第七章应力状态、应变分析和强度理论

第七章应力和应变分析强度理论§7-1应力状态的概念§7-3二向应力状态分析-解析法§7-4二向应力状态分析-图解法§7-5三向应力状态§7-8广义胡克定律§7-11四种常用强度理论第七章应力和应变分析、强度理论一、概述1、应力状态受力构件中某点处不同截面上的应力状况。斜截面上的应力§7-1应力状态的概念圆轴扭转破坏分析滑移与剪断发生?作用面断裂发生在?作用面§7-1应力状态的概念微体A

§7-1应力状态的概念微体abcd§7-1应力状态的概念微体A§7-1应力状态的概念2、为什么要研究一点处的应力状态？（1）求单元体在某截面上的最大应力（2）分析不同材料的破坏原因（3）构建强度理论§7-1应力状态的概念注意：

1、拉伸、压缩中有剪切，扭转中有剪切，也有拉伸;2、不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力;3、同一面上不同点的应力各不相同;4、同一点不同方向截面上的应力也不相同哪一点？

哪个方向面？应力哪一个面上？

哪一点？§7-1应力状态的概念二、应力状态的研究方法单元体围绕所要研究的点截取一微小正六面体。单元体在某截面上的应力就代表了构件在该截面上的应力。空间平面§7-1应力状态的概念单元体特征：

1、单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布。

2、任意一对平行平面上的应力相等。312231§7-1应力状态的概念CDDOC弯扭组合变形§7-1应力状态的概念FL§7-1应力状态的概念例1

画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.

54321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面§7-1应力状态的概念S平面254321543211x1x1x2x222333§7-1应力状态的概念alSF

例

2

画出如图所示梁危险截面危险点的应状态单元体

xzy4321zy4321FSMZT§7-1应力状态的概念12yxzzy4321FSMZTxzy43213§7-1应力状态的概念三、应力状态分类主平面剪应力（切应力）等于零的平面。主应力主平面上的正应力。拉伸、压缩时横截面就是主平面。扭转时，450截面是主平面。可以证明，主平面上的主应力是最大正应力。规定：123§7-1应力状态的概念

说明:一点处必定存在这样的一个单元体,

三个相互垂直的面均为主平面,三个互相垂直的主应力分别记为1,2,3且规定按代数值大小的顺序来排列,即123§7-1应力状态的概念1、单向应力状态

三个主应力1、2、3中只有一个不等于零11§7-1应力状态的概念2、二向（平面）应力状态

三个主应力1、2、3中有两个不等于零221133223311§7-1应力状态的概念3、三向（空间）应力状态

三个主应力1、2、3

均不等于零312231§7-1应力状态的概念仅在微体四侧面作用应力，且应力作用线均平行于微体的不受力表面－平面应力状态平面应力状态的一般形式微体各侧面均作用有应力－空间应力状态空间应力状态一般形式§7-1应力状态的概念

例

3

对于图示各单元体，试分别写出三个主应力.

(d)50MPa70MPa40MPa30MPa120MPa120MPa(a)(b)

140MPa

110MPa

(C)140MPa80MPa70MPa§7-1应力状态的概念二向应力状态，平面应力状态，是工程中最常见的应力状态。为了对构件进行强度计算，必须了解危险点的应力状态，求出主应力的大小和主平面的方位，以此作为对构件计算的依据。研究方法有两种，解析法和几何法。§7-3

平面应力状态分析－－解析法一、任意斜截面上的应力公式斜截面的面积为dA§7-3

平面应力状态分析－－解析法一、任意斜截面上的应力公式§7-3

平面应力状态分析－－解析法一、任意斜截面上的应力公式§7-3

平面应力状态分析－－解析法一、任意斜截面上的应力公式§7-3

平面应力状态分析－－解析法一、任意斜截面上的应力公式符号规定：σ：拉应力为正，压应力为负。τ：顺时针转为正，逆时针转为负。α：以x轴为始边，逆时针转为正。§7-3

平面应力状态分析－－解析法上述关系建立在静力学基础上，故所得结论既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题。§7-3

平面应力状态分析－－解析法二、正应力极值§7-3

平面应力状态分析－－解析法设α＝α0

时，上式值为零，即即α＝α0

时，切应力为零

由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。

所以，最大和最小正应力分别为：主应力按代数值排序：σ1σ2

σ3§7-3

平面应力状态分析－－解析法在切应力相对的方向上，且偏向于x

及y大的一侧xy主sytxyO单元体sx在切应力相对的方向上，且偏向于x

及y大的一侧§7-3

平面应力状态分析－－解析法二、切应力极值或§7-3

平面应力状态分析－－解析法xyxy例4

图示单元体，已知x

=-40MPa，y

=60MPa，xy=-50MPa.试求ef

截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.n30°ef(1)求

ef截面上的应力§7-3

平面应力状态分析－－解析法(2)求主应力和主单元体的方位x

=-40MPa

y

=60MPa

xy

=-50MPa=-30°因为x

<y，所以0=-22.5°与min对应§7-3

平面应力状态分析－－解析法xyxy22.5°13§7-3

平面应力状态分析－－解析法解（1）求主平面方位因为x

=y

，且xy>0例5

求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位.xy所以0=-45°与max对应45°（2）求主应力1=，2=0，3=-13§7-3

