概率论与数理统计ch8

假设检验的基本思想和方法假设检验的一般步骤假设检验的两类错误课堂练习小结布置作业第一节假设检验假设检验参数假设检验非参数假设检验这类问题称作假设检验问题.总体分布已知，检验关于未知参数的某个假设总体分布未知时的假设检验问题在本节中，我们将讨论不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题.这就是根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确.一、假设检验的基本思想和方法让我们先看一个例子.这一章我们讨论对参数的假设检验

.生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱外运.怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？把每一罐都打开倒入量杯,看看容量是否合于标准.这样做显然不行！罐装可乐的容量按标准应在350毫升和360毫升之间.每隔一定时间，抽查若干罐.如每隔1小时，抽查5罐，得5个容量的值X1，…，X5，根据这些值来判断生产是否正常.如发现不正常，就应停产，找出原因，排除故障，然后再生产；如没有问题，就继续按规定时间再抽样，以此监督生产，保证质量.通常的办法是进行抽样检查.很明显，不能由5罐容量的数据，在把握不大的情况下就判断生产

不正常，因为停产的损失是很大的.当然也不能总认为正常，有了问题不能及时发现，这也要造成损失.如何处理这两者的关系，假设检验面对的就是这种矛盾.在正常生产条件下，由于种种随机因素的影响，每罐可乐的容量应在355毫升上下波动.这些因素中没有哪一个占有特殊重要的地位.因此，根据中心极限定理，假定每罐容量服从正态分布是合理的.现在我们就来讨论这个问题.罐装可乐的容量按标准应在350毫升和360毫升之间.它的对立假设是：称H0为原假设（或零假设，解消假设）；称H1为备选假设（或对立假设）.在实际工作中，往往把不轻易否定的命题作为原假设.H0：（=355）H1：这样，我们可以认为X1,…,X5是取自正态总体

的样本，是一个常数.当生产比较稳定时，现在要检验的假设是：那么，如何判断原假设H0

是否成立呢？较大、较小是一个相对的概念，合理的界限在何处？应由什么原则来确定？由于

是正态分布的期望值，它的估计量是样本均值，因此可以根据与

的差距来判断H0

是否成立.-

||较小时，可以认为H0是成立的；当-

||生产已不正常.当较大时，应认为H0不成立，即-

||问题归结为对差异作定量的分析，以确定其性质.差异可能是由抽样的随机性引起的，称为“抽样误差”或随机误差这种误差反映偶然、非本质的因素所引起的随机波动.然而，这种随机性的波动是有一定限度的，如果差异超过了这个限度，则我们就不能用抽样的随机性来解释了.必须认为这个差异反映了事物的本质差别，即反映了生产已不正常.这种差异称作“系统误差”问题是，根据所观察到的差异，如何判断它究竟是由于偶然性在起作用，还是生产确实不正常？即差异是“抽样误差”还是“系统误差”所引起的？这里需要给出一个量的界限.问题是：如何给出这个量的界限？这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：小概率事件在一次试验中基本上不会发生.现在回到我们前面罐装可乐的例中：在提出原假设H0后，如何作出接受和拒绝H0的结论呢？在假设检验中，我们称这个小概率为显著性水平，用表示.常取的选择要根据实际情况而定。罐装可乐的容量按标准应在350毫升和360毫升之间.一批可乐出厂前应进行抽样检查，现抽查了n罐，测得容量为X1,X2,…,Xn，问这一批可乐的容量是否合格？提出假设选检验统计量~N(0,1)H0：=355

H1：

≠355由于已知，它能衡量差异大小且分布已知.对给定的显著性水平

，可以在N(0,1)表中查到分位点的值，使故我们可以取拒绝域为：也就是说,“”是一个小概率事件.W：如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域W，则拒绝H0

；否则，不能拒绝H0.如果H0

是对的，那么衡量差异大小的某个统计量落入区域W(拒绝域)是个小概率事件.如果该统计量的实测值落入W，也就是说，H0成立下的小概率事件发生了，那么就认为H0不可信而否定它.否则我们就不能否定H0

（只好接受它）.这里所依据的逻辑是：不否定H0并不是肯定H0一定对，而只是说差异还不够显著，还没有达到足以否定H0的程度.所以假设检验又叫“显著性检验”如果显著性水平

取得很小，则拒绝域也会比较小.其产生的后果是：H0难于被拒绝.如果在很小的情况下H0仍被拒绝了，则说明实际情况很可能与之有显著差异.基于这个理由，人们常把时拒绝H0称为是显著的，而把在时拒绝H0称为是高度显著的.在上面的例子的叙述中，我们已经初步介绍了假设检验的基本思想和方法.下面，我们再结合另一个例子，进一步说明假设检验的一般步骤.二、假设检验的一般步骤

