机电控制系统稳定性分析

机电系统控制基础机电工程学院机械类专业技术基础课2013年5月2教学内容第6章系统稳态误差分析和计算第1章绪论第3章系统的时域分析法第2章系统的数学模型第4章系统的频域分析法第5章系统稳定性分析第8章计算机控制系统第7章系统的设计与校正5.1系统稳定性的基本概念5.2系统稳定的充要条件5.3代数稳定判据（Routh判据和Hurwitz判据）5.4奈奎斯特稳定判据（Nyquist判据）5.5应用奈奎斯特判据分析延时系统稳定性5.6由伯德图判断系统的稳定性5.7控制系统的相对稳定性哈尔滨工业大学机电工程学院本章目录2.闭环控制系统的稳定性问题1.单摆系统受扰动后能否恢复原来的状态?5.1系统稳定性的基本概念定义：系统在初始状态作用下5无输入时的初态输入引起的初态输出(响应)收敛(回复平衡位置)发散(偏离越来越大)系统稳定系统不稳定结论：系统是否稳定，取决于系统自身的结构参数，与输入无关反馈削弱偏差，则稳定反馈加强偏差，则不稳定稳定性是指自由响应的收敛性若系统存在反馈5.1系统稳定性的基本概念5.1系统稳定性的基本概念5.2系统稳定性的充要条件N(s)到Xo(s)的传递函数设n(t)为单位脉冲函数，N(s)=15.2系统稳定性的充要条件如果系统稳定，应有即5.2系统稳定性的充要条件的根：的根：5.2系统稳定性的充要条件5.2系统稳定性的充要条件为系统闭环特征方程根的实部控制系统稳定性的充分必要条件是：闭环特征方程式的根全部具有负实部系统特征根即闭环极点，故也可以说：极点全部在[s]平面的左半平面5.2系统稳定性的充要条件如果系统稳定，应有即五次及更高次的代数方程没有一般得代数解法（即由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根的方法）——阿贝尔定理5.2系统稳定性的充要条件5.3劳斯稳定性判据基于方程式的根与系数的关系设系统闭环特征方程为s1,s2,…,sn

为系统的特征根将上式因式乘开，可求得根与系数的关系5.3劳斯稳定性判据要使全部特征根均具有负实部，必须满足：（1）特征方程的各项系数

ai≠0(i=0,1,2,…,n)（2）特征方程的各项系数的符号都相同ai一般取正值，则上述两条件简化为ai>0

——必要条件

5.3劳斯稳定性判据充要条件：如果“劳斯判据”中第一列所有项均为正，则系统稳定。

劳斯阵列：5.3劳斯稳定性判据其中：劳斯判据还说明，实部为正的特征根数，等于劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数。。

