黄方程-宏观极化

3-4.三维格波的振动谱：

格波的色散关系，即q~ω关系称晶格的振动谱。可以通过实验测量（中子非弹性性散射），也可以理论计算（固体理论).固体很多性质与晶格振动谱有关。

Si：q为矢量，总是固定q的方向作图，q一般沿对称轴方向，绕轴旋转π/2，π，π/3是对称操作。格波分为纵波和横波。a.长声学波横波和纵波有不同速度b.长光学波纵波和横波有相同的频率Si

GaAs:横波二重兼并长光学波有不同的频率，离子性结果，离子性越大，差别越大

只有声学波，扭折为晶格与电子偶合结果GaAs3-5离子晶体的长光学波光学波中，原胞中不同的原子相对地作振动晶格中的声学波中相邻原子都沿同一方向振动——正负离子组成的晶体，长光学波使晶格出现宏观极化——波长很长的光学波：长光学波——波长很长的声学波：长声学波

——声学波代表原胞质心的振动——光学波表示原胞中相邻原子做反位相振动波长——原胞的线度§3.5离子晶体的长光学波

光学波中，原胞中不同的原子相对地作振动晶格中的声学波中相邻原子都沿同一方向振动——对于正负离子组成的晶体，长光学波使晶格出现宏观极化——长声学波代表原胞质心的振动——长光学波表示原胞中相邻原子做反位相振动波长——原胞的线度01/121.长光学波的宏观方程

——考虑两种正负离子组成的复式格子因此长光学波称为极化波——半波长内，正离子组成的布喇菲原胞同向位移，负离子组成的布喇菲原胞反向位移

——使晶体中出现宏观的极化原胞中的两个正负离子质量两个正负离子偏离的位移选取描述长光学波运动的宏观量黄昆方程——宏观极化强度和宏观电场强度——原胞体积由动力学系数的对称性：——正负离子相对运动位移产生的极化和宏观电场产生的附加极化——离子相对运动的动力学方程恒定电场下1)静电场（）下晶体的介电极化

和比较因为2)高频电场下晶体的介电极化

电场的频率远远高于晶格振动的频率在长光学波下有——横长光学波的频率——晶体中存在长光学纵波(LO)和长光学横波(TO)——长光学纵波声子称为极化声子(LO)，长光学纵波伴随有宏观的极化电场，极化声子_______纵光学声子——长光学横波伴随着有旋的宏观电磁场，电磁声子(TO)，长光学横波具有电磁性，可以和光场发生耦合

四、离子晶体的光学性质

正负离子的相对振动产生的电偶极矩可以和电磁波相互作用，引起在远红外区域的强烈吸收。因此在用唯象方程讨论这种光吸收现象时，应在方程中引入表达能量损耗的耗散项。代入唯象方程得到：

考虑

形式解代入方程得到：即：（1）吸收功率正比于介电函数的虚部。（3）横电磁波激励横光学格波。

将前面求得的

代入并和

比较可以得

到：

，其中介电函数的实部和虚部分别为：

（2）在

处出现一个吸收峰，峰的半高宽度为

五、极化激元

前面的讨论仅考虑了库仑力的作用，实际上振动的偶极子会产生交变的电磁场，因此严格求解应该是利用麦克斯韦方程组和唯象方程。研究对象即为晶格的长光学振动和电磁场相耦合的系统。考虑时谐场即；

，代入并整理可以得到：

（1）纵波：

，可以得到

（2）横波：

，可以得到：

最后可以得到：

讨论：以上结果是考虑了格波与电磁波的耦合得到的新的耦合波模式。

这是低频电磁波（低于晶格振动频率）；即晶体中的纵光学波，是纯的振动模式。

（1）当

时

（4）在

是禁止区，电磁波不能在晶体中传播。

，这是高频电磁波。

，也是纯的格波模式；

（2）当

时

（3）在

和

与

和

相交的区域附近，耦合很强，出现的是电磁波与格波的混合模式。

两种正负离子组成的复式格子_立方晶体长光学波—极化波半波长内，正离子组成的布喇菲原胞同向位移，负离子组成的布喇菲原胞反向位移晶体中出现宏观的极化1.宏观方程的建立-黄方程考虑两种不同离子(正负离子)的双离子晶体晶体，以立方晶体为例。每个原胞包含一对正负离子：质量分别用M+和M-