平面应力状态分析－－解析法

例6

简支梁如图所示.已知mm

截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为

=-70MPa，=50MPa.确定A点的主应力及主平面的方位.AmmalA解：把从A点处截取的单元体放大如图§7-3

平面应力状态分析－－解析法因为x

<y，所以0=27.5°与min对应xAA01313§7-3

平面应力状态分析－－解析法一、原理两式相加，§7-4

平面应力状态分析－－图解法应力圆圆心位于s轴以横坐标表示σα，纵坐标表示τα，则方程的轨迹是一个圆，应力圆，莫尔圆。

应力圆上任意一点的横坐标和纵坐标，分别代表单元体上相应截面上的正应力和切应力。德国学者莫尔ottoMohr,1882年提出。§7-4

平面应力状态分析－－图解法(1)建-坐标系,选定比例尺o二、应力圆作法1、步骤xyxxyxxyyy§7-4

平面应力状态分析－－图解法Dxyo(2)量取OA=xAD

=xy得D

点xyxxyxxyxAOB=y(3)量取BD′=yx得

D′

点yByxD′(4)连接DD′两点的直线与轴相交于C

点(5)以C为圆心,CD

为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆C§7-4

平面应力状态分析－－图解法(1)该圆的圆心C点到坐标原点的距离为(2)该圆半径为DxyoxAyByxD′C证明§7-4

平面应力状态分析－－图解法oC§7-4

平面应力状态分析－－图解法点面对应—应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力3、几种对应关系D(sx,txy)D/(sy,tyx)cxyHnH§7-4

平面应力状态分析－－图解法

应力圆上任意两点的半径夹角，等于单元体上对应两截面外法线夹角的两倍。单元体以α为参数，应力圆以2α为参数，转向一致。

单元体上的两个主平面必相互垂直。

最大剪应力所在平面与主平面之间的夹角必为450。

§7-4

平面应力状态分析－－图解法4、求主应力大小和主平面位置

(1)主应力数值A1和B1两点为与主平面对应的点，其横坐标为主应力1，212DxyoxAyByxD′C20FE2B1A1§7-4

平面应力状态分析－－图解法20DxyoxAyByxD′C12A1B1（2）主平面方位由CD顺时针转20到CA1

所以单元体上从

x

轴顺时针转0（负值）即到1对应的主平面的外法线0确定后，1对应的主平面方位即确定§7-4

平面应力状态分析－－图解法5、求最大切应力G1和G2两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力

20DxyoxAyByxD′C12A1B1G1G2因为最大最小切应力等于应力圆的半径§7-4

平面应力状态分析－－图解法§7-4

平面应力状态分析－－图解法§7-4

平面应力状态分析－－图解法o例7

从水坝体内某点处取出的单元体如图所示,x

=-1MPa,y

=-0.4MPa,xy=-0.2MPa,yx

=0.2MPa,

(1)绘出相应的应力圆(2)确定此单元体在

=30°和

=-40°两斜面上的应力。xyxy解:(1)画应力圆量取OA=x=-1,AD

=XY=-0.2，定出D点;ACBOB

=y=-0.4和，BD′

=yx=0.2，定出D′点.(-1,-0.2)DD′(-0.4,0.2)以DD′

为直径绘出的圆即为应力圆。将半径CD

逆时针转动2=60°到半径CE,E

点的坐标就代表

=30°斜截面上的应力。(2)确定=30°斜截面上的应力E60°(3)确定

=-40°斜截面上的应力将半径

CD顺时针转2=80°到半径CF,F

点的坐标就代表

=-40°斜截面上的应力。F80°AD′CBoD

30°40°

40°30°30°=-0.36MPa30°=-0.68MPa40°=-0.26MPa-40°=-0.95MPa§7-4

平面应力状态分析－－图解法纯剪切状态的最大应力s1s3主平面微体位于方位§7-4

平面应力状态分析－－图解法圆轴扭转破坏分析滑移与剪断发生在tmax的作用面断裂发生在smax

作用面§7-4

平面应力状态分析－－图解法解：1.解析法例8

用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位§7-4

平面应力状态分析－－图解法2.图解法主应力的大小与方位？§7-4

平面应力状态分析－－图解法定义三个主应力都不为零的应力状态§7-5

三向应力状态由三向应力圆可以看出：结论：代表单元体任意斜截面上应力的点，必定在三个应力圆圆周上或圆内。2130§7-5

三向应力状态1.基本变形时的胡克定律yx1）轴向拉压胡克定律横向变形2）纯剪切胡克定律§7-8

广义胡克定律2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法=++§7-8

广义胡克定律§7-8

广义胡克定律3、广义胡克定律的一般形式§7-8

广义胡克定律（拉压）（弯曲）（正应力强度条件）（弯曲）（扭转）（切应力强度条件）杆件基本变形下的强度条件§7-11

四种常用强度理论满足是否强度就没有问题了？§7-11

四种常用强度理论强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。

为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。§7-11

四种常用强度理论构件由于强度不足将引发两种失效形式(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于屈服的强度理论：最大切应力理论和形状改变比能理论(2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。关于断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论§7-11

四种常用强度理论1.最大拉应力理论（第一强度理论）－构件危险点的最大拉应力－极限拉应力，由单拉实验测得无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破坏拉应力数值。§7-11

四种常用强度理论断裂条件强度条件最大拉应力理论（第一强度理论）铸铁拉伸铸铁扭转§7-11

四种常用强度理论2.最大伸长拉应变理论（第二强度理论）无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。－构件危险点的最大伸