5.3劳斯稳定性判据

例5-1设控制系统的特征方程式为：

试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。解：首先，由方程系数均为正可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳斯阵列：劳斯阵列第一列中系数符号全为正，所以控制系统稳定。5.3劳斯稳定性判据例题5-1例5-2设控制系统的特征方程式为：试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。解：由方程系数均为正可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳斯阵列：第一列系数改变符号2次，闭环系统的根中有两个实部为正，控制系统不稳定。5.3劳斯稳定性判据例题5-2对于特征方程阶次低(n≤3)的系统，劳斯判据可简化为：二阶系统特征式为，劳斯表为故二阶系统稳定性的充要条件是：5.3劳斯稳定性判据三阶系统特征式为，劳斯表为：故三阶系统稳定性的充要条件是：5.3劳斯稳定性判据例5-3设某反馈控制系统如下图所示，试计算使系统稳定的K值范围。解：系统的传递函数为特征方程？5.3劳斯稳定性判据例题5-3特征方程为根据三阶系统稳定的充要条件，可知使系统稳定需满足故使系统稳定的K值范围为0<K<65.3劳斯稳定性判据例5-4设控制系统的闭环特征方程式为：应用劳斯稳定判断系统的稳定性。解：劳斯阵列表为第一列系数改变符号2次，2个正实根。5.3劳斯稳定性判据例题5-4例5-5设控制系统的闭环特征方程式为：应用劳斯稳定判断系统的稳定性。解：劳斯阵列表为无正实根，有虚根。临界稳定5.3劳斯稳定性判据例题5-5例5-6设控制系统的闭环特征方程式为：应用劳斯稳定判断系统的稳定性。解：劳斯阵列表为临界稳定5.3劳斯稳定性判据例题5-6代数稳定判据使用的多项式是系统闭环特征多项式。劳斯判据与赫尔维茨（Hurwitz）判据都是利用特征根与系数关系来判别稳定性，具有一致性。劳斯判据的不足：定性—不能从量上判断系统的稳定性；对含有延迟环节的系统无效；不能对改善系统的稳定性给出提示。5.3劳斯稳定性判据5.4乃（奈）奎斯特稳定性判据（Nyquist）利用开环系统乃奎斯特图（极坐标图）来判断系统闭环后的稳定性。（几何判据）某些环节传递函数无法分析列写，通过实验获得系统开环频率特性曲线；奈氏判据可以解决代数判据不能解决的问题：如包含延迟环节的系统稳定性问题。能定量指出系统的稳定储备，以及提高动态性能（包括稳定性）的途径。系统Nyquist图（极坐标图）频率响应

是输入频率ω的复变函数，是一种变换，当

ω从-∞增长至＋∞时，

作为一个矢量，其端点在复平面相对应的轨迹就是频率响应的极坐标图，亦称乃氏图（乃奎斯特Nyquist曲线）。5.4乃奎斯特稳定性判据（Nyquist）Nyquist图

步骤：写出|G(jω)|和∠G(jω)表达式；分别求出ω=0和ω→∞时的G(jω

)；求乃氏图与实轴的交点，交点可利用Im[G(jω)]=0的关系式求出，也可以利用关系式∠G(jω)=n·180°（其中n为整数）求出；求乃氏图与虚轴的交点，交点可利用Re[G(jω)]=0的关系式求出，也可以利用关系式∠G(jω)=n·90°（其中n为奇数）求出；必要时画出乃氏图中间几点；勾画大致曲线ω=-∞→0，关于实轴对称5.4乃奎斯特稳定性判据（Nyquist）s1=zpk([],[-10-20],8000)nyquist(s1);matlabs1=tf([40],[0.0050.151])nyquist(s1);32其中N1(s)，D1(s)，N2(s)，D2(s)均为s的多项式。5.4Nyquist稳定性判据闭环特征方程F(s)与开环、闭环的传递函数的零点和极点的关系闭环传递函数：开环函数：特征方程：5.4Nyquist稳定性判据闭环特征方程F(s)与开环、闭环的传递函数的零点和极点的关系5.4Nyquist稳定性判据系统稳定的充要条件是闭环传函GB(s)的全部极点均具有负实部，即，F(s)函数的全部零点均须具有负实部。即，闭环特征方程F(s)的特征根全部具有负实部闭环特征方程F(s)与开环、闭环的传递函数零点和极点的关系

由H.Nyquist于1932年提出的稳定判据，在1940年后得到了广泛应用。利用开环系统乃奎斯特图（极坐标图），来判断系统闭环后的稳定性，是一种几何判据。

Nyquist将与联系起来,利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性,而无需实际求出闭环极点。5.4乃奎斯特稳定性判据（Nyquist）米哈伊洛夫（Михайлов）定理米哈伊洛夫定理是证明乃奎斯特稳定性判据的一个引理，其表述为：设n次多项式D(s)有p个零点(特征根)位于复平面的右半面，有q个零点(特征根)在原点上，其余n-p-q个零点位于左半面，则当以s=jω代入D(s)并令ω从0连续增大到∞时，复数D(jω)的角增量应等于5.4Nyquist稳定性判据证明(1)设s1为负实根，对于矢量(s-s1),当s=jω变化时5.4Nyquist稳定性判据（2）设sm为正实根，对于矢量(s-sm),当s=jω

