倾斜角与斜率

【课标要求】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握求直线斜率的两种方法．3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．3.1.1倾斜角与斜率3.1

直线的倾斜角与斜率【核心扫描】1．求直线的倾斜角和斜率．(重点)2．常与三点共线、平面几何知识等结合命题．(难点)3．准确把握与y轴平行或重合的直线的倾斜角和斜率．(易混点)1．倾斜角的概念和范围

当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴_______与直线l_____方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．

当直线l与x轴_____或_____时，我们规定它的倾斜角为0°.直线的倾斜角α的范围是____≤α＜_____．

温馨提示：直线的倾斜角概念的理解注意三个方面：

(1)直线与x轴相交； (2)x轴正方向； (3)直线向上的方向新知导学正方向向上平行重合0°180°2．斜率的概念及斜率公式定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的__________叫做这条直线的斜率，记为k，即k＝________取值范围当α＝0°时，______;当0°＜α＜90°时，_______;当90°＜α＜180°时，_________；当α＝90°时，斜率___________过两点的直线的斜率公式直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率正切值tanαk＝0k＞0k＜0不存在温馨提示

(1)直线的斜率与倾斜角既有区别，又有联系．它们都反映了直线的倾斜程度，本质上是一致的．但倾斜角是角度，是直线倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便．(2)直线的倾斜角α与斜率的关系如下表：直线情况平行(或重合)于x轴由左向右上升垂直于x轴由右向左上升α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°斜率的取值范围0(0，＋∞)不存在(－∞，0)斜率的增减性单调增单调增探究点1直角坐标系中的任何一条直线是否都有一个倾斜角？

提示是．探究点2(1)与x轴垂直的直线l倾斜角等于多少度？其斜率存在吗？ (2)不垂直于x轴的直线l的斜率的大小与在l上取的两个点有关吗？

提示

(1)90°不存在(2)无关互动探究类型一直线的倾斜角与斜率的概念【例1】已知直线l向上方向与y轴正向所在的角为30°，则直线l和倾斜角为________．[思路探索]直线的倾斜角的定义中强调直线向上方向与x轴正向所成的角，才是直线的倾斜角，因而将l与y轴正向所成的30°角转化即可．解析有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.答案

60°或120°[规律方法]

(1)由已知角推断倾斜角，常画出图形，借助图形来解决，注意画图时要考虑出现的各种情况．(2)斜率或倾斜角之间的大小比较要根据k＝tanα在0°≤α＜90°及90°＜α＜180°的增减性来判断．【活学活用1】(1)已知点P(1，1)，直线l过点P且不经过第四象限，则直线l的倾斜角α的最大值为

(

)． A．135° B．90° C．45° D．30°(2)如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为

(

)．A．k1＜k2＜k3

B．k1＜k3＜k2C．k2＜k1＜k3

D．k3＜k2＜k1解析

(1)如图，因为直线l不经过第四象限，故当直线l处于图示位置，即过坐标原点(0，0)时，它的倾斜角有最大值．易求得其值为45°，故选C.(2)设直线l1、l2、l3的倾斜角分别为α1、α2、α3，则0°＜α1＜α2＜α3＜90°，故k1＜k2＜k3，选A.答案(1)C

(2)A【例2】已知直线l过P(－2，－1)，且与以A(－4，2)，B(1，3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围． [思路探索]由已知画出图形，由斜率公式求出kPA，kPB，利用数形结合思想解决．类型二

求斜率及其范围【活学活用2】已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围．类型三

斜率公式的应用【示例】求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．[错因分析]未考虑两点斜率公式运用的条件从而忽略了对m＝1情况．易错辨析

因忽略两点斜率公式的条件而致错1．下列说法中，正确的是

(

)． A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα B．直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α C．若直线的倾斜角为α，则sinα＞0 D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tanα

解析对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tanα，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sinα＝0，故C不正确，故选D.

答案

D课堂达标2．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是

(

)． A．0°≤α＜90°B．90°≤α＜180° C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180°

解析直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线 l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是 90°＜α＜180°.

答案

C3．已知直线过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为________．答案－24．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于 (

)． A．1 B．5 C．－1 D．－5答案

D5．已知点A(1，2)，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