变比能理论（第四强度理论）和最大切应力理论（第三强度理论）。

4、三轴压缩状态下，无论是塑性和脆性材料，均采用形状改变比能理论。

例某结构危险点的应力状态如图所示，其中s＝120MPa，t=60MPa。材料为钢，许用应力[s]=170MPa，