变化时什么是当时频率响应G(jω)=(jω-s1)的角增量？5.4Nyquist稳定性判据（3）设s2、s3为具有负实部的共轭复根，

s2=-a+jb(a>0,b>0)

s3=-a-jb

对于矢量(s-s2)和(s-s3),当s=jω变化时5.4Nyquist稳定性判据（4）设sm+1、sm+2为具有正实部的共轭复根，

sm+1=c+jd(c>0,d>0)

sm+2=c-jd

对于矢量(s-sm+1)和(s-sm+2),当s=jω变化时另外，原点根不引起角变化量。5.4Nyquist稳定性判据如果n次多项式D(s)有p个根在右半平面，q个在原点，其余(n-p-q)个在s左半面，则（1）如果开环极点均在s左半平面，则根据米哈伊洛夫定理如果闭环系统是稳定的，即所有零点也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理，则

5.4Nyquist稳定性判据设开环极点均在左半平面，则F(s)的乃氏图，当ω从-∞到∞变化时，其相对原点的角变化量为零时，系统闭环后稳定。F(s)=1+G(s)H(s)与G(s)H(s)的乃氏图差向量（-1，j0）ⅠⅡⅢ5.4Nyquist稳定性判据设开环极点均在左半平面，则开环系统G(jω)H(jω)乃氏图，当ω从-∞到∞变化时，其相对（-1，j0）点的角变化量为零时，系统闭环后稳定。乃奎斯特稳定判据表述一：设开环极点均在左半平面，则系统开环乃氏图，当ω从-∞到∞变化时，不包围（-1，j0）点时，系统闭环后稳定。（2）如果开环极点p个在s右半平面，q个在原点，其余(n-p-q)个在s左半面，则根据米哈伊洛夫定理推论，

这时如果闭环系统是稳定的，即的所有零点也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理推论，5.4Nyquist稳定性判据设开环极点均在左半平面，则F(s)的乃氏图，当ω从-∞到∞变化时，F(s)相对原点的角变化量如下，系统闭环后稳定。5.4Nyquist稳定性判据设开环特征多项式在右半平面有p个零点(开环极点p个)

，没有原点根，则开环乃氏图，当ω从-∞到∞变化时，其相对(-1，j0)点的角变化量为时，系统闭环稳定。乃奎斯特稳定判据表述二：如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围(－1,j0)点的圈数（角增量）等于开环右极点的个数，则闭环系统稳定。——闭环稳定的充要条件单输入-单输出线性系统的传递函数为有理分式，分式的分子和分母都是s的实系数多项式。实系数多项式可以因式分解为实系数一次和二次多项式之积，而且实系数二次多项式也可以分解为两个复系数的一次多项式之积。因此传递函数的一般形式：其中，zi、pi分别为系统的零点和极点，是实数或复数（共轭）。5.4.1映射定理在s平面上的一点，必定在F(s)平面上对应一点，称为点映射。同理，存在闭合曲线映射。例题5-75.4.1映射定理例题5-85.4.1映射定理表达了s平面上一条顺时针封闭曲线，经过关系函数F(s)，转换到另一个复平面F内，即映射，在F平面具有的特征S平面例题5-95.4.1映射定理5.4.1映射定理z为复数零点若封闭围线C为顺时针方向，包围一个零点则映射像围线C′也顺时针方向，包围原点如何确定封闭围线C？5.4.1映射定理U点：U′点：U-V-W-X-U为顺时针方向，包围2个零点U′-V′-W′-X′-U′为顺时针方向，包围原点2圈如果在s平面只包围共轭零点中的一个，在F(s)平面映射像围线是否包围原点？例题5-105.4.1映射定理S平面F平面思考问题：F(s)图形是否对称？图形关于什么对称?如何求点A、B、C、D?求与虚轴的交点D：令s平面的点为例题5-115.4.1映射定理U-V-W-X-U为顺时针方向，包围2个右半平面极点U′-V′-W′-X′-U′为逆时针方向，包围原点2圈X点：X′点：5.4.1映射定理例题5-12映射定理（柯西幅角定理）(相角原理)s平面上不通过F(s)任何零、极点的任意封闭曲线Γs

