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文档简介

3格林(Green)公式

一、格林公式二、简单应用一、区域连通性的分类设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD二、格林公式定理1边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.证明(1)yxoabDcdABCE同理可证yxodDcCE证明(2)D两式相加得GDFCEAB证明(3)由(2)知xyoL1.简化曲线积分三、简单应用AB2.简化二重积分xyo解xyoLyxoxyo(注意格林公式的条件)3.计算平面面积解其中L是曲线|x|+|y|=1围成的区域D的正向边界。11-1-1LDyxO格林公式的应用（格林公式）

从

证明了：

练习1

计算积分解

①②③④练习2求星形线所界图形的面积。解

yxODL11-1-1重要意义：

1.它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系2.它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系3.从它出发，可以导出数学物理中的许多重要公式四、曲线积分与路径无关的定义如果对于区域

G内任意指定的两点

A、B

以及

G

内从点

A

到点

B

的任意两条曲线L1，L2

有GyxoBA===0所以===于是，在内应用格林公式，有与路径无关.L与路径无关解因此，积分与路径无关。则P，Q

在全平面上有连续的一阶偏导数，且全平面是单连通域。取一简单路径：L1+L2.因此，积分与路径无关。全平面是单连通域。解因此，积分与路径无关。则P，Q

在全平面上有连续的一阶偏导数，且全平面是单连通域。因此，积分与路径无关。全平面是单连通域。取一简单路径：L1+L2.若曲线积分与路线无关，则函数的全微分是：称函数是的原函数。原函数概念：定理5、若在单连通区域G

内函数u(x,y)

是Pdx+Qdy的原函数，而A(x1,y1)与B(x1,y1)是G内任意两点，则例1、计算例2、计算沿着不与oy轴相交的途径。解例4、计算沿着不与oy轴相交的途径。已知二元函数的全微分，求其原函数的方法：（1）凑微分法；（2）曲线积分计算法。例5

验证：在xoy

面内，是某个函数u(x,y)的全微分，并求出一个这样的函数。1.连通区域的概念;2.二重积分与曲线积分的关系3.格林公式的应用.——格林公式;五、小结与路径无关的四个等价命题条件等价命

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