机械振动基础第四章多自由度系统

将具体的结构简化成：多个以各种方式相连接的离散质量、弹性元件和阻尼元件组成的离散振动系统。这种系统称为多自由度振动系统。描述它振动的运动微分方程为常微分方程组。第4章多自由度系统

本章内容：多自由度系统振动的基本理论，多自由度系统的固有频率和振型的理论；分析多自由度系统动力响应常用的振型迭加方法；用变换方法求多自由度系统动力（态）响应的问题。§4.1运动微分方程n个自由度的振动系统的运动微分方程可以写为一般[M][C][K]不会同时为对角矩阵，方程存在耦合。解耦是在时域内求解方程的重要一环。

分别叫：[…]矩阵{…}向量在静力学中，各自由度的位移{x}、系统的刚度矩阵[K]、各自由度上所受到的外力关系为：刚度矩阵[K]的元素kij的意义：——如系统第j个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，其余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其中在第i个自由度上施加的外力就是kij。

[K]的定义：外力{f}正好是刚度矩阵[K]的第j列。系统第j个自由度有一个正向单位位移，其余自由度位移为零这种变形状态可以由向量{x}＝{ej}描述。为使系统保持{ej}的变形状态，所加的外力为：

例4.1求图示的简化的汽车4自由度模型的刚度矩阵。解：取yA,yB,y1,y2为描述系统运动的广义坐标，即

{x}={yA,yB,y1,y2}T

各个自由度原点均取静平衡位置，向上为正。(1)求[K]的第一列：设yA沿坐标正方向有一个单位位移，其余广义坐标位移为零，则只有k2被伸长，此时：外力{f}=???f1=k2;f2=0;f3=-k2;f4=0k11=k2;k21=0;k3l=-k2;k41=0(2)求[K]的第二列：yB↑k12＝0，k22＝k4，

k32=0，k42=-k4

坐标{x}={yA,yB,yl,y2}T(3)求[K]的第三列。设yl↑k13＝-k2，k23＝0，

k33=k2+k1，k43=0(4)求[K]的第四列。设y2↑k14=0，k24=-k4，

k34=0，k44＝k2+k4

三种求[K]的方法：？？牛顿法、求偏倒法（能量法）、定义法。坐标{x}={yA,yB,yl,y2}T

质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵均是对称矩阵。用求偏倒的方法写[M][C][K]矩阵：定义法和牛顿法比较麻烦，一般用能量法比较方便：1)写系统的动能、能量耗散函数和势能2)求偏导3)得到矩阵针对本例：系统的动能为杆的平动动能和转动动能与两个质量的动能之和，设杆的质心在杆的中点，质量为M。系统的动能为：坐标系{x}={yA,yB,y1,y2}T由系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵可以得到系统的惯性力、阻尼力和弹性力：它们的分量分别为施加于各个自由度上的惯性力、阻尼力和弹性力。求解方程：——求解一种方法是寻找一个新广义坐标系，使得系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵为对角矩阵。也就是解耦。——新坐标系与原坐标系存在线性变换关系，因此，要寻找一个可逆线性变换矩阵[u]，将质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵变换为对角矩阵。——为此，我们讨论线性变换前后多自由度系统运动微分方程的关系。设有可逆线性变换[u]，使得因而有称{x}为旧坐标系，{y}为新坐标系。系统的动能、势能和能量耗散函数与坐标系选择无关，也就是说，它们是坐标变换下的不变量,因此有：新旧坐标系下矩阵的关系：两边左乘[u]T