，包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线Γs移动1周时，在F(s)平面映射的封闭曲线ΓF将顺时针方向绕原点旋转n=z

-p圈。若n为正，表示ΓF顺时针运动，包围原点n圈；若n为0，表示ΓF顺时针运动，不包围原点；若n为负，表示ΓF逆时针运动，包围原点n圈；映射定理的作用？5.4.1映射定理S平面顺时针封闭围线包围F(s)1个极点,在F(s)平面映射像围线逆时针包围原点一圈n=z

–p=0-1=-1S平面顺时针封闭围线包围F(s)1个极点和3个零点,在平面映射像围线顺时针包围原点二圈n=z

–p=3-1=25.4.1映射定理5.4.2乃奎斯特稳定性判据开环传递函数闭环传递函数闭环系统稳定的充要条件：F(s)的所有零点（特征根）都处于s平面的左半平面。闭环特征方程应用柯西幅角定理判断稳定性：如果将s平面的闭合曲线取成顺时针包围整个s右半平面的围线Γs（奈奎斯特围线），用柯西定理判别Γs是否包围了F(s)的零点，进而判断出系统稳定性。设F(s)平面右半平面的零点数为z，F(s)右半平面的极点数p，s平面的闭合曲线取成乃奎斯特围线，则满足关系？5.4.2乃奎斯特稳定性判据需要解决的两个问题如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？如何确定相应的映射F(s)=1+G(s)H(s)对原点的包围次数n，并将它和开环频率特性G(jω

)H(jω)相联系？5.4.2乃奎斯特稳定性判据形状类似“D”，又称为D曲线假设F(s)在虚轴上无零、极点Ⅰ部分是正虚轴Ⅱ部分半径无穷大半圆Ⅲ部分是负虚轴ⅠⅡⅢ解决问题15.4.2乃奎斯特稳定性判据F(s)平面上映射曲线ΓF生成步骤

s=jω代入F(s)并令ω从0→∞

，得到第Ⅰ部分映射；在F(s)中取，使角度由R→∞

,得到第Ⅱ部分映射；令ω从-∞

→

0，得到第Ⅲ部分映射。得到映射曲线后，即可由柯西定理计算z=n+p，z等于0，则闭环系统稳定，否则不稳定。5.4.2乃奎斯特稳定性判据当在s平面的顺时针封闭曲线取成整个右半平面，则通过F(s)映射到F复平面，是F(s)的极坐标图？

至今为止，奈氏判据关注的是基于特征函数F(s)=1+G(s)H(s)的封闭曲线映射，以及映射围线ΓF在F(s)平面上包围原点的周数。

等价地，亦可将映射函数定义为多数情况开环传函G(s)H(s)本身即因式乘积，无需在F(s)=1+G(s)H(s)后重新因式分解确定零极点；通过F′(s)=F(s)-1，关注点由映射围线包围F(s)平面原点圈数变为映射围线包围F′(s)=G(s)H(s)平面上(-1,0)的圈数。该种变换的优点及结果：解决问题25.4.2乃奎斯特稳定性判据F(s)与G(s)H(s)的关系图。ⅠⅡⅢ5.4.2乃奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定性判据在[s]平面作包围右半平面的D形曲线，如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围(－1,j0)点的圈数等于开环右极点的个数，则闭环系统稳定。——充要条件5.4.2乃奎斯特稳定性判据开环传递函数，判断闭环稳定性。00.10.761210201001009679.670.750.26.82.240.100-5.7-41-51-74-129-151-173-180的幅值和相角稳定例题5-13该乃氏图随着频率的增加，幅值减小的意义？频率为3.2rad/s的意义？频率为0.76rad/s，幅值为79.6，相角为-41度的意义？该对数频率特性图在零分贝以下的频率是多少？开环系统没有右极点，p=0乃奎斯特围线映射没有包围(-1，j0)点，n=0闭环系统在右半平面无零点，z=p+n=0闭环系统稳定开环传递函数，判断闭环稳定性。s1=zpk([],[-1,-2,-6],20)nyquist(s1);matlab例题5-145.4.2乃奎斯特稳定性判据与例题5-16比较开环传递函数，判断闭环稳定性。s1=zpk([],[-10-20],8000)nyquist(s1);matlabs1=tf([40],[0.0050.151])nyquist(s1);开环传递函数也可表示为稳定例题5-155.4.2乃奎斯特稳定性判据开环传递函数，判断闭环稳定性。开环系统没有右极点，p=0乃奎斯特围线映射顺时针包围(-1，j0)

