数学分析第六章极值曲率

§6

函数的极值与最值定义复习极值的概念：2/3/20231[费马定理]：可导函数极值的必要条件：2/3/20232定理1(第一充分条件)

f在x0连续，在x0的某去心邻域可导，

左增右减右增左减左右不变号2/3/20233(不是极值点情形)(是极值点情形)2/3/20234定理2(第二充分条件)2/3/20235证同理可证(2).证毕问：2/3/20236定理3(第三充分条件)证：2/3/202372/3/20238求极值的步骤:(1)求出导数等于零的点及导数不存在的点；2/3/20239例1解列表极大值极小值2/3/202310例2解从例1、2看出两个充分条件使用条件的区别？2/3/202311例3解-1+1y=f(x)Oyx或者：2/3/202312二、最值的求法2/3/202313由极值与最值的关系知2/3/202314步骤:1.求稳定点和不可导点;2.求区间端点及稳定点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,哪个小哪个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)2/3/202315解注：实际问题中最值的存在性常可由问题的背景确定.2/3/202316例6

某房地产公司有50套公寓要出租。当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去；当月租金每增加10元时，就有一套租不出去，而租出去的房子每月需花费20元维护费。试问房租定为多少可获得最大收入？解设房租为每月元，租出去的房子有套，每月总收入为（唯一稳定点）答：每月每套租金为350元时收入最高.（就是最大值点）2/3/202317例7解如图:解得2/3/202318注意极值是函数的局部概念：可有多个极大值和极小值；可能有某个极小值大于某个极大值.函数的极值必在稳定点和不可导点取得.充分性判别法第一充分条件;第三充分条件;(注意使用条件)。最值是整体概念,是唯一的。求实际问题中的最值的步骤.第二充分条件;2/3/202319§7

函数图象讨论2/3/202320一、作图的步骤5.确定渐近线;2/3/202321曲线的渐近线复习1.垂直渐近线即动点沿着上下方向无限原离原点时，动点到直线x=x0距离趋于0。2/3/202322例如有垂直渐近线两条:求垂直渐近线，一般关注分式中分母为0的点。2/3/2023232.水平渐近线例如有水平渐近线两条:即动点沿着左右方向无限原离原点时，动点到直线y=b距离趋于0。2/3/2023243.斜渐近线即动点沿着曲线y=f(x)无限远离原点时，动点到直线y=kx+b

距离趋于0。2/3/202325斜渐近线的求法:2/3/2023262/3/2023272/3/202328例1解（无奇偶性及周期性）列表:拐点极大值极小值二、作图举例2/3/2023292/3/202330例2解（非奇非偶函数,且无对称性）列表:拐点极值点2/3/2023312/3/202332（描点）作图2/3/202333例3解列表:极大值极小值2/3/2023342/3/202335最大值最小值极大值极小值拐点凸凹单增单减三、小结函数图形的描绘综合运用函数初等性质（奇偶性、周期性、）、分析性质（极限、连续、导数）的几何特征，是对导数几何应用的综合考察.拐点2/3/202336第八节曲率一、曲率

二、弧微分三、曲率计算公式四、曲率园及曲率半径2/3/202337在生产实践和工程技术中，常常需要研究曲线的弯曲程度，例如，设计铁路、高速公路的弯道时，就需要根据最高限速来确定弯道的弯曲程度。2/3/202338例如，铁轨的曲率就是个关键问题：曲率曲线弯曲的程度2/3/202339一、曲率)))弧长相同弧长越短（（2/3/202340M1M2M3´1与切线转角成正比曲率曲线弯曲的程度.2/3/202341ABB´1与切线转角成正比S´2与曲线弧长S成反比S故定义曲线AB平均曲率...曲线弯曲的程度曲率.=.A´2/3/202342)yxo设曲线C是光滑的，（定义（曲线C在点M处的曲率曲率(定义为正的值)2/3/202343注意:(1)直线的曲率处处为零;(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.即直线不弯曲2/3/202344二、弧微分规定：2/3/202345单调增函数如图，弧微分公式2/3/202346三、曲率的计算公式yxo2/3/202347三、曲率的计算公式yxo2/3/202348三、曲率的计算公式1.2.3.2/3/202349例1解显然,2/3/202350定义四、曲率圆与曲率半径2/3/202351三、曲率圆与曲率半径2/3/202352例2解设Q为座椅对飞行员的反力,P为飞行员的体重。视飞行员在点o作匀速圆周运动,O点处抛物线轨道的曲率半径如图,受力分析2/3/202353得曲率为曲率半径为即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.2/3/202354点击图片任意处播放\暂停2/3/2023552/3/202356（（在缓冲段上,实际要求2/3/202357四、小结运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支——微分几何学.基本概念:弧微分,曲率,曲率圆.曲线弯曲程度的描述——曲率;曲线弧的近似代替曲率圆(弧).2/3/202358第九节方程的近似解一、问题的提出二、二分法三、切线法四、小结思考题2/3/202359一、问题的提出【求近似实根的步骤】１．确定根的大致范围——根的隔离．【问题】高次代数方程或其他类型的方程求精确根一般比较困难,希望寻求方程近似根的有效计算方法．2/3/202360２．以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得满足精确度要求的近似实根．【常用方法】——二分法和切线法（牛顿法）2/3/202361二、二分法【作法】2/3/202362总之，2/3/2023632/3/202364【例１】【解】如图2/3/202365计算得:2/3/2023662/3/202367三、切线法【定义】用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线法（牛顿法）．2/3/202368【如图】2/3/202369如此继续，得根的近似值【注意】2/3/202370【例２】【解】2/3/202371代入(1),得计算停