，根据：将{x}=[u]{y}代入方程：

得到，新坐标系{y}下的运动微分方程：得到：其中：是新坐标{y}下的广义激励。此时，方程解耦了！为求{x}=[u]{y}的逆变换，在其两边左乘[u]T[M]得即：坐标系{y}下的初始条件为：问题转化为坐标{y}微分方程的定解思路：{x}坐标系下的微分方程和初试条件{x}坐标系下的微分方程解{y}坐标系下的微分方程和初试条件耦合，不能求解[u]坐标转换解耦{y}坐标系下的微分方程解微分方程相互，可求解[u]T坐标逆转换§4.2固有频率与振型——系统的固有频率和振型一一对应。系统求解的思路：设系统解为简谐振动：代入微分方程：得到广义特征值问题：得到特征方程或频率方程：求得w1，w2并取w1≤w2;代回广义特征值问题，求得振型{u}。

无阻尼自由振动系统的运动微分方程为：在特殊初始激励下，系统无阻尼自由振动是简谐振动，也就是固有振动。形式为：其中，{u}和w是待求的振型和固有频率。这就是频率方程。

将代入方程得到方程有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式为零，即：这是以w2为未知数的n次代数方程，解之可得n个根，w1，w2

，......wn

。依次代入广义特征值问题方程可以得到n个方程广义特征值问题求出与w2r相对应的非零的{ur}。就是与固有频率对应的振型。由：固有频率振型如果w2r是是频率方程（4.13）的k重根（k正整数，k<n）,则有：此时系数矩阵的秩为m-k。例4.2如图所示：两个相同的质量以弹簧相联。求它的固有频率与振型。1)两个质量以相同位移同向运动时：弹簧无变形，整个系统如同一个刚体在运动。即振型为{u1}={1,1}T时，w12＝02)两个质量以相同位移反向运动时：弹簧有变形，势能大于零。即振型为{u2}={-1,1}T时，w22>0。——这是一个对称系统，对称点为弹簧是的中点。它有两种固有振动：1)写[K][M]：2)由特征方程计算固有频率：3)取wr2的正平方根wr，称为系统的第r阶固有频率，而相应地称{ur}为系统的第r阶固有振型，简称振型。并将固有频率按由小到大的顺序编号系统的固有频率和振型与激励无关，由[K]和[M]决定。同样，由能量法可获得相同的结果：如果振型{ur}满足则对任意非零常数c，c{ur}也满足上式。即振型只是给出了振动方向和相对振幅，而振型大小需要人为指定。称指定振型的大小为振型的正规化。(1)令{ur}满足此时在式(4.14)两边左乘{ur}T可得振型正规化方案有多种，常用的有以下几种：(2)令{ur}的某一分量（常取绝对值最大的分量）为1；其他分量等比缩小。如： {ur}={2,1.4,0.8,0.6}正规化得到：

{ur}={1,0.7,0.4,0.3}振型的性质：属于不同固有频率的振型彼此以系统的质量矩阵和刚度矩阵为权正交，这个性质称为振型的正交性。前提：数学表示为：证明过程：由可得这里左乘{us}T

得：左乘{ur}T

，再转置得：不为0因此：即：振型的正交性振型正交性的物理意义：假定系统的位移可以表示为第s和第r阶两个振型的线性组合，即：其中：{ur}、{us}对质量矩阵归一；a(t)、b(t)是时间的标量函数。则系统的动能和势能为：令：则：它们分别是第r、s阶振型单独存在时系统的动能和势能，称为系统的第r、s阶动能和势能。这个结论对位移是任意k(k≤n)个振型的线性组合的情况也成立。更进一步：各个振型之间的动能、势能不交换。各振型在振动时相互独立、互不影响，如同一组彼此没有关系的单自由度系统振动时的情形一样。由全体振型构成的向量组是线性无关的。是一个基。响应{x}可以被系统的振型线性表出：即：展开定理。振动系统响应是系统n个振型的线性组合。矩阵形式：{x}=[u]{y}

振型的正规正交化条件：1)先引入符号是单位矩阵[E]的元素2)振型的正规正交化条件可写为：定义振型矩阵[u]，它的列向量为相应的振型，即因此，有且同样因此：属于不同固有频率的振型彼此以系统的质量矩阵和刚度矩阵为权正交，这就是振型的正交性。更进一步，证明：由全体振型{ur}构成的向量组[u]是线性无关的。1)线性无关定义：如果一组向量{x1}，{x2}，…，{xn}由方程只能得出，则向量{x1}，{x2}，…，{xn}线性无关。也就是说，它们是{x}空间的一个正交基。