点2圈，n=2闭环系统在右半平面有2个不稳定的根（2个不稳定的零点）z=p+n=2闭环系统不稳定，(z=2)例题5-165.4.2乃奎斯特稳定性判据与例题5-14比较一个闭环控制系统，开环传递函数如下，判断闭环稳定性。开环系统有1个右极点，p=1乃奎斯特围线映射逆时针包围(-1，j0)

点1圈，n=-1闭环系统在右半平面无不稳定的根z=p+n=0闭环系统稳定，(z=0)例题5-175.4.2乃奎斯特稳定性判据一个闭环控制系统如下图，判断放大倍数K在什么范围内闭环系统稳定。没有右极点没有包围(-1，j0)点只要K>0，稳定例题5-185.4.3乃奎斯特稳定性判据写出系统的闭环传递函数，结合其特点，说明系统是否稳定？写出系统开环的频率特性，并作全乃氏图。一个闭环控制系统如下图，判断放大倍数K在什么范围内系统闭环稳定。1个右极点要K<1，不稳定要K>1，稳定例题5-195.4.3乃奎斯特稳定性判据写出系统的闭环传递函数，结合其特点，说明系统是否稳定？写出系统开环的频率特性，并作全乃氏图。如果开环传递函数在[s]虚轴上有极点或零点，修改D曲线[s]5.4.3乃奎斯特稳定性判据开环传递函数，判断闭环稳定性。例题5-205.4.3乃奎斯特稳定性判据稳定5.4.3乃奎斯特稳定性判据5.4.3乃奎斯特稳定性判据例题5-20K=1s1=tf([1],[210])nyquist(s1);K=20开环传递函数如下，判断闭环稳定时k的取值范围。例题5-215.4.3乃奎斯特稳定性判据5.4.3乃奎斯特稳定性判据5.4.3乃奎斯特稳定性判据5.4.3乃奎斯特稳定性判据例题5-22开环传递函数如下，判断其闭环稳定性。5.4.3乃奎斯特稳定性判据开环系统没有右极点，p=0乃奎斯特围线映射顺时针包围(-1，j0)

点2圈，n=2闭环系统在右半平面有2个不稳定的根（2个不稳定的零点）z=p+n=2闭环系统不稳定，(z=2)5.4.3乃奎斯特稳定性判据例题5-22K=1，T=1s1=zpk([],[00-1],1)nyquist(s1);K=20，T=1s1=zpk([],[00-1],20)nyquist(s1);5.4.3乃奎斯特稳定性判据例题5-23开环传递函数如下，判断其闭环稳定性。K=105.4.3乃奎斯特稳定性判据开环没有右极点，乃氏图不包围(-1,j0)，稳定从原点右边绕，开环右极点个数为0；