例2

某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是32.5毫米.实际生产的产品，其长度X假定服从正态分布未知，现从该厂生产的一批产品中抽取6件,得尺寸数据如下:32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03问这批产品是否合格?…分析：这批产品(螺钉长度)的全体组成问题的总体X.现在要检验E(X)是否为32.5.提出原假设和备择假设第一步：已知

X~未知.第二步：能衡量差异大小且分布已知取一检验统计量，在H0成立下求出它的分布第三步：即“

”是一个小概率事件.小概率事件在一次试验中基本上不会发生.对给定的显著性水平=0.01，查表确定临界值,使得否定域W:|t|>4.0322得否定域

W:|t|>4.0322故不能拒绝H0.第四步：将样本值代入算出统计量t的实测值,|t|=2.997<4.0322没有落入拒绝域

这并不意味着H0一定对，只是差异还不够显著,不足以否定H0.假设检验会不会犯错误呢？由于作出结论的依据是下述小概率原理小概率事件在一次试验中基本上不会发生.不是一定不发生三、假设检验的两类错误如果H0成立，但统计量的实测值落入否定域，从而作出否定H0的结论，那就犯了“以真为假”的错误.如果H0不成立，但统计量的实测值未落入否定域，从而没有作出否定H0的结论，即接受了错误的H0，那就犯了“以假为真”的错误.请看下表

假设检验的两类错误H0为真实际情况决定拒绝H0接受H0H0不真第一类错误正确正确第二类错误

P{拒绝H0|H0为真}=,

P{接受H0|H0不真}=.

犯两类错误的概率:显著性水平为犯第一类错误的概率.

两类错误的概率的关系两类错误是互相关联的，当样本容量固定时，一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增加.要同时降低两类错误的概率或者要在不变的条件下降低，需要增加样本容量.请看演示假设检验和区间估计的关系请看演示假设检验和区间估计单、双侧检验前面一例的检验，拒绝域取在两侧，称为双侧检验.下面看一个单侧检验的例子.想了解单双侧检验的区别，请看演示.单双侧检验例3

某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布现在用新方法生产了一批推进器。从中随机取

n=25只，测得燃烧率的样本均值为

设在新方法下总体均方差仍为2cm/s，问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提高？取显著性水平

代入=2,n=25，并由样本值计算得统计量U的实测值U=3.125>1.645故拒绝H0

，即认为这批推进器的燃料率较以往生产的有显著的提高。落入否定域解:提出假设:取统计量否定域为

W:=1.645

某织物强力指标X的均值=21公斤.改进工艺后生产一批织物，今从中取30件，测得=21.55公斤.假设强力指标服从正态分布且已知=1.2公斤，问在显著性水平=0.01下，新生产织物比过去的织物强力是否有提高?四、课堂练习代入

=1.2,n=30，并由样本值计算得统计量U的实测值U=2.51>2.33故拒绝原假设H0

，即新生产织物比过去的织物的强力有提高。落入否定域解:提出假设:

取统计量否定域为

W:=2.33

提出假设

根据统计调查的目的,提出原假设H0

和备选假设H1作出决策抽取样本检验假设

对差异进行定量的分析，确定其性质(是随机误差还是系统误差.为给出两者界限，找一检验统计量T，在H0成立下其分布已知.）拒绝还是不能拒绝H0显著性水平P(TW)=-----犯第一类错误的概率，W为拒绝域五、小结六、布置作业概率论与数理统计标准化作业(七)单个正态总体均值的检验两个正态总体均值差的检验小结布置作业第二节正态总体均值的假设检验

1.已知，关于的检验（u检验）在上一小节中已讨论过正态总体,当已知时关于的检验问题.在这些检验问题中，我们都是利用在为真时服从分布的统计量来确定拒绝域。这种检验法常称为u检验法。一、单个总体均值的检验下面还将给出一个有用的结果:我们看到，如将例2中需要检验的问题写成以下的形式，看来更为合理：取显著性水平为，现在来求这个问题的拒绝域.因为中的全部都比中的要小,从直观上看,较合理的检验法应是：若观测值与的差过分大，即,则我们拒绝而接受，因此拒绝域的形式为（k待定）.由标准正态分布的分布函数的单调性得到P{拒绝为真}即即得，从而得检验问题(1.7）的拒绝域为所以要控制P{拒绝为真}，只需令这与上节得到的检验问题（1.3）的拒绝域（1.5）是一致的。比较正态总体在方差已知时，对均值的两种检验问题