位移矢量：原胞体积为Ω黄先生选择了用作为描述长光学波运动的宏观参量，定义：

其中：为约化质量，建立了宏观方程：分别是宏观极化强度和宏观电场强度。第一个是折合质量位移的运动方程第二个表示由于长光学波伴随着离子晶体的极化，晶体出现宏观极化强度这是黄1951年研究光学波的长波近似时首先引进的,称黄方程优点：用宏观内场代替了对离子间长程库仑力的求和，使问题大大简化

只要知道了黄方程中的4个系数，并利用与之间的电磁学关系，就可以求出长光学波的频率。上述4个系数不是独立的.可以证明：

上述唯象方程中的系数可通过实验确定为把唯象方程系数b12,b11,b22与晶体可测宏观参量—介电常数联系起来1）静电场正负离子的位移恒定，

代入（2）得：

静电学中：

其中ε0为真空电容率，ε(0)为静态介电常数。则：（2）高频电场情形下的介电极化电场的频率远高于晶格振动的频率,晶格跟不上电场的变化，则：

其中为高频介电常数。得2.宏观方程的求解：长光学波的横波频率ωTO和纵波频率ωLO考虑带电离子的晶格振动时，必须考虑它们之间的电磁相互作用，一般只限于它们之间的库仑作用。对于长光学波，可以用以上的唯象方法求解晶格振动。在宏观理论中，将静电方程与唯象方程的介电极化结合起来,就相当于考虑了电荷之间的库仑作用.

各向同性介质中长光学波横波与纵波的振动在长波限下,离子晶体可看作连续介质,振动模分为横波T和纵波L

横波：纵波：显然：电场满足静电方程：对黄方程取旋：对方程取散：对方程取散：

则：

从LST关系可以得到一些重要结果：ωLO>ωTO从LST关系可以得到一些重要结果：（1）ωLO>ωTO

ε是电子极化和离子极化两者的贡献。ε(0)是两者的贡献，高频下离子的贡献可以忽略，则:ωLO>ωTO

物理机理：a纵向极化：正负离子晶格相对运动，产生极化电场,增大了晶格振动的恢复力，使ωLO增大。

b.横向极化：电场不增加恢复力

ωLO>ωTO

+-+-+-+-+-+-+-+-++-+-+++--++----++--++++--++----++--++E(2).对非离子晶体,不存在极化电场

ωLO=ωTO(3).由于ωLO的增大是极化电场的作用,电场的作用力与有效电荷q有关,q越大,力越大,ωLO与ωTO的差别越大.

用（ω2LO-ω2TO）可以估算有效电荷的量。

(4).对某些介电晶体，温度T降低,ωTO减小,由于

ωLO>ωTO，在某些温度，ωTO0。由于：表明晶体出现了自发极化，晶体变为铁电相。解释铁电相的产生时，人们用了LST关系。

ωTO0，表示离子偏离自己的平衡位置后,不再受倒恢复力,于是晶格过渡到新组态,发生了相变—称软模相变。(软弹簧)

3.*长光学波振动的原子理论

唯象模型、唯象方程讨论了离子晶体长光学波的振动,从一般的原子理论角度也可以得到唯象方程.

离子晶体的极化有两个方面的贡献:(a)原胞中正、负离子的相对位移，有电偶极矩：

q*表示有效电荷。由于是长光学波，在很大范围内u+,u-分别看成是相同的。宏观极化强度：

Ω原胞体积。

(b)正负离子本身在外电场作用下也会发生极化变化(电场影响电子轨道,使电子云发生畸变).极化电偶极矩正比与电场:

α+，α-表示正负离子的极化率，表示作用在它上的有效电场，长波时，相应的宏观极化强度:总的极化强度：

固体中一个原子(离子)极化时，不仅要考虑外界电场,还要考虑其它离子所产生的电场，有效电场不等于宏观电场对各向同性介质（立方体），围绕一个原子半径为R的球体，球内离子产生的电场恰好抵消，球外可看作连续介质，球表面各处的极化强度P相等，球面面电荷在球心处产生的电场为：