乃氏图顺时针包围(-1,j0)2圈，不稳定K=405.4.3乃奎斯特稳定性判据开环右极点有1个（p=1），乃氏图逆时针包围(-1,j0)1圈(n=-1)稳定(z=p+n=0)5.4.3乃奎斯特稳定性判据从左边绕5.4.3乃奎斯特稳定性判据例题5-24开环传递函数如下，判断其闭环稳定性。5.4.3乃奎斯特稳定性判据开环右极点有1个（p=1），乃氏图顺时针包围(-1,j0)1圈(n=1)不稳定(z=p+n=2)带延时环节系统稳定性分析开环传递函数幅频特性相频特性都有影响5.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性在上述系统中，若，则奈氏图为随着τ的增大，当达到包围(-1,j0)程度

，系统会变得不稳定。例题5-255.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性开环传递函数闭环特征方程改写为研究

是否包围

进而判定闭环系统的稳定性5.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性下图示为机床（如铣床、镗床）的长悬臂梁式主轴的工作情况，由于主轴刚度低，常易产生振动，下面分析其动态特性。P(t)—切削力Y(t)—主轴前端因切削力产生变形

D—主轴系统的当量黏性系数

km—主轴系统的当量刚度5.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性例题5-261.机床主轴系统的传递函数。主轴端部的运动微分方程为其传递函数为5.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性2.切削过程的传递函数。名义进给量为u0(t)，因主轴的变形，实际进给量为u(t)若主轴转速为n，刀具为单齿，刀具每转1周需要时间

1周中切削的实际厚度为5.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性令

kc为切削阻力系数（它表示切削力与切削厚度之比）则对此式作拉氏变换后得5.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性闭环系统的开环传递函数为闭环系统的特征根方程5.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性令如此，将奈氏判据中开环频率特性奈氏图是否包围(-1,j0)点的问题归结为：Gm(jω)

的奈式图是否包围Gc(jω)的极坐标轨迹的问题。即5.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性分别做出Gm(jω)

和Gc(jω)的极坐标轨迹。5.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性5.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性1.若Gm(jω)

不包围Gc(jω)，即Gm(jω)

与Gc(jω)不相交，如曲线①，则系统绝对稳定。因此系统绝对稳定条件是Gm(jω)

中最小负实数的绝对值小于Km/2kc。无论是提高主轴的刚度Km，还是减少切削阻力系数kc

，都可以提高稳定性。但对提高稳定性最有利的是增加阻尼。5.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性2.若Gm(jω)

包围Gc(jω)一部分，即Gm(jω)

与Gc(jω)相交，如曲线③，则系统可能不稳定，但在一定条件下也可稳定。如果在工作频率ω下，保证ω避开ωA~ωB

的范围，也就是适当选择

τ可以使系统稳定。所以，在此条件下系统稳定的条件为：选择适当的主轴转速

n（在单刀铣刀时，

τ=1/n），使Gm(jω)不包围Gc(jω)上的点。5.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性乃氏图与单位圆的交点频率↔ωc剪切频率或幅值穿越频率5.6利用Bode图进行稳定性判定乃氏图与Bode图的对应关系单位圆↔伯德图幅频0dB线单位圆外↔伯德图幅频0dB线以上单位圆外↔伯德图幅频0dB线以下负实轴↔伯德图相频-180度线乃氏图与负实轴的交点频率↔ωg相位穿越频率。曲线1稳定，曲线2不稳定。系统开环特征方程均为左根p=0(最小相位系统)(开环极点均在左半平面)，闭环系统稳定的充要条件↔不包围(-1,j0)，曲线1稳定，曲线2不稳定。5.6利用Bode图进行稳定性判定如果开环特征多项式没有右半平面的根