2)同样，如果{u}空间（振型空间）有：则方程两边左乘{u1}T[M]得：由于振型的正交性，有不为0所以有3)按此方法，依次对两边左乘，将得到4)因此振型{u1}，{u2}，……{un}是线性无关的。振型矩阵[u]的列向量是线性无关的；振型矩阵[u]为可逆矩阵。振型{ur}是n维向量空间的一个向量，且n个振型是线性无关的，因此：n个振型构成了n维向量空间中的一个基，任何一个向量都可以被这n个振型线性表出。系统n个振型构成的广义坐标为振型坐标，系统所有的响应振动，都是这个基的线性组合。三维向量空间的直角坐标基三维向量空间的柱坐标基n自由度振动系统的响应{x}也是n维向量，可以被系统的振型{ur}线性表示，即有:这就是展开定理，其中yr(r＝1，2，…，n)是响应{x}在第r个基向量{ur}下的坐标（系数）。振动系统的响应是系统n个振型的线性组合。

展开定理的矩阵形式为：{x}=[u]{y}其中，{y}的分量为响应{x}在系统振型[u]下的坐标。以式(4.29)取代式(4.5)，可以得到在振型坐标下n自由度系统无阻尼自由振动的运动微分方程。——在振型[u]坐标下n自由度系统无阻尼自由振动的运动微分方程为分量形式为：N个独立的单自由度方程§4.3动力响应分析——多自由度系统在外部激励作用下的响应分析称为动力响应分析。常用方法有：振型叠加方法和逐步积分方法。特点：适于已知系统的[M]、[C]、[K]和激励{f}，求系统响应x(t)的情况。振型叠加方法求解n-DOF的振动系统的运动微分方程的步骤如下：求出系统的固有频率和振型矩阵。做变换代入式并两边左乘[u]T，可得:——只有当[C]满足一定条件时[u]T[C][u]才为对角矩阵（对角化）。3)方程解耦，采用单自由度系统求解方法。工程上常设阻尼为Rayleigh阻尼，即：[Cr]是对角矩阵，它的第r个对角元素为Cr，称Cr为系统的第r阶模态阻尼或广义阻尼。类似于单自由度系统，定义系统的第r阶阻尼比：此时，式(4.33)可视为n个相互独立的单自由系统的运动微分方程。写成分量形式为4)如果振型矩阵[u]不能将阻尼矩阵[C]对角化，即[u]T[C][u]不是对角矩阵，则式(4.33)可写为：——准确求解式(4.38)的方法比较复杂。多数情况下，实践证明：在系统的各阶固有频率间隔较大，阻尼较小的条件下，对阻尼矩阵进行简化处理，以方便计算。简化方法：