和我们看到尽管两者原假设的形式不同，实际意义也不一样，但对于相同的显著性水平它们的拒绝域是相同的。因此遇到形如（1.7）的检验问题，可归结为（1.3）来讨论。对于下面将要讨论的有关正态总体的参数的检验也有类似的结果。

2.未知，关于的检验（t检验）设总体，其中未知，我们来求检验问题的拒绝域（显著性水平为）。设是来自正态总体X的样本，由于未知，现在不能利用来确定拒绝域了。注意到是的无偏估计，我们用s

来代替，采用作为检验统计量。当过分大时就拒绝,拒绝域的形式为已知当为真时，，故由P{拒绝为真}＝，得，即拒绝域为

对于正态总体，当未知时，关于的单边检验得拒绝域在课本附表中已给出。上述利用t

统计量得出得检验法称为t

检验法。在实际中，正态总体的方差常为未知，所以我们常用t检验法来检验关于正态总体均值的检验问题。例1某种电子元件的寿命X（以小时计）服从正态分布，均未知。现测得16只元件的寿命如下：

159280101212224379179264222362168250149260485170问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）？解：按题意需检验取。由表8.1知检验问题的拒绝域为现在n=16,又算得即得t不落在拒绝域，故接受，即认为元件的平均寿命不大于225小时。二.两个正态总体均值差的检验（t检验）我们还可以用t检验法检验具有相同方差的两个正态总体均值差的假设。设是来自正态总体的样本，是来自正态总体的样本且设两样本独立。又分别记它们的样本均值为，记样本方差为。设均为未知，要特别引起注意的是，在这里假设两总体的方差是相等的。现在来求检验问题：（为已知常数）的拒绝域，取显著性水平为引用下述t统计量作为检验统计量：其中当为真时，已知与单个总体的t

检验法相仿，其拒绝域的形式为

P{拒绝为真}

＝可得于是得拒绝域为关于均值差的其它两个检验问题的拒绝域在书附表中给出。常用的是的情况。当两种正态总体的方差均为已知时，我们可用u检验法来检验两正态总体均值差的假设问题。例2在平炉进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率，试验是在同一只平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外，其它条件都尽可能做到相同。先用标准方法炼一炉，然后用建议的新方法炼一炉，以后交替进行，各炼了10炉，其得率分别为标准方法78.172.476.274.377.478.476.075.576.777.3

新方法79.181.077.379.180.079.179.177.380.282.1设这两个样本相互独立，且分别来自正态总体和,均未知。问建议的新操作方法能否提高得率？（取）解：需要检验假设分别求出标准方法和新方法的样本均值和样本方差如下：又，故拒绝域为现在由于样本观察值t＝-4.295<-1.7341,所以拒绝，即认为建议的新操作方法较原来的方法为优。三、小结在这一节中我们学习了正态总体均值的检验法,有以下两种:单个正态总体均值的检验以及两个正态总体均值差的检验.四、布置作业概率论与数理统计标准化作业(七)单个总体的情况两个总体的情况课堂练习小结布置作业第三节正态总体方差的假设检验一、单个总体的情况设总体均属未知，是来自X的样本，要求检验假设（显著性水平为）：

为已知常数。由于是的无偏估计，当为真时，比值一般来说应在1附近摆动，而不应过分大于1或过分小于1。由于当为真时,

我们取作为检验统计量，如上所说知道上述检验问题的拒绝域具有以下的形式：或或此处的值由下式确定：

P{拒绝为真}

＝为计算方便起见，习惯上取（3.1）

故得

于是得拒绝域为或上述检验法为检验法。关于方差的单边检验法得拒绝域已在附表中给出。例3某厂生产的某种型号的电池，其寿命长期以来服从方差(小时)的正态分布，现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变，现随机取26只电池，测出其寿命的样本方差小时）。问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化（取）？或

由观察值得所以拒绝，认为这批电池寿命波动性较以往的有显著的变化。二、两个总体的情况设来自总体的样本，是来自总体的样本，且两样本独立。其样本方差分别为。且设均为未知，现在需要检验假设:由于的独立性及得知故当为真时，即当时有（3.2）我们取作为检验统计量。当为真时，而当为真时

由于，故有偏大的趋势，因此拒绝域的形式为（3.3）k由下式确定：P{拒绝为真}＝即有于是拒绝域为

上述检验法称为F检验法。关于的另外两个检验问题的拒绝域在附表中给出。(3.4)例4试对例2中的数据作方差的假设检验（取）解：此处，拒绝域为或现在即有

故接受，认为两总体方差相等。例5研究机器A和机器B生产的钢管的内径，随机抽取机器A生产的管子18只，测得样本方差；抽取机器