p=0(最小相位系统)，且在

的所有角频率范围内，相角范围都大于

线，那么闭环系统是稳定的。5.6利用Bode图进行稳定性判定正相位裕量正幅值裕量正相位裕量正幅值裕量5.6利用Bode图进行稳定性判定负相位裕量负幅值裕量负相位裕量负幅值裕量5.6利用Bode图进行稳定性判定什么是临界稳定？例题5-275.6利用Bode图进行稳定性判定系统的开环频率特性为：s1=zpk([],[0-1-5],5)margin(s1)s1=tf([1],[0.21.210])margin(s1)比较例题5-28，5-295.6利用Bode图进行稳定性判定例题5-28系统的开环频率特性为：s1=zpk([],[0-1-5],10)margin(s1)5.6利用Bode图进行稳定性判定例题5-29系统的开环频率特性为：s1=zpk([],[0-1-5],100)margin(s1)5.6利用Bode图进行稳定性判定例题5-30系统的开环频率特性如下，试判断使系统稳定的k的范围解：注意：最小相位系统稳定性判定的特殊性5.6利用Bode图进行稳定性判定a:负穿越在a点，相频特性由上而下穿过横轴，这称为负穿越；在b点，相频特性由下而上穿过横轴，这称为正穿越。可以看出，对数相频特性正穿越一次，就相当于Nyquist轨迹由上而下穿过负实轴一次，此时相位减小(这里指绝对值减小)(二象限到三象限)；反之，对数相频特性负穿越一次，就相当于Nyquist轨迹由下而上穿过负实轴一次，此时相位增大(三象限到二象限)。5.6利用Bode图进行稳定性判定5.6利用Bode图进行稳定性判定若开环右特征根为p时的情况，对数判据则可全面地叙述如下：在Bode图上，当由0变到时，开环对数相频特性在0到的频率范围(即开环对数幅频特性不为负值的范围)内，正穿越和负穿越-180°轴线的次数之差为p/2时，闭环系统稳定；否则不稳定。5.6利用Bode图进行稳定性判定图(a)中，p=0，即开环无右特征根，在

的范围内，正、负穿越之差为0，可见系统闭环后是稳定的。图(b)中，p=1，已知开环传递函数中有一个右半平面极点，即

在

的频率范围内，只有半次正穿越，可见系统是稳定的。图(c)中，p=2，而在

的范围内，正、负穿越之差为-1，系统闭环后是不稳定的。图(d)中，p=2，而在

的范围内，正、负穿越之差为1，故系统闭环后是稳定的。1135.6利用Bode图进行稳定性判定从Nyquist稳定判据可推知：若p=0的闭环系统稳定，且当Nyquist轨迹离点（-1,j0）越远，则其闭环系统的稳定性越高；开环Nyquist轨迹离点（-1,j0）越近，则其闭环系统的稳定性越低。这便是通常所说的系统的相对稳定性，它通过对点（-1,j0）的靠近程度来表征，其定量表示为相位裕量和幅值裕量Kg，如图所示。5.7控制系统相对稳定性相角裕量在为剪切频率（）时，相频特性∠GH距-180°线的相位差值称为相角裕量。图所示的系统不仅稳定，而且有相当的稳定性储备，它可以在的频率下，允许相位再增加才达到的临界稳定条件，因此，相角裕量有时又叫做相位稳定性储备。对于稳定系统，必在Bode图横轴以上，这时称为正相位裕量，即有正的稳定性储备；对于不稳定系统，必在Bode图横轴之下，这时称为负相角裕量，即有负的稳定性储备。5.7控制系统相对稳定性相应地，在极坐标图中，如图所示，即为Nyquist轨迹与单位圆的交点A对负实轴的相位差值，它表示在幅值比为1的频率时，其中的相位一般为负值。对于稳定系统，必在极坐标图负实轴以下；对于不稳定系统，必在极坐标图负实轴以上。5.7控制系统相对稳定性幅值裕量

当为相角穿越频率(

)时，开环幅频特性的倒数，称为系统的幅值裕量，即：

在Bode图上，幅值裕量改以分贝表示为：此时，对于稳定系统，Kg(dB)必在0分贝线以下，Kg(dB)＞0，此时称为正幅值裕量；对于不稳定系统，Kg(dB)必在0分贝线以上，Kg(dB)＜0，此时称为负幅值裕量。5.7控制系统相对稳定性

上述表明，对数幅频特性还可以上移Kg(dB)分贝，才使系统满足的临界稳定条件，亦满足即只有增加系统的开环增益Kg倍，才刚刚临界稳定条件。因此幅值裕量有时又称为增益裕量。在极坐标图上，由于：