最简单的处理方法：把[Cn]的非对角元素全认为是零。如果系统的阻尼较小，各阶固有频率之间的间隙较大，这种处理方法的精度一般还能满足工程上的要求。有时阻尼矩阵不容易求得，在求得各阶固有频率和振型后，可以按经验或规范给出各阶的阻尼比zr。在实验模态分析中，通过实验得到的是系统的固有频率、振型，阻尼则往往是给出各阶的阻尼比。在振型迭加法中，有各阶的阻尼比已经足够用。经过近似处理后，式(4.38)解耦，可以采用第二章讲过的任一种方法求解。得到{y}，再由展开定理得到系统响应{x}。——系统的各阶固有频率、振型、模态质量、模态刚度、模态阻尼和阻尼比称为系统的模态参数。——当系统的[M]、[K]和[C]确定后，响应{x}在系统振型[u]下的坐标{y}大小取决于外载荷{f}。——对多数实际载荷，{f}中与低阶振型有关的部分大，与高阶振型有关的部分小。因而，一般不必求出全部，一般取前几阶或十几阶固有频率和振型已足够。——复杂的机械系统简化模型误差高阶振型的可靠性较差。多计入高阶振型不一定会得到更好的结果。例4.3设多自由度系统在t=0时在第j个自由度受到一个单位脉冲力作用，初始条件为零，其他自由度上无激励。求系统的响应。解：考虑阻尼矩阵可以被振型矩阵解耦的情况。激励可写为因此——由于在振型坐标下系统的运动微分方程解耦，可得到n个彼此独立的单自由度运动微分方程：上式的解为根据展开定理，系统的响应为——因此，系统第i个自由度在第j个自由度受到一个单位脉冲力作用后的响应为根据展开定理，系统的响应为这个响应是由n个单自由度系统的阻尼自由振动迭加而成；定义此时的响应为脉冲响应：下标i表示响应的空间位置，j表示脉冲力的空间位置。依次取j＝1，2，…，n，即对各个自由度依次施加一个单位脉冲力，可以得到n2个脉冲响应，得到脉冲响应矩阵：——由于脉冲响应矩阵可以由振动试验测得，所以，它常常用来识别系统的振动系统。0§4.4动力响应分析中的变换方法——用傅里叶变换和拉普拉斯变换求多自由度系统的动力响应。1)数学基础：对向量做傅里叶变换和拉普拉斯变换＝分别对向量的各分量做傅里叶变换和拉普拉斯变换。

如，{x(t)}＝{x1(t)，x2(t)，…，xn(t)}T的傅里叶变换为对多自由度系统的运动微分方程式两边做拉普拉斯变换，根据拉普拉斯变换的性质有其中：{X(s)}和{F(s)}分别为系统响应{x(t)}和激励{f(t)}的拉普拉斯变换；称为系统的机械阻抗矩阵；它的逆矩阵为：称为系统的传递函数矩阵

因此，式(4.38)可以改写为然后，求出{X(s)}的拉普拉斯逆变换就可以得到响应{x(t)}思路：困难，复杂的微分方程求解变换简单的代数方程求解逆变换对于初始条件为零的情况，如果激励{f(t)}的傅里叶变换存在，则可对式两边做傅里叶变换得到称为系统的频响函数矩阵。因此：——用变换方法求系统的动力响应：得到了系统的传递函数矩阵或频响函数矩阵，则不必考虑方程解耦的问题，不必求系统的固有频率和振型。——系统的传递函数矩阵和频响函数矩阵的元素的定义（以传递函数矩阵[H(s)]的元素Hij(s)为例）

系统的初始条件为零＋只在第j个自由度上有激励fj(t)＝各个自由度均会有响应，第i个自由度的响应为xi(t)。则：依次取j=1，2，…，n，可以得到传递函数矩阵[H(s)]的全部元素Hij(s)。多自由度系统的响应为脉冲响应同样，可以定义系统的频响函数矩阵。因此：系统的脉冲响应hij(t)和Hij(s)是一对拉普拉斯变换对，和Hij(w)是一对傅里叶变换对。同样，系统的脉冲响应矩阵[h(t)]和传递函数矩阵[H(s)]是一对拉普拉斯变换对，和频响函数矩阵[H(w)]是一对傅里叶变换对。——系统的脉冲响应矩阵[h(t)]、传递函数矩阵[h(s)]和频响函数矩阵[H(w)]都反映了系统的振动特性。频响函数矩阵[H(w)]也可以由振动试验测得，因而常常用来识别系统的振动参数：

设系统的阻尼矩阵可以被振型矩阵解耦，做变换：在振型坐标下系统的阻抗矩阵为：即振型坐标下阻抗矩阵也为对角矩阵，对角元素为：为求传递函数矩阵[H(s)]，对[Zr(s)]求逆，有写成向量形式，有：同样，频响函数矩阵[H(w)]也可以写成：——这就是：系统的传递函数矩