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文档简介

第五章

极限定理初步§5.1大数定律大量的随机现象中平均结果的稳定性

大数定律的客观背景大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率……■切比雪夫大数定律设X1,X2,…是相互独立的随机变量,它们都有相同的期望和方差,E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2,i=1,2,…，则对任意的ε>0，有切比雪夫大数定律表明：当n无限增大时,n个独立同分布的随机变量的算术平均值几乎等于常数因此可用算术平均值作为μ的估计1821—1894设nA是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任给的ε>0，■伯努利大数定律1654－1705伯努利大数定律表明：当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n几乎等于事件A的概率p。因此可用事件发生的频率作为相应概率的估计。§5.2中心极限定理

中心极限定理的客观背景在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.*空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.*如瞄准时的误差，*炮弹或炮身结构所引起的误差等等.它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布.设X1,X2,…是独立同分布的随机序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…，令■独立同分布中心极限定理(林德伯格-列维中心极限定理)则Yn的分布函数收敛到标准正态分布函数，即例1：作加法时，对每个加数四舍五入取整，各个加数的取整误差可以认为是相互独立的，都服从(-0.5,0.5)上均匀分布。现在有1200个数相加，问取整误差总和的绝对值超过10的概率是多少？

高尔顿钉板试验图中每一个粉红点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有n排钉子,从入口中间处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以1/2的概率滚向左边,也以1/2的概率滚向右边.如果n较大,可以看到许多珠子从入口处滚到钉板底端的格子的情形如图所示，堆成的曲线近似于正态分布.分析： 每次碰到第i颗钉子后向左/向右的概率相等都为1/2，则定义变量则X1,…Xn是独立同分布的随机变量

E(Xi)=0,D(Xi)=1则小球最后的位置 X=X1+X2+…+Xn在n相当大的时候，接近于N(0,n)分布■二项分布中心极限定理(棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理)设随机变量 ，令定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值时,服从二项分布的变量X近似服从正态分布N(np,np(1-p)).则Yn的分布函数收敛到标准正态分布函数，即棣莫弗1667-1754例1.某互联网站有10000个相互独立的用户，已知每个用户在平时任一时刻访问网站的概率为0.2。求在任一时刻1900~2100个用户访问该网站的概率。例2.甲乙两个戏院在竞争1

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