表示宏观电场强度，称退极化场。将代入得则：黄方程为：比较:

同样，先分别写出正负离子的运动方程：

K是正负离子间的弹性恢复力系数，两式分别乘以M-,M+相减得：将代入：黄方程：

比较得：这样就建立黄方程。看出黄方程的简捷。4.离子晶体的光学性质：

离子晶体的长光学波对材料光学性质起重要作用。不同离子相互作用，产生电偶极矩，可以与电磁波相互作用。电磁波只与波数相同的格波作用（动量守恒），如果具有相同的频率就可以发生共振。光波的色散关系：

ω=c0q

图中ω=c0q与ω+(q)的交点o，相当于共振情况。弹性波波速ω~q斜率相差很大。与光波共振的格波一定是q0的格波。实际晶体的长光频谱ω+(0)在1013~1014/s，为远红外区.离子晶体对远红外光有强烈的吸收和反射。ω=c0qo

用唯象方法来讨论这一现象。在唯象方程中引入耗散项，方程为：右边第一项是弹性恢复力,第二项是电场力,第三项是讨论吸收时引入的耗散项。相当于讨论晶格的受迫振动，γ是一正值系数。取复数形式的解：

代入方程得：则：结果代入黄方程得：将带入，并利用：得到介电常数可以分为实部和虚部：iγω为晶格振动贡献在介质中，极化强度的定义：即单位体积的电偶极矩。极化强度的变化：反映电荷位移的变化。为电流元。

极化强度随时间的变化为电流密度，则：将代入，得：在吸收介质中电流j分为两部分：一部分与电场位相差90o,另一项与电场同相位。前者称极化电流，后者称位移电流。

极化电流与位移电流位相差90o,在一个周期中电场做的功为0，因而不消耗电磁场能量。传导电流与电场同相位,具有的形式，所以要消耗电磁场的能量。复介电常数在介质中产生的电流一部分与电场同相位，造成对电磁场能量的损耗，而电磁场能量的损耗正是介质所吸收的能量，与吸收功率之间存在着内在联系，这正是用复介电常数可以描述光吸收的实质所在。实际中γ很小在附近有一个突出的峰值，表明能量消耗主要集中在附近，称共振吸收。

这是由于横波的光波激励了横光学波（TO）格波所致。复介电常数与复折射率的关系：则：

反射系数：可以证明，如果一种固体强烈吸收某一光谱范围的光，它就能够有效反射同一光谱范围的光（没有吸收，也没反射）。许多离子晶体在红外区对光有强烈的选择吸收和反射，该现象被人们用来产生单色的长红外线。5.极化激元（极化声子）在离子晶体或极性半导体中，横光学波具有电磁性当电磁波入射倒晶体表面时，电磁波与横光学波发生偶合，这种偶合的量子称极化激元。它的色散关系不同于光（电磁场），也不同于格波。但电磁波可以与各种电磁性的元激发相互作用：类等离子体极化激元，类激子极化激元，类声子极化激元，类表面声子极化激元等。上面讨论了离子晶体的晶格振动引起介质的极化，格波是介质里的极化波，当光照射晶体时，光波的横向电场必然与横光学波的格波偶合。正如同在力学中振动一样，两个相互偶合振子的振动状态与单个振子的不一样，偶合波的性质也与原来波的不一样。前面讨论中认为,电场只是库仑作用引起的,限定实际离子晶体长波伴随着交变电磁场，特别是横波.严格的理论应用麦克斯韦方程代替静电方程用偶合波的概念来考察晶体中格波与光波作用是1951年黄先生提出的概念。后来证明不仅格波，离子振荡，激子，自旋波等都有类似的现象，通称极化激元。把电磁方程和晶格的唯象方程结合以后，实际研究的对象成为晶格的长光学波振动和电磁场相偶合系统，通过求解得到的振动模实际上代表了格波与光波的偶合振动模。可以写出光波的麦克斯韦方程组和晶格的唯象方程：

