热学-气动力理论-能均分定理麦克斯韦速率分布

7.5.1自由度确定物体位置所需的独立坐标数目,记作i例:xyz

01.质点

xyzi=3(t)2.刚性细杆3.刚体位置xyz方向i=5(3t+2r)位置xyz方向自转角度i=6(3t+3r)弹性分子还要考虑振动自由度(v)气体分子单原子分子双原子分子(常温)多原子分子(常温)§7.5能量均分定理理想气体的内能理想气体分子热运动的能量:平动+转动+振动的能量总和氦,氩等氢,氧,氮等水分子,甲烷等i=3

(t)i=5(3t+2r)i=6(3t+3r)气体分子自由度:单原子分子刚性双原子分子(常温)刚性多原子分子(常温)7.5.2能量按自由度均分定理气体分子平均平动动能每个自由度上平均能量为:能量均分定理:在温度为

T的平衡态下,物质分子的每一个自由度都具有相同的平均能量,等于分子的平均能量单原子分子:刚性双原子分子:刚性多原子分子:7.5.3理想气体的内能理想气体模型:分子间无相互作用,无相互作用势能,分子碰撞无机械能损失.理想气体内能:1mol:m/Mmol:内能的改变量结论:

理想气体内能是热力学温度的单值函数.能量均分定理:在温度为

T的平衡态下,物质分子的每一个自由度都具有相同的平均能量等于分子的平均总能量若考虑分子振动:分子振动能量包括振动动能和振动势能,每个振动自由度的平均能量也是kT/2.单原子分子:刚性双原子分子:刚性多原子分子:例:摩尔数相同的氧气和二氧化氮气体(视为理想气体),如果它们的温度相同,则两气体

(A)内能相等;(B)分子的平均动能相同;(C)分子的平均平动动能相同;(D)分子的平均转动动能相同.答:分子的平均平动动能相同.例:指出下列各式的物理意义(1)(2)(3)(4)(5)(6)分子在每个自由度上的平均能量分子平均平动动能理想气体分子的平均能量1mol

理想气体内能质量为m

的理想气体分子平均平动动能总和质量为m

的理想气体内能§7.6

麦克斯韦速率分布热力学系统的统计规律.统计规律:大量偶然事件整体所遵从的规律不能预测可多次重复抛硬币:抛的次数越多,出现正反面的结果都越接近50%.伽尔顿板实验·每个小球的落点完全是偶然的;·少量小球的分布明显有偶然性;·大量小球的分布呈现规律性.............................................................涨落:实际出现的情况与统计平均值的偏差.:分子总数为速率在区间的分子数.表示速率在区间的分子数占总数的百分比.气体分子速率分布实验曲线:7.6.1速率分布和分布函数实验曲线分析:总分子数为NdN

:

速率在[v,v+dv]

区间内分子数:

分子出现在[v,v+dv]与

v,dv

有关意义:

分子在速率

v

附近的单位速率区间(区间宽度为1)内出现的概率(概率密度).速率分布函数速率在[v1,v2]

区间内的分子数:速率分布在[0,∞

]范围内的分子数显然为总分子数N归一化条件:速率区间内的概率速率在[v1,v2]区间内的分子数占总分子数的百分比:7.6.2理想气体分子麦克斯韦速率分布律

f(v)v理论曲线分析:v+dvv1.图中小矩形面积:平衡态下,分子出现在[v,

v+dv]

速率区间内的概率.或速率在[v,

v+dv]

区间内的分子数占总分子数的百分比.v2v12.图中斜线部分面积:平衡态下,分子出现在

[v1,v2]速率区间内的概率.或速率在[v1,v2]区间内的分子数占总分子数的百分比.分子质量玻耳兹曼常数麦克斯韦速率分布曲线:结论:麦克斯韦速率分布曲线下的任意面积等于分子出现在相应速率区间内的概率,或等于相应速率区间内分子数占总分子数的百分比.3.归一化条件麦克斯韦速率分布曲线所围的总面积等于1.理论曲线分析:1.图中小矩形面积:平衡态下,分子出现在[v,v+dv]速率区间内的概率.或速率在[v,

v+dv]

区间内的分子数占总分子数的百分比.2.图中斜线部分面积:平衡态下,分子出现在

[v1,v2]速率区间内的概率.或速率在[v1,v2]区间内的分子数占总分子数的百分比.v

p2.平均速率3.方均根速率v结论:1.2.以vp

为界,S右＞S左7.6.3三个统计速率1.最概然速率(最可几速率)2.平均速率3.方均根速率1.最概然速率例:

如图:(1)若图为同种气体不同温度下的速率分布曲线,问哪条曲线对应的温度较高?(2)若两条曲线分别对应同一温度下氧气和氢气的速率分布曲线,问哪条曲线对应氧气,哪条对应氢气?f(v)

vT1T2O解:(1)

T1

<

T2(2)

B:

R:氧氢例:求速率在

[v1,v2]区间内的分子的平均速率解:7.6.4气体分子速率分布的测定

1920年斯特恩从实验上证实了速率分布定律.φωωL金属蒸汽方向选择速率选择器屏v

1934年我国物理学家葛正权用实验测定了分子的速率分布.在同一平衡态下,理想气体的三种统计速率有固定的大小关系.§7.8气体分子的平均碰撞次数和平均自由程维持平衡态的宏观性质非平衡态向平衡态过渡依赖分子与分子的频繁碰撞不能像讨论压强那样将分子看成质点;不需要像讨论内能那样考虑分子结构.

分子的有效直径

d

约10-10m.刚性球模型1.平均碰撞次数单位时间内分子间碰撞的次数的平均值.·设分子有效直径d,某分子以平均速率v

运动,而其它分子都不动;·以该分子运动路径(折线)为轴线,作一半径为d,总长为v的圆管.

dd单位时间内该分子与中心位于管壁以内的其他分子碰撞次数为:·凡是中心位于管壁以内的分子都与该分子进行碰撞.考虑到其它分子都在运动,经过修正得到分子的平均碰撞次数:常温常压下约109~1010s-1.2.平均自由程分子在连续两次碰撞之间能自由通