《圆周角和圆心角的关系》第二课时

圆周角和圆心角的关系(2)九年级数学(下)第五章圆5.4圆的对称性学有所思、思有所疑、疑有所问、问有所悟，学思疑问才会感悟生活的乐趣、数学学习的快乐！

知识回顾

圆周角定义：顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.圆周角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等．推论1

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.推论2在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。1.如图，AB是O的直径，你能求的度数吗？ABCO半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径结论：AB是直径⊙⊙2.如图，如果圆周角，那么弦AB是O的直径吗？

深入探究推论3

半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.

归纳问题解答1、圆周角定理的推论2：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。2、圆周角定理的推论3：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。用于找相等的角用于找相等的弧用于判断某个圆周角是否是直角用于判断某条线是否过圆心例：如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？ABCOD解：连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°

即AD⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD

化心动为行动分析：由于AB是⊙O的直径，故连接AD。由直径所对的圆周角是直角，可得AD⊥BC.又因为△ABC中，AC=AB，所以由等腰三角形的三线合一，可证得BD=CD。

教材题变形，拓展延伸船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？分析：这是一个有实际背景的问题。由题意可知：“危险角∠ACB”实际上就是圆周角。船P与两个灯塔的夹角为∠α，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O内.当∠α＞∠C时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C时，船位于暗礁区域外。因此,我们可以分情况讨论.解：（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域内（即⊙O内）。理由是：连接BE.

假设船在⊙O上，则有∠α=∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外。因此，船只能位于⊙O内。（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？解：（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外（即⊙O外）。理由是：假设船在⊙O上，则有∠α=∠C，这与∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α＞∠AEB，即∠α＞∠C，这与∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内。因此，船只能位于⊙O外。1.判断题：（1）同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等.（）（2）90°的角所对的弦是直径.（）（3）同弦所对的圆周角相等.（）√XXOABC

课堂练习D2.填空题:(1)如图所示,∠BAC=

,∠DAC=

.DABC∠DBC∠BDC●OACB(2)如图所示,⊙O的直径AB=10cm,C为⊙O上一点,∠BAC=30°,则BC=

cm

5

课堂练习3、（2006•山西）如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻．当他带球冲到A点时，同伴乙已经助攻冲到B点．有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．仅从射门角度考虑，应选择第几种射门方式？解答：解：设AP与圆的交点是C，连接CQ；则∠PCQ＞∠A；由圆周角定理知：∠PCQ=∠B；所以∠B＞∠A；因此选择第二种射门方式更好．点评：此题实际上是比较两个角的大小，角度越大，射中率越高．综合考查了圆周角定理和三角形外角的性质．MNCDOE4.当甲带球到C点时，乙冲到了D点，如图,此时甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好呢？为什么？(不考虑其他因素)延长NC交圆O于点E，连接ME，由圆周角性质∠MDN＝∠MEN因此，让甲射门好.解：又由三角形外角性质∠MCN＞∠MEN∴∠MCN＞∠MDN5.请你帮助用直角曲尺检查半圆形的工件，哪个是合格的？为什么？不合格合格不合格

生活中的数学答：图（2）是半圆形。理由是：90°

的圆周角所对的弦是直径。6.如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1,⊙O的弦AD交⊙O1于C,则(1)OC与AD的位置关系是

;

(2)OC与BD的位置关系是

;(3)若OC=2cm,则BD=

cmOC垂直平分AD平行4CDO1ABO

知识深化7.如图,△ABC的顶点均在⊙O上,AB=4,∠C=30°,求⊙O的直径.

●OACBE

能力提高∵BF是⊙O的直径∴∠BAF=90°在Rt△ABF中，∠F=30°∴BF=2AB又∵AB=4∴BF=8即⊙O直径为8解:过B作直径BF交⊙O于点F,连接AFF●ODABCNME8.如图⊙O中,D、E分别是AB和AC的中点,DE分别交AB和AC于点M、N.求证:△AMN是等腰三角形.⌒⌒

能力提高证明:∵D,E分别是AB和AC的中点⌒⌒∴AD=BD，AE=CE∴∠DAB=∠AED,∠ADE=∠EAC∵∠AMN=∠DAB+∠ADM∴∠AMN=∠ANM即△AMN是等腰三角形⌒⌒⌒⌒∠ANM=∠AED+∠EAC9.如图,△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D,且AB2=AP·AD.（1）求证：AB=AC;（2）如果∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为AC的中点，求AD的长？（1）证明：连接BP∴AB=AC∵AB2=AP·AD∵∠BAP=∠DAB∴△BAP～△DAB∴∠APB=∠ABD∵∠APB=∠ACB∵∠ABD=∠ACB（2）解：∵AB=AC又∵∠ABC=60°∴△ABC是等边三角形∵∠BAC=60°∵P为AC的中点∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°∴BP是直径∴BP=2，AP=1∴AB2=BP2-AP2=3∵AB2=AP·AD∴32=1×AD∴AD=3.1.如图，⊙Ｏ的弦AC、BD相交于⊙Ｏ

内一点Ｐ.求证：E思考下列各题,并记住结论：(的度数+的度数)⌒AB⌒CD2.如图，⊙Ｏ的弦AC、BD相交于⊙Ｏ

外一点Ｐ.求证：四、思考下列各题,并记住结论：(的度数—的度数)⌒AB⌒CD3、99年北京中考题）在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB于D，过点C任作一弦CF交⊙O于F，交AB于E，求证：CB²=CE·CFOABCDEF4、如图，AE⊙O的直径,△ABC的顶点都在⊙O上,AD是△ABC的高;

求证：AB·AC=AE·ADAOBCDE分析：要证AB·AC=AE·AD△ADC∽△ABE或△ACE∽△ADB5、如图，AE⊙O的直径,△ABC的顶点都在⊙O上,AD是△ABC的高;

求证：AB·AC=AE·AD变式：⑴△ABC内接于⊙O， 若∠1=∠2.求证：AB•AC=AE•AD.变式：⑵△ABC内接于⊙O，若弦AE平分∠BAC.

求证：AB•AC=AE•AD.

OBCAED12问：若点D在圆外，上述结论仍成立吗？6、已知，如图，圆内接△ABC中，AB=AC，弦AE交BC于D求证：⑴△ABD∽△AEB1997年广东省中考题ECOABD7、如图，AB为⊙O的直径，DC为弦，AB⊥DC，F为弧BC上的一点，AF交DC于E.求证：AD2=AE•AF.

8、如图,△ABC内接于⊙O,高AD、BE相交于H,AD延长线交⊙O于点F.求证:BF=BH.9、如图，Rt△ABC中，∠C=90º，AC=5，BC=12，以C为圆心，AC为半径的圆交AB于点D.求AD的长.知识总结1.【圆周角的性质】

（3）在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于