解的形式：将解代入方程：将代入得：

分两种情况：（1）纵波

得到（2）横波

由得：相互垂直

则：由得：

联立得：利用，并代入b11，b12，b22得：得到关于极化激元得两支解，从中可以得到两支色散关系。（1）当时这时对根号项近似得：近似为低频电磁波。（2）当q很大时，一般：显然，这两支色散曲线不同于光子的色散曲线，也不同于晶格横光学波的色散曲线，主要有以下特点:q而两支解在之间存在一禁区，不存在这个频率之间的解，这种频段的光在晶体中不能传播(b)当时的一支就是介质中速度为的电磁波(光波),这个频率低于晶体振动频率；而的解就趋于频率为的LO声子，频率就是纵光学波的频率。这时光声偶合弱，是纯光模，是纯声模。(c)q很大时,为无偶合的纯晶格振动模，而为速度为的电磁波。是纯声模，是纯光模q（d）在q的中间区域，光—声偶合强，这是既不是光子，也不是声子，而是光—声偶合振动模。这种情况与弹簧连起来的两个谐振子系统很相似。虽然两个振子在无偶合时各有自己的频率，但当弹簧偶合后，它们不再独立振动，共同频率既不是又不是而是两者的偶合频率。３-6确定振动谱的实验方法

晶格振动的ω～q关系，称格波的色散关系，也称晶格振动谱。原则上声子对X-ray、光子和中子的散射可以通过入射波的非弹性散射反映，测量散射束可以得到声子信息。x-ray能量104eV,声子能量～0.01eV,散射后的能量变化忽略.中子能量0.02～0.03eV，与声子能量同数量级，其得布洛依波长２~3Å，与晶格常数同数量级，是研究晶格振动谱得有力手段。光散射只能测量少数振动模。１.实验原理当中子入射到晶体上时，格波的振动可以引起对中子的非弹性散射。当波矢，频率为ω的格波散射中子时，引起:

中子动量的改变为：能量的改变：非弹性散射可以看作“声子”的吸收和发射，+,-就表示声子的吸收和发射。

按照德布洛依关系，可看作与晶格振动相联系的动量，常称“准动量”（不代表真实动量,只是作用类似于动量）。总之，中子与晶格相互作用满足能量和动量守恒。

设中子的质量为Mn，入射的动量为P，出射时的动量P’，则

3.实验装置及实验结果

经典的中子散射谱仪的结构如图。中子源出射的中子经单色器(单晶Bragg散射)后，动量为能量为，入射到样品上，散射后出射中子动量为P’,则用动量和能量守恒关系得到声子的色散关系.

该工作始于20世纪

50年代初，当时中子源流量为:109~1012/cm.s,

直到80年代，中子源流量达到~1014/cm.s,

这种方法才普遍应用。单色器中子源准直器样品探测器分析器

4.声子对光子的非弹性散射

光子入射到晶体中时，受晶格散射，有两种过程：

Stocks和反Stocks过程

光与声子的相互作用同样满足动量守恒和能量守恒。可见光的波矢在~105cm-1的量级，所得得晶格振动谱只能测长波限的很小一部分的声子。光与声学声子的散射称布里渊区散射。光与光学声子的散射称Raman散射。光散射与中子散射相比，其可测量范围太小，但Raman散射常用来研究介质与光相互作用的声子的信息，从而获得材料的信息。入射光子ω1出射光子ω1-ω声子q(ω)入射光子ω2声子q(ω)出射光子ω2+q(ω)3-7局域振动理想晶体尺寸趋于无穷大，其本征振动模是一系列格波，每一个格波描述晶体中所有原子集体运动，因此格波振动模广延于整个晶体中，当晶体存在一些杂质和缺陷时，晶体偏离完整晶体，这时杂质或缺陷附近引起局域的振动。

显然，局域振动局限于杂质或缺陷附近，随着离开杂质距离的增加而迅速衰减。局域振动分析很复杂，只作定性讨论。

上上世纪末，瑞利研究声学时，研究过类似的问题：如果在一个弹簧联结起来的质点系统中，把质量为M的粒子换成一个质量为M+δM的粒子，这时系统的简正振动频率会发生什么变化？

Rayleigh结论:（1）如果δM<0，每个简正频率都提高一些，特殊的是在带顶频率超出了Δv，当系统中总粒子数很大时，Δv与粒子数N无关，随(δM)2变化，与这种振动相对应的是一种局域模。

(2）如果如果δM>0，每个简正频率降低，局域模出现在带内

Rayleigh得到：