第一章极限与连续

第一章极限与连续1-1初等函数1-2函数的极限1-3无穷小与无穷大1-4函数极限的运算1-5函数的连续性

1-1初等函数设x和y

是两个变量，D是一个给定的数集。如果对于每一个数x，变量y按照一定的法则总有唯一确定的数值与之对应，则称y

是x

的函数记作y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，数集D称为函数的定义域。1、函数的概念2、基本初等函数基本初等函数为以下五类函数：幂函数，是常数指数函数(a是常数且)对数函数(a是常数且)三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数，，，，，，，，，，反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数反三角函数得到一个以x为自变量，y为因变量的函数，这定义：若y是u的函数y=f(u)，u是x的函数

，当x在的定义域或其一部分取时，的值均在的定义域内，从而复合函数，u称为中间变量，记作函数称为由函数复合而成的和并不是任何两个函数都可以复合成一个函数。例如与分析一个复合过程时，每个层次都应该是基本初等函数或常数与基本初等函数的四则运算；当分解到常数与基本初等函数的四则运算时，就不再分解了。函数复合过程中的两点注意事项由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的复合所构成并且可以用一个式子表示的函数，称为初等函数.如等都是初等函数，，实际问题的函数关系，就是该实际问题的一个数学模型，建立实际问题的函数关系，就是为了用函数方法解决实际问题。一般的，用数学方法解决实际问题，首先要对问题的实际背景进行深入了解，摸清问题的规律，并用数字、图表、公式等表示出来。下面我们举一个例子说明如何建立实际问题的函数关系。例3某罐头厂要生产容积为V的圆柱形罐头盒，将它的表面积表示成底半径的函数，并确定它的定义域。

1-2函数的极限

考察下列几个数列，当n无限增大时，数列xn的变化趋势：四个数列反映出的数列变化趋势大体分为两类：当n无限增大的时，数列xn的值无限接近某一个常数，数列1）、2）属于这一类。当n无限增大的时，数列xn的值不能无限接近某一个常数，数列3）、4）属于这一类。数列1）、2）给了我们极限的一个直观的印象，下面我们来看数列极限的定义。或XnXn注意：这里x趋向无穷是有两个方向的！或或定理一或或或左右极限统称为单侧极限定理二1-3无穷小与无穷大说一个函数是无穷小的时候，必须指明自变量的变化趋势！比如例3，当x趋近1/3时函数是一个无穷小。无穷小的性质

定理一这个定理在下一章里将会被应用到一些问题的证明中。这里并不表明函数的极限存在，只是为了方便表示函数的这一变化趋势定理二无穷小都是趋于零的变量，但不同的无穷小趋于零的速度却不一样.通过比较两个无穷小趋于零的速度，而引进无穷小量阶的概念.

x10.50.10.010.001………02x210.20.020.002………0x210.250.010.00010.000001………01-4函数极限的运算这种方法称为无穷小分出法根据有界乘无穷小仍是无穷小的性质,得求极限过程中的两点注意事项1234510100100010000…….22.2502.3702.4412.4882.5942.7052.7172.718……定理一这个定理是等价无穷小的一个重要性质，它是用等价无穷小代换求极限的重要理论根据。1-5函数的连续性一切初等函数在其定义区间内都是连续的．

求初等函数的连续区间就是求其定义区间．关于分段