所以，Nyquist轨迹与负实轴的交点至原点的距离为1/Kg，它代表在频率下开环频率特性的模。显然，对于稳定系统，1/Kg＜1；对于不稳定系统，1/Kg＞1，如图所示。5.7控制系统相对稳定性因此，对于开环为p=0的系统来说，具有正幅值裕量与正相位裕量时，其闭环系统是稳定的；具有负幅值裕量及负相位裕量时，其闭环系统是不稳定的。由上可见，利用Nyquist图或Bode图所计算出的，Kg相同。从工程控制实践中可知，为使上述系统有满意的稳定性储备，一般希望：

Kg(dB)＞6dB，即Kg＞2。应当着重指出，为了确定上述系统的相对稳定性，必须同时考虑相位裕量和幅值裕量两个指标，只应用其中一个指标，不足以说明系统的相对稳定性。5.7控制系统相对稳定性

设某系统开环传递函数为

，试分析当阻尼比

很小时

，该闭环系统的稳定性。1205.7控制系统相对稳定性例题5-29当

很小时，此系统的

将具有如图5‑32的形状，其相角裕量

虽较大，但幅值裕量却太小。这是由于在

很小时，二阶振荡环节的幅频特性峰值很高所致1215.7控制系统相对稳定性由于在最小相位系统的开环幅频特性与开环相频特性之间具有一定的对应关系，相位裕量

表明开环对数幅频特性在剪切频率

上的斜率应大于‒40dB/dec。因此，为保证有合适的相角裕量，一般希望这一段上的斜率（也叫剪切率）等于‒20dB/dec。如果剪切率等于‒40dB/dec，则闭环系统可能稳定，也可能不稳定，即使稳定，其相对稳定性也将是很差的。如果剪切率为‒60dB/dec或更陡，则系统一般是不稳定的。由此可知，对于最小相位系统一般只要讨论系统的开环对数幅频特性就可以判别其稳定性。1225.7控制系统相对稳定性第五章作业第六章机电控制系统误差

分析与计算6.1稳态误差的基本概念6.2输入引起的稳态误差6.3干扰引起的稳态误差6.4减小稳态误差的途径6.5动态误差系数本章目录6.1稳态误差的基本概念当有误差：希望输出和实际输出之差6.1稳态误差的基本概念6.2输入引起的稳态误差偏差传递函数由于若H是常值偏差误差

求当时的稳态误差

。解：误差传递函数又有ess=0的物理意义？6.2输入引起的稳态误差例题6-1

求当时的稳态误差

。6.2输入引起的稳态误差开环传递函数——“0型系统”——“Ⅰ型系统”——“Ⅱ型系统”6.2输入引起的稳态误差(一)单位阶跃输入，系统稳态偏差为定义静态位置误差为：用Kp表示单位阶跃输入时的稳态偏差，则6.2输入引起的稳态误差对0型系统对于Ⅰ型或高于Ⅰ型的系统：对于0型系统静态位置误差系数，应是系统的开环静态放大倍数K6.2输入引起的稳态误差综上，对于单位阶跃输入，稳定系统稳态偏差——“0型系统”——“对于Ⅰ型系统

或高于Ⅰ型系统”6.2输入引起的稳态误差(二)单位斜坡输入，系统稳态偏差为对0型系统对Ⅰ型系统对Ⅱ型系统6.2输入引起的稳态误差静态速度误差系数对0型系统对Ⅰ型系统对Ⅱ型系统6.2输入引起的稳态误差(三)单位加速度输入，系统稳态偏差为对0型系统对Ⅰ型系统对Ⅱ型系统6.2输入引起的稳态误差静态加速度误差系数对0型系统对Ⅰ型系统对Ⅱ型系统6.2输入引起的稳态误差位置误差、速度误差、加速度误差分别指输入是阶跃、斜坡、匀加速度输入时所引起的